2007年高考数学试题汇编——圆锥曲线（七）

2007年高考数学试题汇编——圆锥曲线（七）

　　51、（湖北理）（本小题满分12分）在平面直角坐标系中，过定点作直线与抛物线（）相交于两点．

 

　　（I）若点是点关于坐标原点的对称点，求面积的最小值；

 

　　（II）是否存在垂直于轴的直线，使得被以为直径的圆截得的弦长恒为定值？若存在，求出的方程；若不存在，说明理由．（此题不要求在答题卡上画图）

 

　　

 

　　【解答】本小题主要考查直线、圆和抛物线等平面解析几何的基础知识，考查综合运用数学知识进行推理运算的能力和解决问题的能力．

 

　　解法1：（Ⅰ）依题意，点的坐标为，可设，

 

　　直线的方程为，与联立得消去得．

 

　　

 

　　由韦达定理得，．

 

　　于是．

 

　　

 

　　，

 

　　当时，．

 

　　（Ⅱ）假设满足条件的直线存在，其方程为，

 

　　的中点为，与为直径的圆相交于点，的中点为，则，点的坐标为．

 

　　

 

　　，

 

　　，

 

　　

 

　　，

 

　　．

 

　　令，得，此时为定值，故满足条件的直线存在，其方程为，

 

　　即抛物线的通径所在的直线．

 

　　解法2：（Ⅰ）前同解法1，再由弦长公式得

 

　　

 

　　，

 

　　又由点到直线的距离公式得．

 

　　从而，

 

　　当时，．

 

　　（Ⅱ）假设满足条件的直线存在，其方程为，则以为直径的圆的方程为，

 

　　将直线方程代入得，

 

　　则．

 

　　设直线与以为直径的圆的交点为，

 

　　则有．

 

　　令，得，此时为定值，故满足条件的直线存在，其方程为，

 

　　即抛物线的通径所在的直线．

 

　　52、（湖北文）过双曲线左焦点的直线交曲线的左支于两点，为其右焦点，则的值为______．

 

　　【解答】根据双曲线定义有|MF2|-|MF|=2a，|NF2|-|NF|=2a，两式相加得|MF2|+|NF2|-|MN|=4a=8

 

　　点评：本题主要考查双曲线定义的灵活运用。

 

　　53、（广东理）在平面直角坐标系中，有一定点,若线段的垂直平分线过抛物线则该抛物线的方程是         ．

 

　　【解答】OA的垂直平分线的方程是y-，令y=0得到x=;

 

　　54、（广东理）(本小题满分14分)在平面直角坐标系中，已知圆心在第二象限、半径为的圆与直线相切于坐标原点．椭圆与圆的一个交点到椭圆两焦点的距离之和为．

 

　　(1)求圆的方程；

 

　　(2)试探究圆上是否存在异于原点的点，使到椭圆右焦点的距离等于线段的长．若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由．

 

　　【解答】(1)设圆心坐标为(m，n)（m<0，n>0）,则该圆的方程为(x-m)2+(y-n)2=8已知该圆与直线y=x相切，那么圆心到该直线的距离等于圆的半径，则

 

　　=2

 

　　即=4       ①

 

　　又圆与直线切于原点，将点(0，0)代入得

 

　　m2+n2=8           ②

 

　　联立方程①和②组成方程组解得

 

　　

 

　　故圆的方程为(x+2)2+(y-2)2=8

 

　　 (2)=5，∴ =25，则椭圆的方程为

 

　　其焦距c==4，右焦点为(4，0)，那么=4。

 

　　要探求是否存在异于原点的点Q，使得该点到右焦点F的距离等于的长度4，我们可以转化为探求以右焦点F为顶点，半径为4的圆(x─4)2+y2=8与(1)所求的圆的交点数。

 

　　通过联立两圆的方程解得x=，y=

 

　　即存在异于原点的点Q(，)，使得该点到右焦点F的距离等于的长。

 

　　55、（广东文）在平面直角坐标系中，已知抛物线关于轴对称，顶点在原点，且过点P(2，4)，则该抛物线的方程是         ．

 

　　【解答】设所求抛物线方程为,依题意,故所求为.

 

　　56、（广东文）(本小题满分14分)在平面直角坐标系中，已知圆心在第二象限、半径为的圆与直线相切于坐标原点．椭圆与圆的一个交点到椭圆两焦点的距离之和为．

 

　　(1)求圆的方程；

 

　　(2)试探究圆上是否存在异于原点的点，使到椭圆右焦点F的距离等于线段的长．若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由．

 

　　【解答】设圆C 的圆心为 (m, n)

 

　　         则            解得

 

　　        所求的圆的方程为  

 

　　(2) 由已知可得        

 

　　   椭圆的方程为   ,  右焦点为  F( 4, 0) ;

 

　　   假设存在Q点使,

 

　　

 

　　       整理得         代入   得:

 

　　 ,  

 

　　因此不存在符合题意的Q点.

 

　　57、（福建理）以双曲线的右焦点为圆心，且与其渐近线相切的圆的方程是（    ）

 

　　A．                        B．

 

　　C．                      D．

 

　　【解答】右焦点即圆心为（5，0），一渐近线方程为，即，，圆方程为，即A ，选A

 

　　58、（福建理）（本小题满分12分）如图，已知点，直线，为平面上的动点，过作直线的垂线，垂足为点，且．

 

　　

 

　　（Ⅰ）求动点的轨迹的方程；

 

　　（Ⅱ）过点的直线交轨迹于两点，交直线于点，已知，，求的值；

 

　　【解答】本小题主要考查直线、抛物线、向量等基础知识，考查轨迹方程的求法以及研究曲线几何特征的基本方法，考查运算能力和综合解题能力．满分14分．

 

　　解法一：（Ⅰ）设点，则，由得：

 

　　，化简得．

 

　　

 

　　（Ⅱ）设直线的方程为：

 

　　．

 

　　设，，又，

 

　　联立方程组，消去得：

 

　　，，故

 

　　

 

　　由，得：

 

　　，，整理得：

 

　　，，

 

　　

 

　　

 

　　

 

　　．

 

　　解法二：（Ⅰ）由得：，

 

　　，

 

　　，

 

　　．

 

　　所以点的轨迹是抛物线，由题意，轨迹的方程为：．

 

　　（Ⅱ）由已知，，得．

 

　　则：．…………①

 

　　过点分别作准线的垂线，垂足分别为，，

 

　　则有：．…………②

 

　　由①②得：，即．