2007年高考数学试题汇编──函数与导数（三）

2007年高考数学试题汇编──函数与导数（三）

　　29、(07上海)已知函数

 

　　（1）判断函数的奇偶性；

 

　　（2）若在区间是增函数，求实数的取值范围。

 

　　解：（1）当时，为偶函数；当时，既不是奇函数也不是偶函数.

 

　　　　（2）设，

 

　　　　　　　　　　　　　　，

 

　　　　　　由得，

 

　　　　　　要使在区间是增函数只需，

 

　　　　　　即恒成立，则。

 

　　　　　另解（导数法）：，要使在区间是增函数，只需当时，恒成立，即，则恒成立，

 

　　　　　故当时，在区间是增函数。

 

　　　30、（重庆理）已知函数(x>0)在x = 1处取得极值，其中a,b,c为常数。

 

　　　（1）试确定a,b的值；

 

　　　（2）讨论函数f(x)的单调区间；

 

　　　（3）若对任意x>0，不等式恒成立，求c的取值范围。

 

　　　解：（I）由题意知，因此，从而．

 

　　　　　　又对求导得．

 

　　　　　　由题意，因此，解得．

 

　　　　（II）由（I）知（），令，解得．

 

　　　　　　　当时，，此时为减函数；

 

　　　　　　　当时，，此时为增函数．

 

　　　　　　　因此的单调递减区间为，而的单调递增区间为．

 

　　　　（III）由（II）知，在处取得极小值，此极小值也是最小值，要使（）恒成立，只需．

 

　　　　　　　即，从而，

 

　　　　　　　解得或．

 

　　　　　　　所以的取值范围为．

 

　　31、（浙江理）设，对任意实数，记．

 

　　　　（I）求函数的单调区间；

 

　　　　（II）求证：（ⅰ）当时，对任意正实数成立；

 

　　　　　　　　　　（ⅱ）有且仅有一个正实数，使得对任意正实数成立．

 

　本题主要考查函数的基本性质，导数的应用及不等式的证明等基础知识，以及综合运用所学知识分析和解决问题的能力．满分15分．

 

　　（I）解：．由，得．

 

　　　　　因为当时，，当时，，当时，，

 

　　　　　故所求函数的单调递增区间是，；单调递减区间是．

 

　　（II）证明：（i）方法一：令，

 

　　　　　则，当时，由，得，当时，，

 

　　　　　所以在内的最小值是．

 

　　　　　故当时，对任意正实数成立．

 

　　　　方法二：

 

　　　　对任意固定的，令，则，

 

　　　　由，得．当时，．当时，，

 

　　　　所以当时，取得最大值．

 

　　　　因此当时，对任意正实数成立．

 

　　　（ii）方法一：．由（i）得，对任意正实数成立．

 

　　　　　　即存在正实数，使得对任意正实数成立．

 

　　　　　　下面证明的唯一性：当，，时，

 

　　　　　　，，由（i）得，，

 

　　　　　　再取，得，所以，

 

　　　　　　即时，不满足对任意都成立．

 

　　　　　　故有且仅有一个正实数，使得对任意正实数成立．

 

　　　　　　方法二：对任意，，因为关于的最大值是，所以要使对任意正实数成立的充分必要条件是：，

 

　　　　　　即，①又因为，不等式①成立的充分必要条件是，

 

　　　　　　所以有且仅有一个正实数，使得对任意正实数成立．

 

　　　32、（天津理）已知函数，其中．

 

　　　　（Ⅰ）当时，求曲线在点处的切线方程；

 

　　　　（Ⅱ）当时，求函数的单调区间与极值．

 

　　　本小题考查导数的几何意义，两个函数的和、差、积、商的导数，利用导数研究函数的单调性和极值等基础知识，考查运算能力及分类讨论的思想方法．满分12分．

 

　　　（Ⅰ）解：当时，，，

 

　　　　　　又，．

 

　　　　　　所以，曲线在点处的切线方程为，

 

　　　　　　即．

 

　　　（Ⅱ）解：．

 

　　　　　　由于，以下分两种情况讨论．

 

　　　（1） 当时，令，得到，．当变化时，的变化情况如下表：

 

		0		0
	减函数	极小值	增函数	极大值	减函数

 

　　　　所以在区间，内为减函数，在区间内为增函数．

 

　　　　函数在处取得极小值，且，

 

　　　　函数在处取得极大值，且．

 

　　（2） 当时，令，得到，当变化时，的变化情况如下表：

 

		0		0
	增函数	极大值	减函数	极小值	增函数

 

　　　　所以在区间，内为增函数，在区间内为减函数．

 

　　　　函数在处取得极大值，且．

 

　　　　函数在处取得极小值，且．