导数及其应用
类型一：没有其他未知字母情况下，求单调性，极值，最值
例1：设函数
若曲线y=f(x)的斜率最小的切线与直线12x+y=6平行，求：（Ⅰ）a的值;（Ⅱ）函数f(x)的单调区间.
解：(Ⅰ) 
(Ⅱ)由(Ⅰ)知
变式训练1：设函数
，其中
．
（Ⅰ）当
时，讨论函数
的单调性；
（Ⅱ）若函数
仅在
处有极值，求
的取值范围；
（Ⅰ）解：
．
当
时，
．令
，解得
，
，
．
在
，
是增函数，在
，
内是减函数．
（Ⅱ）解：
，显然
不是方程
的根．
为使
仅在
处有极值，必须
恒成立，即有
．
解此不等式，得
．这时，
是唯一极值． 
的取值范围是
．
类型二：结合函数的图像与性质求参数的取值范围问题
例2：设
为实数，函数
。
（1）求
的极值；
（2）当
在什么范围内取值时，曲线
与
轴仅有一个交点。
解：（1）
，若
，则
所以
的极大值是
，极小值是
。
（2）函数
。
由此可知
取足够大的正数时，有
，
取足够小的负数时，有
，所以曲线
与
轴至少有一个交点.结合
的单调性可知：
当
的极大值
，即
时，它的极小值也
因此曲线
与
轴仅有一个交点，它在
上；
当
的极小值
时，即
上时，它的极大值也小于0，
与
轴仅一个交点，它在
上。当
时，
与
轴仅有一个交点。
变式训练2：．已知函数
有三个极值点。证明：
；
因为函数
有三个极值点, 所以
有三个互异的实根.设
则
当
时，
在
上为增函数；当
时，
在
上为减函数；当
时，
在
上为增函数，
所以
在
时取极大值,在
时取极小值。当
或
时,
最多只有两个不同实根。
有三个不同实根, 所以
且
，
即
,且
，解得
且
故
.
类型三：含字母时，对判别式进行分类讨论
例3：．已知函数
，
．（1）讨论函数
的单调区间；
（2）设函数
在区间
内是减函数，求
的取值范围．
解：（1）
求导得
当
时，
，
，
在
上递增；当
，
求得两根为
，即
在
递增，
递减， 
递增。（2）
，且
，解得
。
变式训练3：设函数
,其中
.
(I)当
时,判断函数
在定义域上的单调性;(II)求函数
的极值点; 高&考%资(源#网 wxc
解：(I) 函数
的定义域为
.
，高&考%资(源#网 wxc
令
，则
在
上递增，在
上递减，
. 当
时，
，
在
上恒成立.
即当
时,函数
在定义域
上单调递增。（II）分以下几种情形讨论：
（1）由（I）知当
时函数
无极值点.
（2）当
时，
，
时，
时，
时，函数
在
上无极值点。
（3）当
时，解
得两个不同解高&考%资(源#网 wxc
，
当
时，
，
此时
在
上有唯一的极小值点
.当
时，
高&考%资(源#网 wxc
在
都大于0 ，
在
上小于0 ，
此时
有一个极大值点
和一个极小值点
.
综上可知，
时，
在
上有唯一的极小值点
；
时，
有一个极大值点
和一个极小值点
；
时，函数
在
上无极值点
类型四：含字母时，对导函数的零点以及区间的位置进行分类讨论
例4：已知函数
且
（I）试用含
的代数式表示
；（Ⅱ）求
的单调区间；w.w.w.k.s.5.u.c.o.m
:解：（I）依题意，得
（Ⅱ）由（I）得
（
故
令
，则
或
①当
时，
由此得，函数
的单调增区间为
和
，单调减区间为
②由
时，
，此时，
恒成立，且仅在
处
，故函数
的单调区间为R
③当
时，
，
的单调增
和
，单调减区
综上：当
时，函数
增区间为
和
，单调减区间为
；
当
时，函数
的单调增区间为R；
当
时，函数
的单调增区间为
和
，单调减区间为(-1.1-2a)
变式训练4：已知
是实数，函数
（1）若
，求
的值及曲线
在点
处的切线方程；
（2）求函数y＝f (x)在区间 [ 1，2 ] 上的最小值。
解：（1）
，因为
，所以
．
又当
时，
，
，
在
处的切线方程为
．
(2) 设最小值为
，
当
时，
则
是区间[1,2]上的增函数, 所以
；
当
时，在
时，
；
在
时，
① 当
，即
时，
；② 当
，即
时，
；③ 当
时，
.
则函数的最小值
题型五、恒成立问题
例5．设函数
。
(1) 如果
，点
为曲线
上一个动点，求以
为切点的切线斜率取最小值时的切线方程；(2) 若
时，
恒成立，求
的取值范围。
解：(1) 设切线斜率为
，则
当
时，
取最小值-4，
又
， 所以，所求切线方程为
，即 
(2) 由
，解得：
或
。
函数
在
和
上是增函数，在
上是减函数。
所以 
或 
或 
解得 
变式训练5：已知函数
（1）若
在区间
上是增函数，求实数
的取值范围；
（2）若
，求证：
．
解：（1） 
，令
即
的增区间为
在区间
上是增函数，
；
，
，
在区间[-1，1]上的最大值M为4，最小值N为0，
故对任意
，有
题型六、导数解决不等式问题
例6．对于函数
（1）若函数
在
处的切线方程为
,求
的值；
（2）设
是函数
的两个极值点,且
,证明：
解：（1）由切点为
，
，有
解得
（2）由题，
、
是方程
的两个根，
可得两根一正一负，不妨设
设
；
当
时，
. 所以当
时，
，即
.
变式训练6：已知函数
，
，证明：
题型七、以函数为模型运用导数解决应用问题
例7．用长为18 cm的钢条围成一个长方体形状的框架，要求长方体的长与宽之比为2：1，问该长方体的长、宽、高各为多少时，其体积最大？最大体积是多少？
解：设长方体的宽为
（m），则长为
(m)，高为
.
故长方体的体积为
从而
令
，解得
（舍去）或
，因此
.
当
时，
；当
时，
，故在
处
取得极大值，并且这个极大值就是
的最大值，从而最大体积
，此时长方体的长为2 m，高为1.5 m
变式训练7：某公司为获更大收益，每年要投入一定资金用于广告促销，经调查，若每年投广告费
（百万元），可增加销售额约为
（百万元）. 
.
（1）若公司将当年的广告费控制在3百万元之内，则应投入多少广告费才能使公司由此获得收益最大？
（2）现公司准备共投入3百万元分别用于广告促销和技术改造，经预测，每投入技术改进费
百万元，可增加销售额约
百万元.请设计一种资金分配方案，使该公司由此获得最大收益.（注：收益＝销售额－成本）
解：（1）设投入广告费t百万元，则收益
。
∴
时，
.∴应投入2百万元广告费，由此获得收益最大。
（2）投入广告费
百万元，则收益
当
时，
. ∴当投入技术改造2百万元、广告费1百万元时，公司收益最大。
1．对于R上可导的函数f(x)，若满足
则必有（ D ）
A、
B、
C、
D、
2．已知a>0，函数
在
上是单调增函数则a的最大值是（ D ）
A、0 B、1 C、2 D、3
3．曲线
在点
处的切线与坐标轴围成三角形面积为（ A ）
A、
B、
C、
D、
4．若函数
的递减区间为（－1,1），则a的取值范围（ A ）
A、a>0 B、－1<a<0 C、a>1 D、0<a<1
5．设P为曲线C：
上的点，且曲线C在点P处切线倾斜角的取值范围为
，则点P横坐标的取值范围为_________．
6．已知
为实数,函数
.
(1)若函数
的图象上有与
轴平行的切线,求
的取值范围；
(2)若
,对任意
,不等式
恒成立，求
的最小值.
解：(1)∵
∴
.
由题意知
有实数解. ∴△
∴
,即
或
. 故
.
(2)∵
∴
即
.
,令
得
.
当
时,
∴
.
故
时, 
所以
,即
的最小值为
.
7．已知函数
的图像与函数
的图象相切，记
（1）求实数b的值及函数F（x）的极值；
（2）若关于x的方程F（x）= k恰有三个不等的实数根，求实数k的取值范围.
解：（1）依题意，令
，得
列表如下：
|
|
|
|
|
－1 |
|
|
|
+ |
0 |
－ |
0 |
+ |
|
|
增 |
极大值 |
减 |
极小值0 |
增 |
从上表可知
处取得极小值
（2）由（1）可知函数
作函数
的图象，当
的图象与函数
的图象有三个交点时，关于x的方程
8.函数
， 其中
， 将
的最小值记为
．（1）求
的表达式；（2）讨论
在区间[-1，1]内的单调性；
(3) 若当
时，
恒成立，其中
为正数，求
的取值范围．
解： (1) 
，
当
时， 
达到其最小值
，即
；
(2）因为
，
列表如下：
由此可见，
在区间
和
单调递增，在区间
单调递减；
(3) 
，所以
；
既
恒成立，所以
，综合可得k的范围为
。
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