广东省中山一中高三理科第五次统考

广东省中山一中高三理科第五次统考

广东省中山一中高中部　许少华

（本试卷分选择题和非选择题，全卷满分150分，考试时间120分钟）

 

第I卷

 

一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

 

1、关于全称命题与特称命题下列说法中不正确的一个为（     ）

（A）全称命题，对于取值集合中的每一个元素，命题都成立或都不成立

（B）特称命题，对于取值集合中至少有一个元素使命题成立或不成立

（C）“全称命题”的否定一定是“特称命题”

（D）“特称命题”的否定一定不是“全称命题”

2、若纯虚数满足，(是虚数单位，是实数)，则

A．2                        B．2                            C．8                        D．8

3、设成等比数列，其公比为，则（    ）

（A）            （B）         （C）          （D）

4、任给的值，计算函数中值的程序框图，如图， 其中，①、②、③分别是（      ）

（A）、、         

（B）、、

（C）、、         

（D）、、

5、已知的夹角为，设，若则的值为（     ）

（A）        （B）       （C）       （D）

6、若不等式组表示的平面区域不能构成三角形，则的范围是（　　）

Ａ．             Ｂ．             Ｃ．             Ｄ．

7、已知是双曲线的半焦距，则的取值范围是（    ）

  （A）        （B）       （C）      （D）

8、定义在R上的函数满足，且为偶函数，当时，有（   ）

（A）         （B）     

（C）         （D）

 

第Ⅱ卷（非选择题  共90分）

 

二、填空题：本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分．

 

（一）必做题（9~12题）

 

9、设是平面上形如的点构成的集合，三点是集合中的元素，则以为顶点，共可构成三角形的个数为       ；（用数字作答）

10、一个总体中有100个个体，随机编号为0，1，2，…，99，依编号顺序平均分10个小组，组号分别为1，2，…，10，现采用系统抽样方法抽取一个容量为10的样本，规定如果在第一组中随机取得的号码为，那么在第组中抽取的号码的个位数与的个位数相同，若，则在第6组中抽取的号码为               ；

11、三角形的一个性质为：设△SAB的两边SA、SB互相垂直，点S在AC边上的射影为H，则. 结论推广到三棱锥，设三棱锥S—ABC的三个侧面SAB、SBC、SAC两两相互垂直，点S在平面ABC上的射影为H，则有：                   ..

12、设a_n是(＋3)n的展开式中x的一次项的系数，则()的值为        ．

 

二、选做题（13—15题，考生只能从中选做两题）

 

13.（坐标系与参数方程选做题）过点P（－3，0）且倾斜角为30°的直线和曲线相交于A、B两点．则线段AB的长为                    ．

14.（几何证明选讲选做题）如图，PA切于点A，割线PBC经过圆心O，OB=PB=1, OA绕点O逆时针旋转60°到OD，则PD的长为            .

 

三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明，证明过程或演算步骤．

 

15、（本小题满分分）

在△ABC中，为三个内角为三条边， 且

   （1）判断△ABC的形状；

   （2）若，求的取值范围．

 

16、（本小题满分分）

已知数列，其中是首项为1，公差为1的等差数列；是公差为的等差数列；是公差为的等差数列（）.

（1）若，求；

（2）试写出关于的关系式，并求的取值范围；

（3）续写已知数列，使得是公差为的等差数列，……，依次类推，把已知数列推广为无穷数列. 提出同（2）类似的问题（（2）应当作为特例），并进行研究，你能得到什么样的结论？

 

17、（本小题满分分）

两个人射击，甲射击一次中靶概率是p₁，乙射击一次中靶概率是p₂，已知 , 是方程 x²－5x + a = 0的根，若两人各射击5次，甲的方差是 ．

(I) 求 p₁, p₂的值；

(II) 两人各射击2次，中靶至少3次就算完成目的，则完成目的的概率是多少？

(III) 甲、乙两人轮流射击，各射击3次，中靶一次就终止射击，求终止射击时两人射击的次数之和ξ的期望？

 

18、（本小题满分分）

在如图所示的多面体中，已知正方形ABCD和直角梯形ACEF所在的平面互相垂直，EC⊥AC，EF∥AC，AB＝，EF＝EC＝1，

⑴求证：平面BEF⊥平面DEF；

⑵求二面角A－BF－E的余弦值。

 

19、（本小题满分分）

已知，（），直线与函数、的图像都

相切，且与函数的图像的切点的横坐标为1．

       （1）求直线的方程及的值；

（2）若（其中是的导函数），求函数的最大值；

（3）当时，求证：．

 

20、（本小题满分分）

已知椭圆的中心在原点，焦点在轴上，点、分别是椭圆的左、右焦点，在椭圆的右准线上的点，满足线段的中垂线过点．直线：为动直线，且直线与椭圆交于不同的两点、．

（Ⅰ）求椭圆C的方程；

（Ⅱ）若在椭圆上存在点，满足（为坐标原点），求实数的取值范围；

（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，当取何值时，的面积最大，并求出这个最大值．

 

参考答案

 

一、选择题

 

1、（D）；“特称命题”的否定一定是“全称命题”，故D不正确。

2、（C）；设，由，

得

3、（A）；由于

4、（D）；首先注意到“是”时，“”则①应该是“”；再看②，由于“否”时，，会想到②应该是“”；当“”时，“”；

5、（D）；由，得

6、（A）；如图，直线从原点向右移动时，移动到时，再往右移不等式组所表示的区域就不能构成三角形了；又从点向右移动时，不等式组所表示的区域又为三角形；

7、（D）；由，由于，且函数在上是增函数，那么的取值范围是；

8、（D）；由或，得函数在区间上为增函数，在区间上为减函数；又为偶函数，得函数的图象关于直线对称；

由，由于即得结论。

 

二、填空题

 

9、五个点中有三点共线，那么可构成三角形的个数为。

10、；由于即第6组中抽取的号码的个位数为4，由于第6组中号码的十位数均为5，于是得结论；

11、；经过四面体的棱SA与点H作平面，与棱BC交于点D. 易知，棱BC⊥平面SAD. 在Rt△SAD中，有.

又 ∵ △SBC、△HBC、△ABC有公共边BC，

∴ ，即

12、∵x的一次项是由两个括号中取与其于n－2括号个括号取常数相乘得到，∴a_n＝，于是＝＝18(－)，所以)＝×18)＝18．

13、直线的参数方程为 ，曲线可以化为

将直线的参数方程代入上式，得．

设A、B对应的参数分别为，∴

AB＝．

14、∵PA切于点A，B为PO中点，∴AB=OB=OA,

 ∴,∴,在△POD中由余弦定理得

=

∴.

 

三、解答题

 

15、（1）对应用正弦定理，变形，有，所以

或．

若，且，所以 ，；于是，有

，得，所以三角形．

（2）∵ ，∴，

∴，而，

∴，∴，

由于，所以．

16、（1）. 

   （2），

    ，

    当时，.

   （3）所给数列可推广为无穷数列，其中是首项为1，公差为1的等差数列，当时，数列是公差为的等差数列.

研究的问题可以是：试写出关于的关系式，并求的取值范围.

研究的结论可以是：由，

    依次类推可得 

    当时，的取值范围为等.

17、(I) 由题意可知 x_甲 ~ B(5, p₁)，

∴  Dx_甲 = 5p₁ (1－p₁) = ? p₁²－p₁ + = 0 ? p₁ =  

又 += 5，  ∴ p₂ =  

(II) 两类情况：共击中3次概率

C ( ) ² ( ) ⁰×C ( ) ¹ ( ) ¹ + C ( ) ¹ ( ) ¹×C ( ) ² ( ) ⁰ =  

共击中4次概率：C ( ) ² ( ) ⁰×C ( ) ² ( ) ⁰ =  

所求概率为： + =  

(III) P(ξ=1)=,   P(ξ=2)=,   P(ξ=3)=,

P(ξ=4)=,  P(ξ=5)=,

P(ξ=6)=,

ξ的分布列为

 

 

 

 

Eξ==。

18、（1）证明: ∵平面ACEF⊥平面ABCD，EC⊥AC，∴EC⊥平面ABCD.

连接BD交AC于点O，连接FO.

∵正方形ABCD的边长为，∴AC＝BD＝2.

在直角梯形ACEF中，∵EF=EC=1，O为AC中点，

∴FO∥EC，且FO=1；易求得DF=BF=，DE=BE=.

由勾股定理知 DF⊥EF，BF⊥EF，

∴∠BFD是二面角B－EF－D的平面角.

由BF=DF=，BD=2可知∠BFD=，

∴平面BEF⊥平面DEF

⑵取BF中点M，BE中点N，连接AM、MN、AN，∵AB=BF=AF=，∴AM⊥BF.

又∵MN∥EF，EF⊥BF，∴MN⊥BF，

∴∠AMN就是二面角A－BF－E的平面角。

易求得，.取BC中点P，连接NP，则NP∥EC，

∴NP⊥平面ABCD，连接AP，在Rt△中，可求得，

∴在△中，由余弦定理求得

即二面角A－BF－E的余弦值为

解法2：⑴∵平面ACEF⊥平面ABCD，EC⊥AC，∴EC⊥平面ABCD.

建立如图所示的空间直角坐标系C－xyz，则，

，，，，

∴，，

设平面BEF、平面DEF的法向量分别为，则

  ①         ②，

  ③，        ④.

由①③③④解得，

∴

∴，∴，故平面BEF⊥平面DEF.

⑵设平面ABF的法向量为，∵，

∴，，解得

∴

∴

由图知，二面角A－BF－E的平面角是钝角，

故二面角A－BF－E的余弦值为

19、（1）依题意知：直线是函数在点处的切线，

故其斜率，所以直线的方程为．

因为直线与的图像相切，

所以由，

得（不合题意，舍去）；

（2）因为（），

所以．

当时，；当时，．

因此，在上单调递增，在上单调递减．

因此，当时，取得最大值；

（3）当时，．

由（2）知：当时，，即．

因此，有．

20、（Ⅰ）设椭圆的方程为，半焦距为，依题意有

 解得　　　　．

所求椭圆方程为．        　　　 　

（Ⅱ）由，得．

设点、的坐标分别为、，则

．

（1）当时，点、关于原点对称，则．

（2）当时，点、不关于原点对称，则，

由，得       即

点在椭圆上，有，

化简，得．

，有．………………① 

又，

由，得．……………………………②　

将①、②两式，得．

，，则且．

综合（1）、（2）两种情况，得实数的取值范围是．

（Ⅲ），点到直线的距离，

的面积．

由①有，代入上式并化简，得．

，．

当且仅当，即时，等号成立．

当时，的面积最大，最大值为．