七年级数学竞赛讲座 第十三讲 一次方程组

第十三讲  一次方程组

 

    一次方程组是在一元一次方程的基础上展开的，教材只介绍了二元一次方程组、三元一次方程组的概念、解法，类似地我们可得到四元一次方程组、五元一次方程组等，尽管元数可以增加，但是它们的解法却是一样的．“消元”是解一次方程组的基本思想，即通过消元把一次方程组转化为一元一次方程来解，而代人法、加减法是消元的两种基本方法．

    解一些复杂的方程组(如未知数系数较大、方程个数较多等)，需要观察方程组下系数特点，着眼于整体上解决问题，常用到整体叠加、整体叠乘、设元引参、对称处理、换元转化等方法技巧．

对于含有字母系数的二元一次方程组，我们可以进一步讨论解的特性、解的个数．基本思路是通过消元，将方程组的解的讨论转化为一元一次方程解的讨沦．

例题

    【例1】  给出下列程序：                                         ，且已知当输入x值为1时，输出值为1；输入的x值为一1时，输出值为一3，则当输入的x值为 时，输出值为           ．

    (南通市中考题)

    思路点拨  建立关于k，b的方程组，解方程组先求出k、b的值．

    注：方程、方程组是代数研究的主要内容，当未知数增加、未知数的次数增高，就得到复杂的方程组和高次方程，这是后续学习的主要内容，但解法的思想却不变，即消元与降次．

方程组的解是方程组理论中的一个重要概念，求解法、代解法是处理方程蛆的解的基本方法．透彻理解方程蛆的概念并能灵活适用，是解与方程组的概念相关问题的关键．

【例2】  若4x-3y-6z=0，x+2y-7z=0(xyz≠0)，则代数式 的值等于(    )．

A．    B．   C．—15    D．—13

    (全国初中数学竞赛题)

思路点拨  视z为常数，解关于x、y的方程组，这是解本例的关键．

  【例3】  解下列方程组：

  (1)

  (2)  

  (3)

      思路点拨  对于(1)解关于 、 的方程组，对于(2)运用整体叠加法解；对于(3)通过取倒数、拆分得到关于 、 、 的方程组．

  【例4】  k、b为何值时，方程组  

  (1)有惟一一组解；(2)无解；(3)有无穷多组解?

  思路点拨  通过消元，将方程组的解的情况的讨论转化为一元一次方程解的情况讨论．

  注： 所谓“整体叠加”就是说在解一些复杂的方程组，若方程组未知数系数规律可循，可直接把方程作加或作减，而不必拘泥于一般意义上的代入法、加减法，就能达到简化方程组目的．

【例5】  已知m是整数，方程组 有整数解，求m的值．

    ( “华杯赛”试题)

思路点拨  先求出y，运用整除的性质求出m的值，需注意所求的整数m要使得x也为整数．

【例6】已知方程组 与 有相同的解，则 的值为(   )

    A．     B．       C．       D．

思路点拨  由方程组的解的意义可知，它的解满足方程组

解之得 ，代入 得解 ，故选D．

【例7】 (全国初中联赛题)若a、c、d是整数，b是正整数，且满足a+b=c，b+c=d，c+d=a，那么a+b+c+d的最大值是(    )

      A．－1    B．－5     C．0    D． 1

  思路点拨  有条件得 ，∴a+b+c+d=－5b

   ∵b是正整数，其最小值为1，于是a+b+c+d =－5b的最大值是－5．

故选B．     

【例8】(全国通讯赛试题)已知： ，

求z-y的值．

  思路点拨∵x-y=(x-z)+(z-y)，代入方程组并化简得

（4）－(3)×(1988+1990)得z-y=1989

 

 

学力训练

1．（1）方程组 的解是        ．

    (荆州市中考题)

  (2)若关于x的方程m(x一1)＝2001一n(x一2)有无数个解，则m²⁰⁰³+n²⁰⁰³＝        ．

  2．(1)已知方程组 ，由于甲看错了方程①中的a得到方程组的解为 ；乙看错了方程②中的b得到方程组的解为 ，若按正确的a、b计算，则原方程组的解为        ．

 (2)若 和都是 的同类项，则 的值

  是           ．

3．若 与 互为相反数，则(x+y)²⁰⁰¹＝      ．

    ( “希望杯”邀请赛试题)

4．当a＝      时，方程组 的解x、y互为相反数，方程组的解为      ． (天津市竞赛题)

5．已知x-y=4， ，那么x+y的值是(    )．

    A．土     B．土     c．士7    D．土11

    (宁波市中考题)

6．关于x、y的方程组 无解，则a的值为(    )．

    A．一6    B．6    C．9    D．30

7．若 是方程组 的解，则a与c的关系是(   )．

  A．4a+c＝9    B．2a+c＝9  C．4a一c＝9    D．2a—c＝9

8．已知(x一y+1)²十 ＝0，则x²一3xy+2y²的值为(    )．

    A．0    B．4    C．6    D．12      (重庆市竞赛题)

9．解下列方程组：

(1)  （2）

（3）

 10．已知对任意有理数a、b，关于x、y的二元一次方程(a一b)x一(a十b)y＝a+b

    有一组公共解，求这个方程的公共解．

    (江苏省竞赛题)

11．若 ，则 =     ．

12．观察表格，由表格可得a＝    ，b＝    ，c＝    ．

x	0	1	2
ax2		1
x2+bx+c	3		3

    并在表格中的空格处填上正确的数．

13．m为正整数，已知二元一次方程组 有整数解，即x、y均为整数，则m²＝     ．

  (“希望杯”邀请赛试题)

14．当k、m的值符合条件              时，方程组 至少有一组解．

15．若方程组 与方程组 有相同的解，则a、b的值为(    )．

  A．a=2,b=1    B．a=2,b=-3   C．a=2.5,b=1   D．a=4,b=-5

 (“信利杯”竞赛题)

16．设 ，若 ，则 的值为（    ）

A．     B．1    C．     D．2

17．满足 的整数组 有（   ）组

A．3    B．5   C．8    D．12

18．已知： 三个数满足 ，则 的值为（    ）

A．     B．    C．    D．

19．解下列方程组：

（1）       （2）    （3） 求方程组 的正整数解．

 20．若 满足下列方程组：

求 的值．

   (美国数学邀请赛试题)

21．对于有理数 定义一种运算“Δ”：xΔy=ax+by+c，其中 为常数，等式右边是通常的加法与乘法运算．已知3Δ5＝15，4Δ7＝28，求1Δ1的值．

22．已知 ， ，  求x+y的值．

    (江苏省竞赛题)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

参考答案