在古典力学中,转动惯量又称惯性矩(Moment of inertia),通常以 或 [1] 表示,国际单位制基本单位为[kg]·[m2]。转动惯量用以描述一个物体对于其旋转运动的改变的对抗,是一个物体对于其旋转运动的惯性。转动惯量在转动动力学中的角色相当于线性动力学中的质量,描述角动量、角速度、力矩和角加速度等数个量之间的关系。 对于一个有多个质点的系统,。 对于刚体,可以用无限个质点的转动惯量和,即用积分计算其转动惯量,,其中是密度,是体积元。 如果一个质量为 的物件,以某条经过质心 点的直线为轴,其转动惯量为 。在空间取点 ,使得 垂直于原本的轴。那么如果以经过 、平行于原本的轴的直线为轴, 的距离为 ,则 。 概念力矩动能一般物件的动能是。将速度v和质量m,用转动力学的定义取代: 得出
简化得
如果一个人坐在一张可转动的椅子,双手拿重物,张开双手,转动椅子,然后突然将手缩到胸前,转动的速度将突然增加,因为转动惯量减少了。 惯性张量对于三维空间中任意一参考点 Q 与以此参考点为原点的直角坐标系 Qxyz ,一个刚体的惯性张量 是
这里,矩阵的对角元素 、 、 分别为对于 x-轴、y-轴、z-轴的转动惯量。设定 为微小质量 对于点 Q 的相对位置。则这些转动惯量以方程式定义为
矩阵的非对角元素,称为惯量积, 以方程式定义为
导引如图 A ,一个刚体对于质心 G 与以点 G 为原点的直角座标系 Gxyz 的角动量 定义为
这里, 代表微小质量 在 Gxyz 座标系的位置, 代表微小质量的速度。因为速度是角速度 叉积位置,所以,
计算 x-轴分量, 相似地计算 y-轴与 z-轴分量,角动量为
如果,我们用方程式 (1) 设定对于质心 G 的惯性张量 ,让角速度 为 ,那么,
平行轴定理平行轴定理能够很简易的,从对于一个以质心为原点的座标系统的惯性张量,转换至另外一个平行的座标系统。假若已知刚体对于质心 G 的惯性张量 ,而质心 G 的位置是 ,则刚体对于原点 O 的惯性张量 ,依照平行轴定理,可以表述为
证明: a) 参考图 B ,让 、 分别为微小质量 对质心 G 与原点 O 的相对位置:
依照方程式 (2),
所以, 相似地,可以求得 、 的方程式。 b) 依照方程式 (3),
因为 , ,所以 相似地,可以求得对于点 O 的其他惯量积方程式。 对于任意轴的转动惯量参视图 C ,设定点 O 为直角座标系的原点,点 Q 为三维空间里任意一点,Q 不等于 O 。思考一个刚体,对于 OQ-轴的转动惯量是
这里, 是微小质量 离 OQ-轴的垂直距离, 是沿着 OQ-轴的单位向量, 是微小质量 的位置。 展开叉积,
稍微加以编排, 特别注意,从方程式(2)、(3),这些积分项目,分别是刚体对于 x-轴、y-轴、z-轴的转动惯量与惯量积。因此,
如果已经知道,刚体对于直角座标系的三个座标轴,x-轴、y-轴、z-轴的转动惯量。那么,对于 OQ-轴的转动惯量,可以用此方程式求得。 主转动惯量因为惯性张量 是个实值的三维对称矩阵,我们可以用对角线化,将惯量积变为零,使惯性张量成为一个对角矩阵[2]。所得到的三个特征值必是正实值;三个特征向量必定互相正交。 换另外一种方法,我们需要解析特征方程式
这方程式的三个根 、 、 都是正实的特征值。将特征值代入方程式 (8),再加上方向余弦方程式,
我们可以求到特征向量 、 、 。这些特征向量都是刚体的惯量主轴;而这些特征值则分别是刚体对于惯量主轴的主转动惯量。 假设 x-轴、y-轴、z-轴分别为一个刚体的惯量主轴,这刚体的主转动惯量分别为 、 、 ,角速度是 。那么,角动量为
动能刚体的动能 可以定义为
这里, 是刚体质心的速度, 是微小质量 相对于质心的速度。在方程式里,等号右边第一个项目是刚体平移运动的动能,第二个项目是刚体旋转运动的动能 。由于这旋转运动是绕着质心转动的,
这里, 是微小质量 绕着质心的角速度, 是 对于质心的相对位置。 因此,
或者,
所以,
假设 x-轴、y-轴、z-轴分别为一个刚体的惯量主轴,这刚体的主转动惯量分别为 、 、 ,角速度是 。那么,刚体的动能为
2. 刚体对定轴的转动定律
3. 转动惯量
计算转动惯量的三个要素: (2) J 与质量分布有关
(3) J 与转轴的位置有关 4 平行轴定理
(3) 几种刚体的转动惯量
5. 转动定律的应用举例
例 一根长为 l ,质量为 m 的均匀细直棒,可绕轴 O 在竖直平 解 取一质元
重力对整个棒的合力矩等于重力全部 集中于质心所产生的力矩 对一有限过程
这就是绕定轴转动刚体的——动能定理 对于包括刚体的系统,功能原理和机械能守恒定律仍成立: 例 一根长为 l ,质量为 m 的均匀细直棒,可绕轴 O 在竖直平 解
由动能 定理 此题也可用机械能守恒定律方便求解 |
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