高考《数列求和》常见题型分析

高考《数列求和》常见题型分析

  《数列求和》是高考中常见题型，其主要方法为直接利用等差数列、等比数列的前n项和公式求和、分组求和法、倒序相加法、并项求和法、裂项相消法、错位相减法等.一般数列求和，应从通项入手，若无通项，先求通项，然后通过对通项变形，转化为与特殊数列有关或具备某种方法适用特点的形式，从而选择合适的方法求和，现将其常见题型解法分析如下：．

一、分组求和：

例：求数列1,1＋a,1＋a＋a²，…，1＋a＋a²＋…＋a^n－1的前n项和S_n.

解　若a＝1，则a_n＝1＋1＋…＋1＝n，

于是S_n＝1＋2＋…＋n＝；

若a≠1，则a_n＝1＋a＋…＋a^n－1＝＝(1－aⁿ)，

于是S_n＝＋＋…＋＝[n－(a＋a²＋…＋aⁿ)]＝.

二：裂项相消法求和

例：已知数列{a_n}的前n项和是S_n，且S_n＋a_n＝1.

(1)求数列{a_n}的通项公式；

(2)设b_n＝log₃(1－S_n＋1)，求适合方程＋＋…＋＝的n的值．

解　(1)当n＝1时，a₁＝S₁，由S₁＋a₁＝1，得a₁＝.

当n≥2时，∵S_n＝1－a_n，S_n－1＝1－a_n－1，

∴S_n－S_n－1＝(a_n－1－a_n)，即a_n＝(a_n－1－a_n)，

∴a_n＝a_n－1，∴＝.

∴{a_n}是以为首项，为公比的等比数列，

故a_n＝·^n－1＝2·ⁿ.

(2)∵1－S_n＝a_n＝ⁿ，

b_n＝log₃(1－S_n＋1)＝log₃^n＋1＝－n－1，

∴＝＝－，

∴＋＋…＋＝＋＋…＋＝－.

解方程－＝，得n＝100

三、　错位相减法求和

例：已知数列{a_n}的前n项和S_n＝kcⁿ－k(其中c，k为常数)，且a₂＝4，a₆＝8a₃.

(1)求a_n；

(2)求数列{na_n}的前n项和T_n.

解　(1)当n>1时，a_n＝S_n－S_n－1＝k(cⁿ－c^n－1)，

a₆＝k(c⁶－c⁵)，a₃＝k(c³－c²)，＝＝c³＝8，∴c＝2.

∵a₂＝4，即k(c²－c¹)＝4，

解得k＝2，∴a_n＝2ⁿ(n>1)．

当n＝1时，a₁＝S₁＝2，

综上所述a_n＝2ⁿ(n∈N^*)．

(2)∵na_n＝n·2ⁿ，∴T_n＝2＋2·2²＋3·2³＋…＋n·2ⁿ，①

2T_n＝1·2²＋2·2³＋3·2⁴＋…＋(n－1)2ⁿ＋n·2^n＋1，②

由面两个式子相减得，－T_n＝2＋2²＋2³＋…＋2ⁿ－n·2^n＋1，

∴T_n＝2＋(n－1)2^n＋1.

四、|分清{|a_n|}的前n项和与{a_n}的前n项和的关系

例：在等比数列{a_n}中，a_n>0(n∈N^*)，公比q∈(0,1)，且a₃a₅＋2a₄a₆＋a₃a₉＝100，又4是a₄与a₆的等比中项．

(1)求数列{a_n}的通项公式；

(2)设b_n＝log₂a_n，求数列{|b_n|}的前n项和S_n.

解　(1)∵a₃a₅＋2a₄a₆＋a₃a₉＝100，

∴a＋2a₄a₆＋a＝100，∴(a₄＋a₆)²＝100，

又a_n>0，∴a₄＋a₆＝10，∵4是a₄与a₆的等比中项，

∴a₄a₆＝16，而q∈(0,1)，∴a₄>a₆，∴a₄＝8，a₆＝2，

∴q＝，a₁＝64，∴a_n＝64·^n－1＝2^7－n.

(2)b_n＝log₂a_n＝7－n，则数列{b_n}的前n项和为T_n＝，∴当1≤n≤7时，b_n≥0，∴S_n＝.

当n≥8时，b_n<0，

∴S_n＝b₁＋b₂＋…＋b₇－(b₈＋b₉＋…＋b_n)

＝－(b₁＋b₂＋…＋b_n)＋2(b₁＋b₂＋…＋b₇)

＝－＋2×＝，

∴S_n＝