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小学数学解题方法之消去法

2014-03-25  tonyflora

    五(1)班举行了一次毕业班座谈会.同学们买来一些水果,其中苹果和梨共155个,梨和香蕉共有108个,苹果和香蕉共有123个。小朋友,你能算出苹果、梨各有多少个吗?

     像这样的应用题,有两个或两个以上的未知量,解题时通过一定的方法,消去一个未知量,只保留一个未知量,叫做消去问题。

     分析消去问题时,可以先整理条件,比较出两个未知量的联系和区别,再解答。

 1.把两个未知量中其中一个未知量转化成相等的量。

 2.用消元的方法消去一个量。

 3.先求出保留的未知量,再求出消去的未知量。

在一些应用题中,会同时出现两个或两个以上并列的未知数,并给出相应的几个等量关系。这类习题适合列出一次方程组求解,但在小学阶段常用消去法解答此类应用题。

即根据题中数据特点,通过分析比较,去同存异,设法抵消掉其中的一个或两个未知数,只剩下的一个未知数。先求出剩下的这个未知数,再根据题中数量关系,求出其它的未知数。这种解决问题的策略方法就叫做消去法。消去法是一种很重要的数学思想方法,也是初中解答一次方程组的主要方法之一。适当渗透,有利于孩子的后续学习。

应用消去法解答较复杂的的应用题,需要运用到等式的基本性质:

在等式的两边同时乘以或除以同一个数(0除外),等式仍然成立。

根据这个性质可以将题目中所给的条件适当转化,设法使题中某一项在前后不同的等量关系中,具有相等的数量,从而可以抵消掉这一项。

解题策略:先梳理好题目给出的条件,列出相应的等量关系式,在每个等量关系式中按相同的顺序排列不同的未知项,便于分析、比较、转化条件、抵消未知项、求解。 

【例题精讲】

13个水瓶和20个茶杯共134元;同样的3个水瓶和16个茶杯,共用去118元。水瓶和茶杯的单价各是多少元?

思路分析:通过两组条件的对比,可以发现水瓶的个数相同,之所以两次钱数相差134-118=16元,是因为两次买的茶杯个数相差20-16=4个,这样可求出一个水杯的价钱。 

2、小军第一次买3个篮球和5个足球共用去480元,第二次买同样的6个篮球和3个足球共用去519元。篮球和足球的单价各是多少元?

思路分析:通过两组条件的对比,可以根据第二次买的篮球是第一次的2倍,设法使两次的篮球个数相同,通过两式相减,消去篮球的个数,然后再求出足球的单价。 

3、某食堂第一次运进大米5袋,面粉7袋,共重1350千克,第二次运进大米3袋,面粉5袋共重850千克,一袋大米和一袋面粉各重多少千克?

思路分析:与上题不同,这两组对应数值中,既没有相同的数量关系,也无简单的倍数关系,因此解题的关键就是设法使两次运进的大米或面粉的袋数相同,然后求解。可以将第一次的大米和面粉的袋数及重量都扩大3倍,第二次的都扩大5倍,再进行解答。 

45头牛、6匹马每天吃草139千克,6头牛、5匹马每天吃草125千克,1头牛、1匹马每天各吃草多少千克?

思路分析:可以参照上题的方法解答,但由于条件特殊,我们可以解答的更为简便些。若将两组条件分别相加,可得到11头牛和11匹马共吃草139+125千克,进而知道1头牛1匹马共吃草24千克,那么5头牛、5匹马一天共吃草就是120千克,最后利用条件可以求出1匹马、1头牛每天的吃草量。

例五:

学校买来11根跳绳和9个皮球共用去69元,后来又买了同样的7根跳绳和3个皮球共用去33元,每根跳绳和每个皮球各多少元?

【解析】:

先根据题中的条件列出等量关系式:

11根跳绳的钱+9个皮球的钱69

7根跳绳的钱+3个皮球的钱33

⑴式中皮球的个数恰好是⑵式中皮球个数的3倍。我们把⑵式中的每一部分都扩大3倍,将这个条件转化为:

⑶(3×721根跳绳的钱+(3×39个皮球的钱=(3×3399

比较⑴式和⑶式,皮球的钱数抵消了。⑶式比⑴式左边多出了(211110根跳绳,右边多出了(996930元钱,即10根跳绳需要30元钱,可以求出跳绳的单价:

3×3369)÷(3×711=3(元)

根据跳绳的单价和⑵式条件,可以求出每个皮球的价格为:

337×3)÷34(元)

例六、

5件上衣和6条裤子共值1670元,同样的6件上衣和5条裤子共值1740元,每件上衣和每条裤子各多少元?

【解析】:

先根据题中的条件列出等量关系式:

5件上衣的钱+6条裤子的钱=1670

6件上衣的钱+5条裤子的钱=1740

1670元+1740元,可以买(5611件上衣和(6511条裤子,则1件上衣加上1条裤子共需要钱:

16701740)÷(56)=310(元)

根据⑴式条件,用1670元减去5件上衣和5条裤子的钱,即可求得一条裤子的单价为:1670310×5120(元)。

所以,一件上衣的单价为:310120190(元)。

 

【模仿练习】

1、买3支钢笔和2瓶墨水要付29元,买同样的5支钢笔和2瓶墨水要付钱43元。1支钢笔和1瓶墨水各多少元? 

22捆科技书,5捆故事书共重26千克,3捆故事书和2捆科技书共重18千克。1捆科技书和1捆故事书各重多少千克? 

3、小明买了8盒糖和5盒蛋糕共用去171元;乙买了5盒糖和2盒蛋糕共用去90元。每盒糖和每盒蛋糕各多少元? 

43件上衣和7条裤子共430元,同样的7件上衣和3条裤子共470元。每件上衣和每条裤子各多少元? 

5、小明第一天乘车5小时,步行3小时,共行187千米,第二天乘车6小时,步行2小时,共行218千米。求乘车和步行的速度各是多少? 

63只热水瓶和8只玻璃杯共值51元,5只热水瓶和6只玻璃杯共值63元,1只热水瓶和1只玻璃杯各值多少元? 

7、运一批砖,用2辆货车和3辆拖拉机装运,32次可以运完,如果用5辆货车和2辆拖拉机装运,16次可以运完,现在用11辆货车装运,几次可以运完? 

【拓展提高】

1、篮球、足球、排球三种球。篮球3个,足球2个,排球1个共值196元;篮球1个,足球3个,排球2个共值200元;篮球2个,足球1个,排球3个共值168元。每种球的单价各是多少元? 

2、甲顾客买了3千克苹果、2千克梨,乙顾客买了4千克苹果、3千克梨,丙顾客买了3千克苹果、4千克梨,乙顾客比甲顾客多花了7元钱,甲顾客比丙顾客少花了5元钱,每个顾客各花了多少钱? 

【课后练习】

13个皮球和5个足球共245元,同样的6个皮球和10个足球共多少元? 

23头牛和6只羊一天共吃草93千克,6头牛和5只羊一天共吃草130千克。每头牛和每只羊每天各吃草多少千克? 

3、学校第一次买6张课桌,6张椅子共付120元,第一次买6张课桌、4张椅子共付110元,课桌和椅子的单价各是多少元? 

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