|
画物体的三视图，就是画出物体的各表面、棱线、顶点的投影，为提高画图和看图的能力，本节先讨论点的投影。
一、点的投影规律
如果把三个投影面看作坐标面，则投影轴就是坐标轴。图2-7所示，立体上某一顶点A在三个投影面上的投影为a、a′、a″，投影线的距离就是点A的三个坐标x、y、z。画物体的三视图，就是画出物体的各表面、棱线、顶点的投影，为提高画图和看图的能力，本节先讨论点的投影。
一、点的投影规律
如果把三个投影面看作坐标面，则投影轴就是坐标轴。图2-7所示，立体上某一顶点A在三个投影面上的投影为a、a′、a″，投影线的距离就是点A的三个坐标x、y、z。
通过各投影作投影轴的垂线，与投影线组成了一个长方体框架，从框架中可以看出：点的每一个投影都反映两个坐标，每两个投影都有一个相同的坐标。由此在展开的投影图上可得出下列点的投影规律：
(l)点的正面投影和水平投影的连线垂直于OX轴，即a′a⊥OX，（反映同一x坐标）；
(2)点的正面投影和侧面投影的连线垂直于OZ轴，即a′a⊥OZ，（反映同一z坐标）；
(3)点的水平投影到OX轴的距离，等于点的侧面投影到OZ轴的距离，即aax=a naz，（反映同一y坐标）。
由规律三可知：过a的水平线和过a″的铅垂线必定交于O的45°斜线上。初学作图时，常利用过原点O 的45°辅助线作图。
已知点的两个投影。可根据投影规律作出点的第三投影．
例1 已知点B 的二投影b和b′扩求W 面投影b″（图2-8）。
解（1）过O作45°斜线，过b′作水平线；
（2）过b作水平线与斜线相交，过交点作铅垂线交得b″。
例2 已知点A ( 50，30，20)，点B(20,10,30)，试作出其投影图（图2-9）  1、点在投影面上
若点在某一投影面上，则它与该投影的距离为零，即某一坐标值为零，点在该投影面上的投影与其自身重合，而其它两投影落在相应的投影轴上。如图2—14中的点A在V面上，其正面投影a′和点A本身重合，水平投影a和侧面投影a″分别落在OX轴和OZ轴上，为了便于区分，凡是与空间点重合的投影，在此投影符号上加一横杠，如aˉ′。由图可知点B在H面上。
2、点在投影轴上
若点在投影轴上，即点的某两个坐标值均为零，其三个投影中，有两个和自身重合在轴上，第三个投影在原点上。如图2—14中的点C在OX轴上，它的水平投影cˉ与正面投影cˉ′重合在轴上，它的侧面投影c″落在原点O上。
解（1）作投影轴；
(2）由O 沿OX 轴向左量取50个单位，得ax；
(3）过ax作OX 轴的垂线，在垂线的下方量取30个单位，得a；再在垂线的上方量取20个单位，得a′；
(4）由a、a′求出a″。
同样方法可以作出点B 的投影图。
由此可知，点的每一个投影，由其两个坐标所确定。因此，点的任意两个投影，就确定了点的三个坐标。也就是说，根据点的任意两个投影就可以确定该点的空间位置。
二、两点的相对位置
图2-10 表示立体上两个顶点A、B的三面投影．点的投影既然能反映点的坐标，当然也能反映出两点坐标差，也就是两点间相对坐标。两点的相对位置，是指两点的左右、前后、高低的位置关系，这些关系可由两点的坐标值之差的大小来判断。
在图2-9中，由于XA>XB,所以点A在点B的左面，其左右相差的距离为XA-XB=50-20=30；由于YA>YB,所以点A在点B的前面，其前后相差的距离为YA-YB=30-10=20；由于ZA>ZB，所以点B在点A的上面，其上下相差的距离为ZB-ZA =30-20=10。图中点B对点A的相对坐标为：△X=XB-XA；△Y=YB-YA；△Z=ZB-ZA。相对坐标反映了两点的相对位置，若已知点A的三个投影，又已知点B对点A的相对位置．即使没有投影轴，也能确定点B的三个投影，不画投影轴的图称为无轴图，如图2-10(b)所示。
例3 在无轴投影图中，已知点A的三个投影和点B 的两投影b、b′求b″（图2-11）。
解 方法一 见图2-11(b)，过a引水平线，过a″引铅垂线，再过两线交点作45°线。由b引水平线与斜线相交，过交点引铅垂线与水平线b、b′交得b″。
方法二 见图2-11(c)，用分规将H面投影上的△Y值移到W面投影上，得到b″。
三、重影点
两点位于某一投影面的同一投影线上，则此两点在该投影面上的投影重合，此重合投影称为重影点。如图2-12所示，A、B两点位于同一垂直于H面的投影线上，故a和b重叠成一个重影点。
重影点通常要判断可见性。一个投影中某重影点的可见性，必须依靠另外的投影来确定。在图2-12 (b)中，a′在b′之上，说明点A高于点B，故a可见，b不可见。为区别起见，不可见的字母规定写在后面，或将不可见的字母加以圆括号。
例4 已知点A(a、a′、a″）的投影，求作一点B，使B在A的正上方10mm。再作一点C，使点C与A同高，并在A之左l0mm，之前l0mm。（图2-13)
解 B在A正上方10mm，即△Z=10 , A、B两点是对H面的重影点。C与A同高，即△Z=0。在a′的左方量△X =10得c′，过c′作铅垂线；由a向下量l0mm作水平线，交得c。由c、c′c″。
四、特殊位置点的投影
点在空间时称为一般点，它们的三个投影均在投影面上。当点位于投影面或投影轴上时，称为特殊点，它们的投影位置与一般点有所不同。
通过各投影作投影轴的垂线，与投影线组成了一个长方体框架，从框架中可以看出：点的每一个投影都反映两个坐标，每两个投影都有一个相同的坐标。由此在展开的投影图上可得出下列点的投影规律：
(l)点的正面投影和水平投影的连线垂直于OX轴，即a′a⊥OX，（反映同一x坐标）；
(2)点的正面投影和侧面投影的连线垂直于OZ轴，即a′a⊥OZ，（反映同一z坐标）；
(3)点的水平投影到OX轴的距离，等于点的侧面投影到OZ轴的距离，即aax=a naz，（反映同一y坐标）。
由规律三可知：过a的水平线和过a″的铅垂线必定交于O的45°斜线上。初学作图时，常利用过原点O 的45°辅助线作图。
已知点的两个投影。可根据投影规律作出点的第三投影．
例1 已知点B 的二投影b和b′扩求W 面投影b″（图2-8）。
解（1）过O作45°斜线，过b′作水平线；
（2）过b作水平线与斜线相交，过交点作铅垂线交得b″。
例2 已知点A ( 50，30，20)，点B(20,10,30)，试作出其投影图（图2-9） 1、点在投影面上
若点在某一投影面上，则它与该投影的距离为零，即某一坐标值为零，点在该投影面上的投影与其自身重合，而其它两投影落在相应的投影轴上。如图2—14中的点A在V面上，其正面投影a′和点A本身重合，水平投影a和侧面投影a″分别落在OX轴和OZ轴上，为了便于区分，凡是与空间点重合的投影，在此投影符号上加一横杠，如aˉ′。由图可知点B在H面上。
2、点在投影轴上
若点在投影轴上，即点的某两个坐标值均为零，其三个投影中，有两个和自身重合在轴上，第三个投影在原点上。如图2—14中的点C在OX轴上，它的水平投影cˉ与正面投影cˉ′重合在轴上，它的侧面投影c″落在原点O上。
解（1）作投影轴；
(2）由O 沿OX 轴向左量取50个单位，得ax；
(3）过ax作OX 轴的垂线，在垂线的下方量取30个单位，得a；再在垂线的上方量取20个单位，得a′；
(4）由a、a′求出a″。
同样方法可以作出点B 的投影图。
由此可知，点的每一个投影，由其两个坐标所确定。因此，点的任意两个投影，就确定了点的三个坐标。也就是说，根据点的任意两个投影就可以确定该点的空间位置。
二、两点的相对位置
图2-10 表示立体上两个顶点A、B的三面投影．点的投影既然能反映点的坐标，当然也能反映出两点坐标差，也就是两点间相对坐标。两点的相对位置，是指两点的左右、前后、高低的位置关系，这些关系可由两点的坐标值之差的大小来判断。
在图2-9中，由于XA>XB,所以点A在点B的左面，其左右相差的距离为XA-XB=50-20=30；由于YA>YB,所以点A在点B的前面，其前后相差的距离为YA-YB=30-10=20；由于ZA>ZB，所以点B在点A的上面，其上下相差的距离为ZB-ZA =30-20=10。图中点B对点A的相对坐标为：△X=XB-XA；△Y=YB-YA；△Z=ZB-ZA。相对坐标反映了两点的相对位置，若已知点A的三个投影，又已知点B对点A的相对位置．即使没有投影轴，也能确定点B的三个投影，不画投影轴的图称为无轴图，如图2-10(b)所示。
例3 在无轴投影图中，已知点A的三个投影和点B 的两投影b、b′求b″（图2-11）。
解 方法一 见图2-11(b)，过a引水平线，过a″引铅垂线，再过两线交点作45°线。由b引水平线与斜线相交，过交点引铅垂线与水平线b、b′交得b″。
方法二 见图2-11(c)，用分规将H面投影上的△Y值移到W面投影上，得到b″。
三、重影点
两点位于某一投影面的同一投影线上，则此两点在该投影面上的投影重合，此重合投影称为重影点。如图2-12所示，A、B两点位于同一垂直于H面的投影线上，故a和b重叠成一个重影点。
重影点通常要判断可见性。一个投影中某重影点的可见性，必须依靠另外的投影来确定。在图2-12 (b)中，a′在b′之上，说明点A高于点B，故a可见，b不可见。为区别起见，不可见的字母规定写在后面，或将不可见的字母加以圆括号。
|
