投影法知识 一、投影法的概念 投影法是画法几何学的基本方法。如图2.1所示， 为投影中心， 为空间一点， 为投影面， 连线为投射线。投射线均由投影中心射出，射过空间点的投射线与投影面相交于一点 ，点称作空间点在投影面 上的投影。同样，点是空间点在投影面上的投影。在投影面和投射中心确定的条件下，空间点在投影面上的投影是唯一确定的。
图2.1 投影法 图2.2 中心投影法 画法几何就是靠这种假设的投影法，确定空间的几何原形在平面上（图纸上）的图像。图2.2是三角板投影的例子。 二、投影法的种类 上述的投影法，投射线均通过投影中心，称为中心投影法，如图2.2所示。如果投射线互相平行，此时，空间几何原形在投影面上也同样得到一个投影，这种投影法称为平行投影法。当平行的投射线对投影面倾斜时，称为斜投影法，如图2.3所示。当平行的投射线与投影面垂直时，称为正投影法，如图2.4所示。
图2.3 平行投影法——斜投影法 图2.4 平行投影法——正投影法 平行投影的特点之一是，空间的平面图形（如图2.3和图2.4中的三角板）若和投影面平行，则它的投影反映出真实的形状和大小。 三、正投影法的基本性质 1、类似性：当线段或平面与投影面倾斜时，其线段投影小于实长；平面的投影为小于实形的类似形。 2、不变性：当线段或平面与投影面平行时，其反映实长或实形投影。 3、积聚性：当线段或平面与投影面平行时，投影积聚。 4、从属性和定比性： 机械工程上常用几种投影图 一、正投影图 正投影图是一种多面投影图，它采用相互垂直的两个或两个以上的投影面，在每个投影面上分别采用正投影法获得几何原形的投影。由这些投影便能确定该几何原形的空间位置和形状。图2.5是某一几何体的正投影。 图2.5 几何体的正投影 图2.6 几何体的轴测投影图 采用正投影图时，常将几何体的主要平面放成与相应的投影面相互平行。这样画出的投影图能反映出这些平面的实形。因此说正投影图有很好的度量性，而且正投影图作图也较简便。在机械制造行业和其他工程部门中，被广泛采用。 二、轴测投影图 轴测投影图是单面投影图。先设定空间几何原形所在的直角坐标系，采用平行投影法，将三根坐标轴连同空间几何原形一起投射到投影面上。图2.6是某一几何体的轴测投影图。由于采用平行投影法，所以空间平行的直线，投影后仍平行。 采用轴测投影图时，将坐标轴对投影面放成一定的角度，使得投影图上同时反映出几何体长、宽、高三个方向上的形状，增强了立体感。 三、标高投影图 标高投影图是采用正投影法获得空间几何元素的投影之后，再用数字标出空间几何元素对投影面的距离，以在投影图上确定空间几何元素的几何关系。 图2.7是曲面的标高投影。图中一系列标有数字的曲线称为等高线。 图2.7 曲面的标高投影 图2.8 几何体的**投影图 标高投影图常用来表示不规则曲面，如船舶、飞行器、汽车曲面及地形等。 四、**投影图 **投影图用的是中心投影法。它与照相成影的原理相似，图像接近于视觉映像。所以**投影图富有逼真感、直观性强。按照特定规则画出的**投影图，完全可以确定空间几何元素的几何关系。 图2.8是某一几何体的一种**投影图。由于采用中心投影法，所以空间平行的直线，有的在投影后就不平行了。**投影图广泛用于工艺美术及宣传广告图样。
点的投影 物体是由点、线和面组成，其中点是最基本的几何元素，下面从点开始来说明正投影法的建立及其基本原理。 一、点在两投影面体系中投影 （1）点的两个投影能唯一地确定该点的空间位置 首先建立两个互相垂直的投影面H及V，其间有一空间点A，它向投影平面H投影后得投影a，向投影平面V投影后得投影a′，投射线Aa及A a′是一对相交线，故处于同一平面内，如图2.9所示。
图2.9 点的两面投影 图2.10 两个投影能唯一确定空间点 从图2.9可知，若移去空间点A，由点的两个投影a、a′就能确定该点的空间位置。另外，由于两个投影平面是相互垂直的，可在其上建立笛卡尔坐标体系，如图2.10所示。已知a，即已知x、y两个坐标。已知a′，即已知x、z两个坐标。因此，已知空间点A的两个投影a及a′，即确定了空间点A的x、y及z三个坐标，也就唯一地确定该点的空间位置。 （2）术语及规定 1.术语 如图2.11（a）所示： 水平位置的投影面称水平投影面，用H表示。 与水平投影面垂直的投影面称正立投影面，用V表示。 两投影面的交线称投影轴，用OX表示。 空间点用大写字母（如A、B、…）表示。 在水平投影面上的投影称水平投影，用相应小写字母（如a、b、…）表示。 在正立投影面上的投影称正面投影，用相应小写字母加一撇（如a′、b′、…）表示。 2.规定 图2.11（a）所示为一直观图。 为使两个投影a和a′画在同一平面（图纸）上，规定将H面绕OX轴按图示箭头方向旋转90°，使它与V面重合，这样就得到如图2.11（b）所示点A的两面投影图。投影面可以认为是任意大的，通常在投影图上不画它们的范围，如图2.11（c）所示。投影图上细实线a a′称为投影连线。 由于图纸的图框可以不用画出，所以今后常常利用图2.11（c）所示的两面投影图来表示空间的几何原形。 (a) 两投影面体系 （b）两面投影图 （c）不画投影面的范围 图2.11 两面投影图的画法 （3）两面投影图的性质 1.一点的两个投影连线垂直于投影轴（a a′⊥OX a′到点O 因为投射线Aa a′构成了一个平面Aaax a′，如图2.11（a）所示。它垂直于H面，也垂直于V面，则必垂直于H面和V面的交线OX。所以处于平面Aaax a′上的直线aaxa′ax必垂直于OXa′ax⊥OXax、a′三点共线，且a′ax⊥OX。。当a跟着H面旋转而和V面重合时，则aax⊥OX的关系不变。因此投影图上的a、，即aax⊥OX和和和A 2.一点的水平投影到OX a′），都反映y a′=y）；其正面投影到OXa′ax)等于该点到Ha′ax=Aa=z）。面的距离(Aa)，都反映z坐标（轴的距离(坐标（aax=A轴的距离（aax）等于该点到V面的距离（A 二、点在三投影面体系中的投影
图2.12 需用三面投影图表示的几何体 点的两个投影已能确定该点的空间位置。但为更清楚地表达某些几何体，有时需采用三面投影图。例如图2.12 所示的几何体投影，相同的正面和水平投影，只有确定了其第三面投影，才能清楚地表示出该几何体的形状。 由于三投影面体系是在两投影面体系基础上发展而成，因此两投影面体系中的术语及规定、投影图的性质，在三投影体系中仍适用。此外，它还有一些本身的术语及规定、投影图的性质。 （1）术语及规定 与正立投影面及水平投影面同时垂直的投影面称侧立投影面，用W表示，如图2.13所示。 在侧立投影面上的投影称侧面投影，用小写字母加两撇（如a″、b″、…）表示。 规定W面绕OZ轴按图示箭头方向转90°和V面重合，得到三个投影的投影图。投影图中OY轴一分为二，随H面转动的以OYH表示，随W面转动的以OYw表示。 （2）三面投影图的性质 1.一点的侧面投影与正面投影连线垂直于OZ轴（a′a″⊥OZ）。 因侧立投影面与正立投影面也构成一个两投影面体系，故由上面内容可知，此性质成立。 2.点的水平投影a到OX轴的距离（aax）和侧面投影a″到OZ轴的距离（a″az）均等于A到V面的距离（Aa′）都反映y坐标(aax=a″az=Aa′=y)。 为作图方便，也可自点O作45°辅助线，以实现这个关系，如图2.13（b）所示。 以上的性质是画点的投影图必须遵守的重要依据。
(a) (b) 图2.13 三面投影图性质和画法 三、特殊位置点的投影 特殊情况下，点有可能处于投影面上、投影轴上。 （1）在投影面上的点
（a） （b） 图2.14 投影面及投影轴上的点 如图2.14(a)所示，点A、B、C分别处于V面、H面、W面上,它们的投影如图2.14(b)所示，由此得出处于投影面上的点的投影性质： 1.点的一个投影与空间点本身重合 2.点的另外两个投影，分别处于不同的投影轴上 （2）在投影轴上的点 如图2.14所示，当点D在OY轴上时，点D和它的水平投影、侧面投影重合于OY轴上，点D的正面投影位于原点。 据此可以得出在投影轴上的点的投影性质。 四、两点的相对位置及重影点 （1）两点相对位置的确定 立体上两点间相对位置，是指在三面投影体系中，一个点处于另一个点的上、下、左、右、前、后的问题。两点相对位置可用坐标的大小来判断，Z坐标大者在上，反之在下；Y坐标大者在前，反之在后；X坐标大者在左，反之在右。图2.15中，A、C两点的相对位置 ：ZA﹥ZC,因此点A在点C之上；YA﹥YC，点A在点C之前；XA﹤XC，点A在点C之右，结果是点在点C的右前上方。 图2.15 两点的相对位置及重影点 （2）重影点 当空间两点的某两个坐标相同，即位于同一条投射线上时，它们在该投射线垂直的投影面上的投影重合于一点，此空间两点称为对该投影面的重影点。 如图2.15中，A、B两点位于垂直于V面的同一条投射线上（XA=XB，ZA=ZB），正面投影a′和b′重合于一点。由水平投影（或侧面投影）可知YA﹥YB，即点A在点B的前方。因此点B的正面投影b′被点A的正面投影a′遮挡，是不可见的，规定在b′上加圆括号以示区别。 总之，某投影面上出现重影点，判别哪个点可见，应根据它们相应的第三个坐标的大小来确定，坐标大的点是重影点中的可见点。 【例2.1】已知点B的正面投影b′及侧面投影b″，试求其水平投影b。 分析：根据点的三面投影的性质，可以利用点B的正面投影和侧面投影求出点B的水平投影b。 作图：由于b与b′的连线垂直于OX轴，所以b一定在过b′而垂直于OX轴的直线上。又由于b至OX轴的距离必等于b″至OZ轴的距离，使bbx等于b″bz，便定出了b的位置，如图2.16（b）所示。
(a) (b) 图2.16 求第三投影 【例2.2】已知A（28，0，20）、B（24，12，12）、C（24，24，12）、D（0，0，28）四点，试在三投影面体系中作出直观图，并画出投影图。 分析：由于把三投影面体系与空间直角坐标系联系起来，所以已知点的三个坐标就可以确定空间点在三投影面体系中的位置，此时点的三个坐标就是该点分别到三个投影面的距离。 作图：作直观图，如图2.17（a）所示，以B点为例，在OX轴上量取24，OY轴上量取12，OZ轴上量取12，在三个轴上分别得到相应的截取点bx、by和bz，过各截点作对应轴的平行线，则在V面上得到正面投影b′，在H面上得到水平投影b，在W面上得到了侧面投影b″。 同样的方法，可作出点A、C、D的直观图。其中A点在V面上（因为YA=0），其正面投影a′与A重合，水平投影a在OX轴上，侧面投影a″在OZ轴上。D点在OZ轴上（XD=YD=0），其正面投影d′、侧面投影d″与D点重合于OZ轴上，水平投影d在原点O处。 点B和点C有两个坐标相同（XB=XC，ZB=ZC），所以它们是对V面的重影点。它们的第三个坐标YB﹤YC，正面投影c′可见，b′不可见加上圆括号。 根据各点的坐标作出投影图，如图2.17（b）。
(a) (b) 图2.17 由点的坐标作直观图和投影图 | 
