[原创]多字母的计算题，宜分而治之

多字母的计算题，宜分而治之

大罕

 

　　　以下是一道关于复数的综合题，是上海市1991年高考数学第22题：

　　　设复数z满足等式 |z–i|=1，且z≠0 , z≠2i，又复数w 使得[w/(w-2i)][(z-2i)/z]为实数，问复数w 在复平面上所对应的点Z的集合是什么图形，并说明理由．

      题目的任务是求复数w在复平面上所对应的点Z的集合是什么图形.可是，另有一个复数z　参入搅和，且 |z–i|=1，z≠0 , z≠2i；同时，联系两个复数w和z的关系式又比较诡异：[w/(w-2i)][(z-2i)/z]；并且，此式表示的复数为实数.这样一来就热闹了！如果要计算，势必设四个字母a,b,x,y才行.哈哈，四个字母——复杂的关系式——分母实数化——利用它为实数，有点曲折啊.

　　　解题方案既定，以下实施：

     设z=a+bi，z=x+yi (a,b,x,y∈R)，

     由|z–i|=1知，a²+b²-2b ＝０，且a≠0，b≠0，

     设u=[w/(w-2i)][(z-2i)/z]，

　　我们马上要面临一个问题：有两条路可走，选择哪一条？

　　第一条路是先做乘法,u的分式、分母分别相乘，把w=a+bi，z=x+yi代入其中，虽眼见运算十分繁复，但我有背水一战、破釜沉舟的勇气；

　　第二条路是把w/(w-2i)和(z-2i)/z分而治之，分别代入，各自变形，然后两军会师.

　　两条路比较一下，应该是第二条路比较可行，分而治之就是分散难点，对，就这么办：

　　w/(w-2i)=(x+yi)/( x+yi-2i)=[(x²+y²-2y)+2xi]/[ (x²+(y-2)² ]

　　(z-2i)/z=(a+bi-2i)/(a+bi)=[(a²+b²-2b)-2ai]/(a²+b²) =(-2ai)/(a²+b²)

　　这时，u=[w/(w-2i)][(z-2i)/z]的分母已为实数.如果u为实数，起决定作用的只是分子，于是，下面我们考查其分子：

　　u=[w/(w-2i)][ (z-2i)/z]的分子＝[(x²+y²-2y)+2xi] (-2ai)＝４-2a(x²+y²-2y)i，

　　演算到此处，豁然开朗：

　　∵u为实数且a≠0，∴x²+y²-2y＝０，它表示圆心为点(0,1)，半径为１的圆.,

　　似乎答案已经获得，可以呜鼓收兵了吗？且慢！看一看还有什么不周全的地方：

　　又∵w-2i≠0，此圆应除去点(0,2).

　　做完此题，掩题相思：复杂的计算问题，若一古脑全盘拿来，则其繁杂不堪忍受；若设法分散难点，各个击破，岂不美哉！然也.