初中奥数降龙第1讲：挑战实数 II

基本技巧

第1讲第二部分基本技巧，主要讲述实数运算的技巧和求绝对值技巧.

一. 实数的运算.

实数的运算主要介绍拆项法和放缩法.

1 拆项法.

先看个例子. 如何计算

我们将解题思路分观察、线索、尝试三个步骤来讲解.

（1）观察：直接计算是不可行的.

（2）线索：每一项分母中的数是两个相邻整数的乘积，有规律的增加，并且每相邻两项的分母都有一个相同的数. 任取一项，比如

发现分子正好可以拆成分母两个数的差，从而将这项拆成两个分数的差

同样的，

也可以拆成分母两个数的差：

上述两项相加可以消去 1/3.

（3）尝试：推广到一般情况，有

可以拆成

现在来计算

用上面的公式把每一项拆开，得到

观察拆后的式子发现，第二项与第三项抵消，第四项与第五项抵消，依此类推，最后剩下

练一练.

II.1 计算

（观察：直接计算是不可行的. 线索：各项分母中的数有规律的增加，并且每一项的分母是两个整数的乘积，这两个整数的差始终是2. 如果将每一项中的分子拆成分母两个数的差，为了保持分子不变，需要乘以...）

再练一题. 是不是很快就能看出怎么做？

II.2 计算

思考：

n 是字母，d 是一个给定的正整数，怎么拆？

再举一个例子.计算

（1）观察：直接计算是不可行的.

（2）线索：各项分母都是相邻整数的乘积. 第一项的分母有2和3，第二项分母也有2和3，每相邻两项的分母都有两个数相同，因此想到能不能拆？ 拆的时候能不能出现抵消的情况？

（3）尝试：同样先把分子拆成分母两个数的差，由于分母有三个数，尝试取第一个数和第三个数做差，正好都是2，比如：

做差后分子是2不是1，为了保持拆分前后相等，需要乘以1/2

再拆第二项

上边两项拆后相加，发现有两项可以抵消. 因此，拆！

上题说明如果求和的每一项具有形式

也是可以拆的，这里分母是三个连续整数的乘积.

那么思考一下，

怎么拆呢？

练一练.

II.3 计算

II.4 计算

2 放缩法.

放缩法在估计数的大小时经常用到. 比如下面这个例子

（1）观察：要求 4S 的整数部分. 直接计算不可行. 直接使用拆项法？也不符合上面的形式. 怎么办呢？

（2）线索：发现各项分母中的数都是整数的三次方. 能不能通过放缩法变成可以拆分的形式，然后再求值？

（3）尝试：任取一项，比如

尝试将其放大得到：

推广到一般情形，也就是（注意分母不能为0）

可以放大成

放大后的分母含有平方差项，用平方差公式展开得到

分母是三个连续整数的乘积. 根据前面的拆项法，上式可以拆成

最终放大的结果是

于是

另外显然

于是有

那么

所以

的整数部分只能是 4.

练一练.

II.5 求证：

提示：

二. 绝对值问题.

求绝对值问题需要学会的技巧是分情况讨论.

举个例子. 化简

（1）观察：这个题包含两个绝对值，要化简它，需要去掉两个绝对值.

（2）线索：由于绝对值中含有字母，绝对值的符号由字母的取值决定. 因此需要对字母的取值进行讨论.

（3）尝试：对于第一个绝对值

根据

和

讨论.

对于第二个绝对值

根据

和

讨论.

要同时去掉这两个绝对值，需要对字母的条件进行合并后讨论. 怎么合并呢？因为 x

在整个实数上取值，并且两个绝对值的符号由它与

的大小决定. 因此将 x 在实数上的取值分三种情况讨论

（a）当 x<-2 时

（b） 当 -2 ≤x <1/2 时

（c）当 x ≥1/2 时

练一练.

II.6 化简：

（完）