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翻开您家孩子的作业本，看看他使用十字相乘法的频率和正确率，便可窥见一二。 十字相乘法不仅是初二数学因式分解的重点，还是为初三的二次函数和二次方程做铺垫，也是学好高中函数章节的基础。 十字相乘法通常会出现在：因式分解、快速解一元二次方程、 快速解一元二次不等式。 什么是十字相乘法呢？拿x²+3x+2举例，在因式分解中，要把它分解为两个一次项的乘积，需要如下步骤（见附图）： 1.画一个大叉； 2.对x²系数进行因数分解，这里x²系数是1，就可以拆成1×1，即x²=x*x，把对应的x和x写在十字的左边； 3.再看常数项，例题的常数项是2，所以需要把2进行拆解，可以是1*2，可以是2*1，也可以是（-1）*（-2），还可以是（-2）*（-1）。具体怎样分解，要看下一步； 4.十字由两条线段组成，要让每一条线段对应两个数的乘积和另外一条线的对应两个数乘积，加在一起等于一次项系数。这里十字左边都是x,所以右边需要拆成1*2（或者2*1），这样x*1+x*2=3x，和题目中的3x是吻合的； 5.观察十字，总共两行，每行都写成一次式和代数和形式，再相乘，即为x²+3x+2=(x+1)*(x+2)。 大概思路就是这样。十字相乘法非常简单，但很多孩子却在计算过程中遇到很大的阻力，其实是因为练得少，不够熟悉。这部分内容如果不扎扎实实练习，很容易在考试中出错。这里我总结出三点建议： 🍀建议一：分类练习 这几大类情况，需让孩子在做题过程中自行体会并总结。 🌸[第一种情况] 当一次项系数为1时，我们只需分解常数项就可以了。 ① x²+7x+6、x²+5x+6、x²+7x+12、x²+8x+12、x²+12x+32…… 当常数项和一次项系数都为正数时，十字相乘法就相当于找常数的因数，所以这就用到五年级的数学知识：寻找因数。 ② x²-7x+6、x²-5x+6、x²-7x+12、x²-8x+12、x²-12x+32…… 当常数项为正，一次项系数为负时，十字相乘法的右侧两个数需要同为负数。 ③ x²+x-6、x²+5x-6、x²+4x-12、x²+x-12、x²+4x-32…… 当常数项为负，一次项系数为正时，说明常数项需要分解成一个正数与一个负数的乘积，正数的绝对值比负数的绝对值大。 ④ x²-x-6、x²-5x-6、x²-4x-12、x²-x-12、x²-4x-32…… 当常数项为负，一次项系数为负时，说明常数项需要分解成一个正数与一个负数的乘积，正数的绝对值比负数的绝对值小。 🌸[第二种情况] 如果二次项系数是大于1的正整数，那我们在运用十字相乘法时，要兼顾二次项系数和常数项，这样会复杂很多，需要通过大量练习，培养解题的灵感和直觉。 比如4x²+19x+12，怎样进行因式分解？ 显然，4有两种拆解方式：2*2和1*4。 但对这道题来说，它的一次性系数19是奇数，所以4如果拆成2和2的话，2和任何数的乘积都是偶数，那么它们组合在一起，结果也是偶数。所以显然4只能分成1和4。接下来12怎么分？虽然12可以分为1*12、2*6、3*4，但在这里，如果把它分成两个偶数的乘积，那么组合之后的一次项系数肯定也是偶数，所以只可能拆成1*12或者3*4。具体怎样拆解？计算能力强的孩子一眼就可以看出来，4*4+1*3=19，所以很快就分解完了。 🌸[第三种情况] 二次项系数或者常数项出现了根号。 这种情况看起来很唬人，其实往往比前两种情况更一目了然。比如x²+（根号2+根号3）x+根号6，根号2与根号3的乘积就是根号6，所以直接就拆解了。 特别注意的是，要先化简，再应用十字相乘法。如果二次项系数、一次项系数、常数项能提公因数，要先提公因数，同时做整理，保证二次项系数为正。 另外，一些二次三项式不能用十字相乘法拆解，这类问题有许多，比如二次线系数、一次项系数和常数项都是有理数，而根的判别式不是完全平方数时，通常解这样的方程，我们还是会选用公式法。 🍀建议二：想学好十字相乘法，可以多去寻找100以内整数的约数。 比如24，可以分解成1*24、2*12、3*8、4*6。这样练久了，自然就会形成数感，见到不同的算式会迅速弹出它的分解方式。尤其是初中和高中的一些函数大题，会对十字相乘的熟悉度有进一步要求，即使题目所给的数字不那么友好时，也能快速得到结果。 🍀建议三：可以自己出题。 根据我前面说的几种类型自己去出题，加深体验。 比如当二次项系数是1，常数项系数是-12时，一次项系数有多少种可能？ 按以上三条建议练习，只需十天半个月，孩子的十字相乘法就会掌握得非常纯熟。既掌握了技巧，训练了数感，也为后面的学习奠定了扎实的基础。 |
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