[原创]上海市2008年高考数学（理）第11题赏析

上海市2008年高考数学（理）第11题赏析

撰文/大罕

 

    试题：

    11.方程x²+√2x-1＝0的解可视为函数y-x+√2的图像与函数y＝1/x的图像交点的横坐标.若方程x⁴+ax-4=0的各个实根x₁, x₂,…，x_k（k≤4）所对应的点(x_i,4/x_i)（I=1,2,…，k）均在直线y＝x的同侧，则实数a的取值范围是　　　　　　　　　　.

 

    分析：
    作为填空题的压轴题，这道题毫无愧色.
    首先是立意新颖。解方程可以理解为求两条曲线的交点的横坐标，而此题是将方程两边同除以x后得到的两条曲线，这更有新鲜感.
    接踵而来的是表达，如何理解这样的表达？于是，给考生设置了一个不大不小的障碍：
    ① “各个实根x₁, x₂,…，x_k（k≤4）”；
    ②实根“所对应的点(x_i,4/x_i)（I=1,2,…，k）”；
    ③这些点“均在直线y＝x的同侧”.好就好在逾越这些障碍并非不可能，只要认真审视，仔细推敲，便可过关.
    第三，在解题理念上对考生是一次考验。数形结合是解题的利剑，要自觉地运用它。画个图吧！可是，这里有三条曲线，即直线y=x、曲线y=4/x和y=x³+a，前两者好画，第三个怎么办？令a=0吧（看你机智不机智啊）！

    以下需要理性思维，冷静地分析问题：
    当a=0时，曲线y=4/x与曲线y=x³的两个交点A、B在直线y=x的同侧（如图1），不合题意. 欲两个交点在直线y=x的异侧，只需将曲线y=x³向上或向下平移即可.不妨向上平移吧. 平移多少？总有个界限吧.注意，想到了界限，就意味着有一种把握全局的能力！
    界限在哪里？就是直线y=x与曲线y=4/x在第三象限的交点啊！（如图2）

    接着就要穷追猛打了！

    在图1的情形下，因为B点坐标为(-2,-2)，代入方程y=x³+a，可知a=6．若A、B同在直线y=x的左上方这一侧，只需要继续向上平移就可以了．这时的a是大于6还是小于6呢？

    通过特值法验证得知：a大于6（过程这里略）．也可以这样用计算的方法推导：

    曲线y= 与y=x³+a在第三象限的交点B一定在点(-2,-2)的左上方，否则就不符合题意．所以当x_B<-2时，y_B>-2，且y_B =x_B³+a（图3），

    于是当x_B<-2时，有x_B³+a>-2，即a>-x_B³-2．

    ∵当x_B<-2时，-x_B³-2>6，

    ∴a>-x_B³-2>6．
    ∴a>6．

    当a<0时，同理可知，a<-6．

    这样得出答案：实数a的取值范围是(-∞,-6)∪(6,+∞)

    这一道题活而不怪，难而不偏，运算量不大，思考量颇重，值得肯定。