| 已知圆O：x2+y2=1和定点A（2，1），由圆O外一点P（a，b）向圆O引切线PQ，切点为Q，且满足|PQ|=|PA|。 |
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（1）求实数a、b间满足的等量关系；
（2）求线段PQ长的最小值；
（3）若以P为圆心所作的圆P与圆O有公共点，试求半径取最小值时圆P的方程。 |
解：（1）连结OP，
∵Q为切点，∴PQ⊥OQ，
由勾股定理有 ，
又由已知|PQ|=|PA|，故 ，
即 ，
化简得，实数a、b间满足的等量关系为：2a+b-3=0。
（2）由（1）知，点P在直线l：2x+y-3=0上，
∴|PQ|min=|PA|min，即求点A到直线l的距离，
∴ 。
（3）圆P与圆O有公共点，圆P半径最小时为与圆O外切（取小者）的情形，而这些半径的最小值为圆心O到直线l的距离减去1，圆心P为过原点与l垂直的直线l′与l的交点P0，
∴ ，
又l′：x-2y=0，
解方程组 ，得 ，
即 ，
∴所求圆方程为 。 （1）求P点的轨迹方程
（2）求线段PQ长的最小值，并求此时PQ的斜率 解：
设P(x,y)
（1）连接OP，
∵Q为切点，
∴PQ⊥OQ，
∵PQ2=OP2-OQ2
PQ=PA
∴PQ2=PA2
∴(x2+y2)-12=(x-2)2+(y-1)2
化简得
2x+y-3=0
P轨迹方程是2x+y-3=0，一条直线
(2)
y=-2x+3
∴PQ=√(x2+y2-1)=√[5(x-6/5)2+4/5]
∴x=6/5时，PQ长最小
∴此时P(6/5,3/5)
设PQ：y=k(x-6/5)+3/5
PQ方程：kx-y+3/5-6k/5=0
圆心到切线PQ距离=半径=1
∴|0-0+3/5-6k/5|/√(1+k2)=1
∴k=18±10√5
如图，已知⊙O：x2+y2=1和定点A（2，1），由⊙O外一点P（a，b）向⊙O引切线PQ，切点为Q，且满足PQ=PA，
（1）求实数a，b之间满足的关系式；
（2）求线段PQ长的最小值；
（3）若以P为圆心所作的⊙P与⊙O有公共点，试求半径取最小值时⊙P的方程。 | 
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解：（1）连接OP，
∵Q为切点，
∴PQ⊥OQ，
又，
即，
化简得：2a+b-3=0。
（2）由（1）知b=-2a+3，
∴，
故当时，线段PQ长的最小值为。
（3）设⊙P的半径为R，
∵⊙P与⊙O有公共点，且⊙O的半径为1，
∴，即，
又，
故当，
此时，
故当半径取最小值时，⊙P的方程为：。
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