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“鸡兔同笼”问题在本博客里已发表过许多博文，有兴趣可在日志分类中的<数学辅导>和<奥数天地>里查阅“鸡兔同笼”问题的相关内容。这里我把“鸡兔同笼”题分成十二类给出解析供学习、教学参考，同时每类留有一道习题供练习之用。 一、已知头数和与足数和的鸡兔问题 问题：今有鸡兔同笼，上有三十五头，下有九十四足，问鸡兔各几何？这四句话的意思是：有若干只鸡兔同在一个笼子里，从上面数，有35个头；从下面数，有94只脚。求笼中鸡和兔各有几只？ 解析一：假设这35只都是鸡（也可以假设都是兔），那么有脚2×35=70（只）。而实际有脚94只，比假设多94-70=24（只）。这需要把一些鸡换成兔，而把一只鸡换成一只兔就会增加4-2=2（只）脚。因此得出：把鸡换成兔的只数是24÷2=12（只），即兔有12只。那么鸡有35-12=23（只）。 解析二：假设鸡有10只（这是任意假设，也可以任意假设兔的只数），那么兔有35-10=25（只），鸡兔一共有脚2×10+4×25=120（只），而实际有脚94只，比假设少120-94=26（只）。这需要把一些兔换成鸡，而把一只兔换成一只鸡就会减少4-2=2（只）脚。因此得出：把兔换成鸡的只数是26÷2=13（只），即兔有25-13=12（只），那么鸡有35-12=21（只）。 解析三：假设这94只脚都是鸡脚（也可以假设都是兔脚），那么有头94÷2=47（个）。把兔脚当作鸡脚，就会把兔的只数扩大4÷2=2倍，即增加1倍。因此得出兔有47-35=12（只），而鸡有35-12=23（只） 解析四：假设鸡脚有70只（这是任意假设，也可以任意假设兔脚数），那么兔脚有94-70=24（只），而头一共有70÷2+24÷4=41（个），比实际多41-35=6（个）头。这说明有些兔脚当作鸡脚了，而把兔足看成鸡足，兔的只数（头数）就会增加（4÷2-1）倍。因此把兔看作鸡的只数是6÷（4÷2-1）=6（只），那么兔实际有24÷4+6=12（只），鸡实际有35-12=23（只）。 评注：此题也可以利用平均数“移多补少”的思想解答，也可以用“盈不足术”或代数法解答。至于“砍足法”、“金鸡独立法”或者“算翅膀法”都是三种解析法的变形，只不过叙述方法不同罢了。 练习：有若干只鸡和兔子，它们共有88个头，244只脚，鸡和兔各有多少只？ 二、已知头数和与足数差的鸡兔问题 问题：鸡兔同笼，它们一共有100只，而鸡足比兔足多80只。鸡兔各有多少只？ 解析一：假设100只都是鸡（也可以假设都是兔），鸡足比兔足多2×100=200（只）。而实际鸡足比兔足多80只，这个差多了200-80=120（只）。这需要把一些鸡换成兔，而把一只鸡换成一只兔，鸡足减少2只，兔足增加4只，鸡足与兔足的差就会减少4+2=6（只）。因此得出：把鸡换成兔的只数是120÷6=20（只），即兔有20只，那么鸡有100-20=80（只）。 解析二：假设减少80只鸡足（也可以假设增加80只兔足），即减少80÷2=40（只）鸡，那么鸡足数等于兔足数，而鸡兔一共有100-40=60（只）。由“鸡足数等于兔足数”得出：鸡的只数是兔的4÷2=2倍。根据和倍问题的解法：兔有60÷（2+1）=20（只），那么鸡有100-20=80（只）。 练习：鸡与兔共100只，鸡的脚数比兔的脚数少28.问鸡与兔各几只？ 三、已知头数和与足数倍的鸡兔问题 问题：鸡兔同笼，它们一共有84只，而鸡足是兔足的3倍。鸡兔各有多少只？ 解析一：如果把4只兔足与4×3只鸡足分作一组，那么恰好分作若干组。即1只兔与（4×3÷2）只鸡分作一组。鸡兔84只一共分作：84÷（1+4×3÷2）=12（组），因此兔有1×12=12（只），而鸡则有4×3÷2×12=72（只）。 解析二：由“鸡足是兔足的3倍”可知：鸡的只数是兔的3×（4÷2）=6倍。根据和倍问题的解法：兔有84÷（6+1）=12（只），那么鸡有84-12=72（只）。 解析三：假设84只都是兔（也可假设都是鸡），那么一共有足4×84=336（只）。这样兔的足数不变，而鸡的足数扩大4÷2=2倍，即鸡足是兔足的3×2=6倍。就是说336只是兔足的（6+1）倍。那么兔足是336÷（6+1）=48（只），那么兔有48÷4=12（只），鸡则有84-12=72（只）。 练习：鸡兔同笼，它们一共有100只，而兔足是鸡足的3倍。鸡兔各有多少只？ （待续）
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