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三阶幻方也叫九宫图，它的特点是任意一横行、一纵行以及对角线的三个数之和都相等。在幻方的来源及神奇传说中大家已经知道把1～9这九个数字填写在3×3的方格里的一种答案了。下面给出几种解答方法。 解法一：“杨辉口诀”：九子斜排、上下对易、左右相更、四维挺出。 第一步： 将九个数从小到大斜着排好，如下图的两种排列方式均可。
第二步：以上图的第二个图为例，将上下两个数对换，左右两个数对换（如下图）。
第三步：把上图中的每边中间那个数（4、2、8、6）突出出来得到 下图。
即 下图。
这就是著名的洛书的排列：“戴九履一（9在上中，1在下中），左三右七，二四为肩，六八为足，五居中央。 也可以用平移补空法：（1）像上面图一的第二个图那样斜排；（2）平移：把1向下平移3格，9上移3格；7向右平移3格，3左移3格就得到图四。 8 1 6 1写在上行正中间；2斜填右上方时上方出格就写在同列的下边；2的右上方填3时右边出格，3就写在同行的左边；3的右上方是1排重了，4就写在3的下面；依次斜填写好5、6；6的右方上方同时出格，7就写在6的下边；7的右上方填8时右边出格，8就写在同行的左边；8的右上方填9时上方出格,9就写在同列的下边。 解法三：数学推理 推理（1）：因为1～9这九个数字之和是45，正好是三个横行数字之和，所以每一横行的数字之和等于45÷3=15。也就是说，每一横行、每一竖列以及每条对角线上三个数字之和都等于15。 在1～9这九个数字中，三个不同的数相加等于15的有： 9＋5＋1，9＋4＋2，8＋6＋1，8＋5＋2， 8＋4＋3，7＋6＋2，7＋5＋3，6＋5＋4。 因此每行、每列以及每条对角线上的三个数字可以是其中任一个算式中的三个数字。 因为中心方格中的数既在一个横行中，又在一个竖列中，还在两对角线上，所以它应同时出现在上述的四个算式中，只有5出现了四次，因此应将5填在中心方格中。同理，四个角上的数既在一个横行中，又在一个竖列中，还在一条对角线上，所以它应同时出现在上述的三个算式中，符合条件的有2，4，6，8，因此应将2，4，6，8填在四个角的方格中，同时应保证对角线两数的和相等。即下图：
经试验，有八种不同填法，而它们都可以通过一个图的旋转和翻转得到。所以，这八个图本质上是相同的，可以看作是一种填法 推理（2）：根据9个数的和是45得出每行或每列是15，并且中间数是5。 因为15是奇数，欲使3个数和为奇数，则需要3个数都是奇数，或者两偶一奇。 那么再去确定蓝色①位置填什么数。
如果①是奇数，因为①+②+5=15，所以②应填奇数 在这个条件下，假设⑦是奇数，则④是奇数，⑥是奇数，⑧⑤③也是奇数。 而除5外奇数只有4个，所以⑦不能是奇数。 假设⑦是偶数，则④是偶数，⑥是偶数，⑧⑤③也是偶数。 而偶数只有4个，所以⑦不是偶数。 当①是奇数时，⑦不能是偶数也不能是奇数，所以①不能填奇数。 由此可以推出①是偶数。同理可推出②③④都是偶数。⑤⑥⑦⑧是奇数。 下面就可以根据推理（1）得出。 另外，用“ 对角对调，各数旋转 ” 的方法也可制作三阶幻方。具体方法是： 1 、将1—9九个数按从小到大的顺序依次填写而得到图A 2、将图 A 的两组对角的数对调 （例如数 1 与 9 对调），得到图 B 。 3、将图 B 的各个数顺时针方向旋转 45 度（中心数 5 也可以说是旋转了），就得到图 C 所示的三阶幻方。 1 2 3 9 2 7 4 9 2 4 5 6 4 5 6 3 5 7 7 8 9 3 8 1 8 1 6 A B C 上面的解法让我们实实在在掌握了三阶幻方的解法。 如果你有兴趣，就请你继续关注本博客后续一些关于更高阶幻方的解答规律和方法。 |
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图一
图二
图三
图四
