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先讲一个故事：小明刚学完数学中的平方根，然后去了大学城的菜场买菜，走到肉摊前，要求摊主卖给自己√2斤肉。摊主有文化，清楚的知道根号2的含义，但即便他穷尽自己最大的努力与最精密的计量工具，他也无法给出准确的√2斤的肉，因为它大概相当于1.4142……，但是小数点后的数值无穷无尽，而且永不循环，是的，它是个无理数。（小数点后面无穷无尽并不可怕，如0.333333……也是无穷无尽的，但是当它用分数来表示时1／３，就有意义了。代表把一个大饼一分为3，每份的数量就是原值的0.333333…… 。）无理数的可怕在于，它的数值其实在人类给出的标尺中是无法被表达的。有着无法被表达的数字还能成其为精准的数学吗？ 我们说过，世上并没有数，只是由于人们的共同定义才产生了数。但是数与数是完全不一样的，请留意： 1、我们目前用的是十进位的数字——1、2、3、4、5、6、7、8、9、10 。 2、我们在角度上用的是一周=360° 3、我们在时间上是60进位，一分钟等于60秒，一小时等于60分钟。而有意思的是一天有24小时，一年有365天。 …… 一年为什么365天呢？而不是360天或100天甚至十进位呢？其实这是人类长期观察自然的结果，即每365天，气候变化能形成一次有效循环。当然人们也可以把一年定义成360天，或者300天都可以（历史上很多民族的一年都不是365天）。定义成300天或其他数字，也许只意味着，如果你今年过春节是大冬天的话，那么下一年的春节在深秋，而后年的春节将进入夏季。所以我们首先应该了解：所有的数字与进位方式等，都是人类赋予的（或说定义的）。以前中国用的是1斤十六两，后来为了跟世界接轨才统一成十两的，更别说秦始皇之前，中国的度量衡都不是统一的。 所以所谓的角度、温度、数量、长度、重量等，其中的数字与进位方式，都是人类因为使用或计算的方便，约定成俗的。那么这所有的约定都是最合适的吗？（记得吗？我们说过，数学最核心的学问是：能否对物体或现象进行合适、恰当的定义） 无理数的出现，是人类数学史上的一次危机，一个巨大的漏洞，或者说BUG。最初发现的喜帕索斯被愤怒的人们投入河中杀死了，而最后的解决方法是：人类发现了更多的无理数，最后大家包容了无理数。这点很奇怪吧，其实人类经常这样干，继续使用那个拥有漏洞与后门的“数学”，一如我们的WINDOWS操作系统。 当然，照样在用，并不代表不应该被改良，那么修正无理数的出路应该在哪里呢？稍稍整理思绪，你会发现一个非常无厘头的现象：2个苹果被写成数学的2，2米的苹果树也被写成了数学的2，这两个2所代表的意义相当吗？天差地别！一个是数量代表中的2，另一个是长度定义的2，这两个数值牛头不与马嘴，在数量序列中的2，是不会有根号的，“请给我那个第√2的苹果。”显然是一个错误的表达。但长度中√2是有意义的，它代表了一个边长为1米的等腰直角三角形的弦长。 这里我要先插一段：人类其他的数值标识都使用其特殊的符号，如角度——30° 如温度37°C 所以小鱼的第一个想法是：在数学中，把数量单位的数字与长度单位的数字在数学表达上不加区分是个错误，应该像其他的单位标识一样，给予长度数字一个另外的明确的标识。这样就不会犯36°C的平方根是6°C这样的错误了，因为温度是不需要求平方根的。 第二个想法是：在长度数字中，十进位是否是个合适、恰当的选择？我的直觉是——NO! 理由很简单—— ∏（派），对，就是那个圆周率。请看下小鱼为你搜寻到的人类搜寻派的历史： 公元前3世纪，阿基米德准确的计算出派的小数点后3位。（一代大师啊） 公元500年，中国的祖冲之计算出派的小数点后7位。（祖老师的故事被我们传颂至今，成了反映中国人智慧的典型性案例） 公元600年，印度学者计算出派的小数点后6位。（虽然不及祖老师牛，但由于信息不通，也属于独立研究有成果的。） 公元1600年，伊朗数学家卡西求证到小数点后16位。（这条成为被证明是伟大数学家的重要依据。） 公元1600年，德国鲁道夫求证到20位，后用尽毕生的精力拓展到35位。（我们必须致敬，但又表示很遗憾） 因为1706年突破100位，1873年707位，1948年808位，而计算机出现后很快突破亿位，至今的记录是2.5万亿位……。人类探索的勇气值得敬佩，计算机也很猛很强大，不过我们稍稍梳理就会奇特的发现，派的作用仅仅是人类希望利用圆的半径来计算出圆的周长或面积。鉴于现实中大量圆的存在，这个派数值的精确是人类必须面对的，但人类居然用了近2000年的时间，贯穿了人类整个科学史，才堪堪接近真相，于是我们不禁疑惑的要问，是否最初的数字与进位的定义就有问题呢？——回到√2 。 如果手稍微巧一点的话，你就可以做出一把弦长√2的直角三角形的尺子。我希望你能仔细的打量下它，再打量下，你会同意那个长度就是数学上无法被表达的无理数吗？——现实中真实简单的存在，数学上却复杂而无法表达。你必然想到：这除非是老天错了，否则人类的数学一定有问题，如果更精确的说：在长度数字及如何进位的确定上，人类数学可以大大改良。 老天创造万物从不尊求人类的意见，它创造了也就创造了。而我们人类不同，人类所有的科学、文明都是建立在理解、解释、抽象、还原这些老天爷的创造上的，也就是如果我们发明的科学还有一个实际标准的话，大自然的一切，就是我们必须遵照的唯一标准。所以当然也包括数学，在最初选择各项确定时都要尽可能接近于自然，并且有利于方便我们人类的使用。从这个意义上说，“派”与√2的出现绝对属于惨不忍睹的人类数学的残次品——生出来就长的不合逻辑，整容后又严重毁容的类型。 当然剩下的问题就是人类是否可以透过改进长度的数字进位方式……进而改进√2、∏（派）等无理数的出现呢？这是个严峻的问题，是个小鱼尚无法解决的问题，不过基于人类之前所有的表现，我们应该有理由充满信心。对于小鱼来说，这个工作是要留给后来人的，不过幸好我们提出了问题，也就指明了方向，就如同康托所说的那样——在数学的领域中, 提出问题的艺术比解答问题的艺术更为重要。其实在科学的各个领域，何尝不是如此。 好吧，本文廖廖结束，希望你没有睡着。在人类真相的探求面前，我们必须保持一颗谦卑并随时愿意修正的心。所以小鱼保留修改本文甚至推倒以上所有观点的权利，在发现的道理上，我们要有随时推倒自己的勇气。好了，下一篇的内容留给那个关于速度的量子力学吧，在那里，我们将提出一个新的词汇——人观世界。谢谢大家！ 扁虫鱼 ２０１１国庆期间 |
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