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一提到在有限的时间通过无限细分的长度，就让许多人联想到芝诺那个著名的悖论。既然大家提到了这个，我们就来讲讲故事吧，权当饭后小娱乐啦。 故事是这样的：有一个倒霉蛋阿基里斯准备和乌龟赛跑。乌龟先天条件不好，于是阿基里斯大度地把起跑线往后挪了几米。芝诺同学马上跳出来说，哎呀，那你不是追不上乌龟啦！为什么呢？你看，要追上乌龟，你必须跑过你们之间的距离。当跑到1/10处的时候，它已经向前挪动了一点。要追上它，你仍然必须经过这个新距离的1/10处。可你跑到那时，乌龟又向前挪动了一点。虽然它挪动得比你慢，可这样进行下去，你也总是只追到1/10，何时才能超过乌龟呢？ 这明显和我们经验中的事实不符：世界上有无数的人可以用行动证明他们能够追上乌龟，甚至连兔子也行。可从逻辑上看起来，芝诺并没有说错什么啊。怎么回事？怎么回事？ 几千年过去了，哲学家数学家什么什么家们，吵啊吵啊，没个完。大家都发现了芝诺的一个问题：他只字未提时间。粗略地看，如果阿基里斯以匀速奔跑，那么经过越短的距离需要的时间越少。因为他比乌龟快，每次跑到1/10的时候，乌龟向前挪的距离要小于1/10。于是他们之间的新距离比上一次要小。那么阿基里斯跑下一个1/10需要的时间就比这次要短。很快地，阿基里斯每次要跑的距离就会变得非常小，需要的时间也就相应地非常短。到最后，每次到达1/10处经过的距离趋于0，时间也趋于0。那么他花费有限的时间追上乌龟是可能的。可是当距离和时间都趋于0的时候，阿基里斯几乎静止在原地，时间也几乎停止了。这样子我们还是没法观察他追上乌龟的过程。 换一种办法吧。如果记下每次他到达1/10处的时刻：t1，t2，t3，……芝诺的推论就等价于说，不管处在哪个时刻上，他和乌龟之间都存在着距离。也就是说你找不到一个可以和“距离为零”相对应的时刻。所以他追不上乌龟。可你发现了吗，这些时间点组成的集合，并不等于阿基里斯在追的过程中经过的所有时刻。比如我们追踪他每次经过1/20处的时刻，会得到另一个无穷集合t1’，t2’，t3’……。显然第二组的每一个时间值都要小于第一组，是完全不同的另一个集合，但它也包含在“阿基里斯经过的所有时刻”这个大集合中。同样地，你也可以追踪阿基里斯每次到达1/30处的时刻，1/40、1/50处的时刻……等等等等。它们全都包含在这个大集合中。哈，芝诺忽略了其它的时间点。 设想阿基里斯在跑，我们在旁观。0.1秒的时候他追上了1/10，0.11秒的时候追上了下一个1/10，0.111秒的时候追上了下下个1/10……芝诺因此说，你0.1111…地数下去，有无穷个“1”，所以他追不上乌龟，你同意吗？时间可不会在流淌到0.1111…秒的时候就静止在那里。阿基里斯不光经历了0.1111…，还经历了0.2222…、0.3333…，直到0.9999…。然后，bingo!他来到了1秒这个时刻，并在此和乌龟的距离缩小为零。芝诺只是挑出了这长为1秒的时间内包含的某些时刻，让它们逐渐趋近于0.1111…，然后企图把阿基里斯困在这一时刻之前。可是阿基里斯当然不会被困住，因为时间的流淌将永不停息。没有人知道为什么，但我们的确在有限的时间内经历着无穷个时刻。所以我们每个人都能追上乌龟。
=================涂雪花分割线 ================== 对于涂雪花的办法，我有个提议：
这片雪花可以被放进一个圆圈里，六个顶点与圆接触。在圆心，同时也是雪花的中心，一个沾满了颜料的橡皮圈开始扩张，它“蹭到”的地方就被涂上了颜色。那么，只要从圆心扩张到和外圈大圆重合，整个雪花就被完全覆盖了。所以雪花的确能在有限的时间内涂满，这个很容易看出来。那么处理无穷边缘的问题，该怎么看呢？ 从橡皮圈开始和雪花的边缘接触的时候，边缘就开始以飞快的速度着色。有多快？我们随意挑一个时间间隔，看看夹在两个橡皮圈之间的雪花边缘有多长？是无穷！把时间间隔缩短一点，所夹的圆环更细了，可是被圈住的雪花边缘仍然是无穷。啊，发现了没，只要橡皮圈扩张一点点——哪怕就一丁点儿，涂上的雪花边缘长度就是无穷！啊噢，我们比芝诺同学的阿基里斯更牛B，可以在无穷小的时间内通过无穷大的长度！诡异啊诡异。 相关文章 |
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