尺度太大，我有点hold不住

 

“无限”这个词，嘴上说起来太容易了，以至于我们忘记了它原本的狰狞面目。这是个细思极恐的概念：古希腊有个神，叫阿基里斯，他是公认的跑步高手。为了证明他确实很能跑，马拉松组委会给了他一个艰巨任务——和宇宙第一慢的乌龟赛跑。这是一场实力悬殊的对决，奥组委为了公平起见，给阿基里斯施了一道诅咒，使他跑步的时候，每一步都要比上一步小。也就是说，他将做匀减速运动。相比之下，乌龟保持匀速运动。这个答案并没有那么确切，但是如果将比赛的时间拉长到无限长，那么，结果就将是惊人的。虽然乌龟慢，哪怕一年只走1cm，无限长的时间将会让乌龟的运行距离变得无限长，这就是“无限大”。那么阿基里斯呢，他可能第一步就炫耀地跨出了一光年，可是随着时间的推移，步伐会越来越小，直至无限趋近于0，这就是“无限小”。这样下去，阿基里斯最终赶不上乌龟，这个悖论的关键问题是：乌龟用无限的时间迭代出无限距离。阿基里斯为什么不能通过无限时间换取无限的距离呢？，因为他所迭代的步伐是“无限小”。这就是高等数学“微积分”要解答的问题。现在，把阿基里斯无限多个无限小的步伐加起来，最终将会缓慢地“停留”在一个长度上，这就是他跑步距离的上限，也叫“极限”。阿基里斯走的方向是数轴的“小数方向”——无限小的方向。而乌龟走的是相反的“大数方向”——无限大的方向。如果你问阿基里斯走了多少路，他可以描述出来，因为“无限小”方向上的距离有极限长度。无限小的问题由牛顿的微积分解答了。但是同样是无限，“无限大”方向上的长度，乌龟可无法用语言回答，那是没有边界的一条单程路。无限大的问题由康托的集合论来解答。康托要测量无限，首先需要一把可以测量无限的尺子，尺子上刻有无限多个刻度。不要以为这样的尺子脑洞太大，其实，任何一把普通的尺子上天然就有无限多个刻度，就像一个线段中有无限多个点一样。接下来，无限多个刻度一一对应无限长的物体上无限多个点。结果恰好对应完，说明“有限的尺子”和“无限的物体”等长。但是，文章开头的那组漫画，提出的疑问是：为什么我见不到一条无限长的影子。因为理论上射影可以“无限长”，但是实际中，人的影子经历了“无限小”的过程。影子是被拉的“无限长”，但是越往远处影子越淡，这就像阿基里斯越往远处跑，步伐越小一样，是个“无限小”的过程，所以影子的长度被锁死在一个“极限”之内，不得放肆。这种现象在生活中比比皆是：我们仰望星空，因为视锥可以无限扩大，应该能看到无限远的宇宙（无限大的过程），但是因为越往远处视线越模糊（无限小的过程），所以我们的视力被大自然局限在一个范围内。树木也许可以无限生长，在树枝末梢生长更多树枝（无限大），但是越往末梢枝头会越小（无限小），直至框定住生命的肆孽扩张。据说，人类的繁衍也面临这种“极限”的挑战，人类不可能无限扩大人口，最终会被大自然“无限小”的剪刀堵死在一个数量范畴中。