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随便说几句极限（续一）: 理解数学概念的障碍 文 / 老韩 几天前发了《随便说几句极限》(回复 20141016 查看，或者点击本文下面的图文消息)，有朋友反映：“看了得知这玩意儿是两百年的产物，难倒了不少大牛，一时不懂不丢人，我放宽心了不再自暴自弃寻死觅活了，可我还是想再搞懂点呢！你文章没有这方面的效果！” 我说，你还真执着，拯救全人类，维护宇宙和平就全靠你了。既然你身负如此重任……好吧，我就接着写，先来个续一: 理解数学概念的障碍。 据说，有人曾经问大数学家 Hilbert：什么是一个好的数学问题？ Hilbert 回答说：“如果你有一个数学问题，你能够把它给你早上出去散步遇到的第一个人用三五分钟说清楚，那么它就是一个好问题。” 当年看到这个故事时，我还年轻，感觉不可思议：不可能！你怎么能够把一个数学问题给早上散步遇到的第一个人讲清楚？这个人如果一点基础都没有，怎么讲？ 后来，我遇到几个知识丰富口才极佳的老师，逐渐理解了 Hilbert 的话。把一件事（不只是数学问题）给没基础的人讲清楚，不是办不到，只是很难办。它要求讲述者深刻、透彻地理解了该问题的本质，并且有丰富的词汇量、极强的语言组织、表述能力。 理解一个数学概念（不只是极限）的首要障碍是什么？这个问题，大家都不陌生，就是所谓的抽象，它也是数学的一贯特点。抽象，英文表达为 abstract ，读起来都是一股浓浓的“提取、浓缩”之意。抽象的概念既一无所有（因为不是任何具体的东西），又包罗万象（可以具体化到方方面面）。比如说（实际由印度人发明的）阿拉伯数字“1”，单独写出来只是一个符号，但同时它可以表示一毛钱、一张纸、一个国家或一坨屎，随你的便。 “抽象”对于数学本身以及数学家而言，当然是极好的。它可以让人们抛去世间纷繁芜杂的表象，将问题归类，进而统一研究。所谓统一研究，实际就是把许多看似不相关的问题归结成一个问题，“归结为一个问题”，就是“抽象”。这样，解决一个问题就能解决一类问题，具体到现实生活中就是不小的科技进步。当然，想要分类、归纳，找规律，很难。 然而，对于数学家、科学家这少部分人群好的东西，对于普通大众却未免太难，从而不受欢迎。正如之前指出的，“抽象是首要障碍”，其缘由就是因为抽象的东西本身在现实时间、空间中根本不存在，因而远离大众的生活经验，在大脑里原本也不存在。要理解一种不存在的东西，当然很难。而化解抽象性带来的理解障碍，正是广大人民教师义不容辞的责任。遗憾的是，毫无疑问，大多数教师让学生失望了。他们照本宣科，把书上的内容抄到黑板上，从而遭到更为广大的学生群体的抵制、鄙视进而在 QQ 空间或微博、微信上被戏耍蹂躏…… 再来说说定义（或者概念）是用来干什么的。说白了，就是一个圈子的江湖黑话，以后就用这个黑话来交流探讨。用黑话的好处是比较简洁方便。从小听过评书的人（都35岁以上了吧？大哭……）都熟悉“风紧扯呼”的含义，在危急时刻，这句黑话就比“情况不妙，大家快跑”要简洁明快。定义也是黑话，一说某某函数当 x 趋于 x_0 时“极限”是几，或者看到一个极限表达式，熟悉的人立刻能在大脑里翻译出具体的内容。说的高端一点，“定义”就是为方便以后思考的，一说到某个定义，其具体内涵包括的性质、条件立刻就全有了，而不必细细罗列出来。生活中的“概念”或者每一个“词语”其实都是这么个道理。比如说，一说到“腐女”、“搞基”，大家都会心一笑…… 而不必细细把“腐女”的内涵说出来。总之，“定义”、“概念”抽象、浓缩了信息，当它们浓缩的信息量比较大时，就会达到抽象的程度，我们就不好理解了。但当你理解它们时，你接收和传播信息的效率就会大大提高。 回到“极限”，能不能把它给完全没有基础的人讲清楚？我没这能力，不过对于有一定基础的大学新生，自信还是可以的。 课本上的极限定义当然是准确的，然而，即使能把 epsilon-delta 语言倒背如流，也不能说你理解了极限，只能说你记性好
要想把一个概念讲清楚，必须要尽可能地用最通俗易懂的自然语言（也就是普通人的人话，不是数学家的江湖黑话），绝对不能仅仅重复念叨书上的定义，否则学生自己就会念，要老师干嘛？ 最后的问题就是，“极限”这个数学家的黑话，能用人话说清楚吗？ 今天乱七八糟写太多了，而且还因为跑了题改了标题，所以…… 还是 且听下回分解！！！！ （完了还是待续？不一定 随便说几句极限（续一）: 理解数学概念的障碍 文 / 老韩 几天前发了《随便说几句极限》(回复 20141016 查看，或者点击本文下面的图文消息)，有朋友反映：“看了得知这玩意儿是两百年的产物，难倒了不少大牛，一时不懂不丢人，我放宽心了不再自暴自弃寻死觅活了，可我还是想再搞懂点呢！你文章没有这方面的效果！” 我说，你还真执着，拯救全人类，维护宇宙和平就全靠你了。既然你身负如此重任……好吧，我就接着写，先来个续一: 理解数学概念的障碍。 据说，有人曾经问大数学家 Hilbert：什么是一个好的数学问题？ Hilbert 回答说：“如果你有一个数学问题，你能够把它给你早上出去散步遇到的第一个人用三五分钟说清楚，那么它就是一个好问题。” 当年看到这个故事时，我还年轻，感觉不可思议：不可能！你怎么能够把一个数学问题给早上散步遇到的第一个人讲清楚？这个人如果一点基础都没有，怎么讲？ 后来，我遇到几个知识丰富口才极佳的老师，逐渐理解了 Hilbert 的话。把一件事（不只是数学问题）给没基础的人讲清楚，不是办不到，只是很难办。它要求讲述者深刻、透彻地理解了该问题的本质，并且有丰富的词汇量、极强的语言组织、表述能力。 理解一个数学概念（不只是极限）的首要障碍是什么？这个问题，大家都不陌生，就是所谓的抽象，它也是数学的一贯特点。抽象，英文表达为 abstract ，读起来都是一股浓浓的“提取、浓缩”之意。抽象的概念既一无所有（因为不是任何具体的东西），又包罗万象（可以具体化到方方面面）。比如说（实际由印度人发明的）阿拉伯数字“1”，单独写出来只是一个符号，但同时它可以表示一毛钱、一张纸、一个国家或一坨屎，随你的便。 “抽象”对于数学本身以及数学家而言，当然是极好的。它可以让人们抛去世间纷繁芜杂的表象，将问题归类，进而统一研究。所谓统一研究，实际就是把许多看似不相关的问题归结成一个问题，“归结为一个问题”，就是“抽象”。这样，解决一个问题就能解决一类问题，具体到现实生活中就是不小的科技进步。当然，想要分类、归纳，找规律，很难。 然而，对于数学家、科学家这少部分人群好的东西，对于普通大众却未免太难，从而不受欢迎。正如之前指出的，“抽象是首要障碍”，其缘由就是因为抽象的东西本身在现实时间、空间中根本不存在，因而远离大众的生活经验，在大脑里原本也不存在。要理解一种不存在的东西，当然很难。而化解抽象性带来的理解障碍，正是广大人民教师义不容辞的责任。遗憾的是，毫无疑问，大多数教师让学生失望了。他们照本宣科，把书上的内容抄到黑板上，从而遭到更为广大的学生群体的抵制、鄙视进而在 QQ 空间或微博、微信上被戏耍蹂躏…… 再来说说定义（或者概念）是用来干什么的。说白了，就是一个圈子的江湖黑话，以后就用这个黑话来交流探讨。用黑话的好处是比较简洁方便。从小听过评书的人（都35岁以上了吧？大哭……）都熟悉“风紧扯呼”的含义，在危急时刻，这句黑话就比“情况不妙，大家快跑”要简洁明快。定义也是黑话，一说某某函数当 x 趋于 x_0 时“极限”是几，或者看到一个极限表达式，熟悉的人立刻能在大脑里翻译出具体的内容。说的高端一点，“定义”就是为方便以后思考的，一说到某个定义，其具体内涵包括的性质、条件立刻就全有了，而不必细细罗列出来。生活中的“概念”或者每一个“词语”其实都是这么个道理。比如说，一说到“腐女”、“搞基”，大家都会心一笑…… 而不必细细把“腐女”的内涵说出来。总之，“定义”、“概念”抽象、浓缩了信息，当它们浓缩的信息量比较大时，就会达到抽象的程度，我们就不好理解了。但当你理解它们时，你接收和传播信息的效率就会大大提高。 回到“极限”，能不能把它给完全没有基础的人讲清楚？我没这能力，不过对于有一定基础的大学新生，自信还是可以的。 课本上的极限定义当然是准确的，然而，即使能把 epsilon-delta 语言倒背如流，也不能说你理解了极限，只能说你记性好
要想把一个概念讲清楚，必须要尽可能地用最通俗易懂的自然语言（也就是普通人的人话，不是数学家的江湖黑话），绝对不能仅仅重复念叨书上的定义，否则学生自己就会念，要老师干嘛？ 最后的问题就是，“极限”这个数学家的黑话，能用人话说清楚吗？ 今天乱七八糟写太多了，而且还因为跑了题改了标题，所以…… 还是 且听下回分解！！！！ （完了还是待续？不一定
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如果一个教师除了反反复复重复定义之外就再也无话可说，那么……
