1公式
如果直角三角形的两条直角边长分别为
，
，斜边长为
，那么
。
2验证推导
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标准验证：该证明对切即为加菲尔德的梯形证明法
如右图所示：大正方形的面积等于中间正方形的面积加上四个三角形
∴
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3定理推广
逆定理
勾股定理的逆定理是判断三角形为钝角、锐角或直角的一个简单的方法，其中C为最长边：
如果
，则△ABC是直角三角形。
如果
，则△ABC是锐角三角形。（若无先前条件C为最长边，则仅满足∠C是锐角）
如果
，则△ABC是钝角三角形。
推广定理
欧几里得在他的《几何原本》中给出了勾股定理的推广定理：“直角三角形斜边上的一个直边形，其面积为两直角边上两个与之相似的直边形面积之和”。
4发展简史编辑
几个文明古国都先后研究过这条定理，远在公元前约三千年的古巴比伦人就知道和应用勾股定理，他们还知道许多勾股数组。古埃及人在建筑宏伟的金字塔和尼罗河泛滥后测量土地时，也应用过勾股定理。我国也是最早了解勾股定理的国家之一。三千多年前，周朝数学家就提出“勾三、股四、弦五”，它被记载于《周髀算经》中。[1]
毕达哥拉斯定理是一个基本的几何定理，传统上认为是由古希腊的毕达哥拉斯所证明。在中国，《周髀算经》记载了勾股定理证明，相传是在西周由商高发现，故又有称之为商高定理；三国时代的赵爽对《周髀算经》内的勾股定理作出了详细注释，又给出了另外一个证明。
任何一个学过代数或几何的人，都会听到毕达哥拉斯定理．这一著名的定理，在许多数学分支、建筑以及测量等方面，有着广泛的应用．古埃及人用他们对这个定理的知识来构造直角．他们把绳子按3，4和5单位间隔打结，然后把三段绳子拉直形成一个三角形．他们知道所得三角形最大边所对的角总是一个直角。毕达哥拉斯定理；给定一个直角三角形，则该直角三角形斜边的平方，等于同一直角三角形两直角边平方的和。反过来也是对的；如果一个三角形两边的平方和等于第三边的平方，则该三角形为直角三角形。
虽然这个定理以后来的希腊数学家毕达哥拉斯(大约公元前540年)的名字命名，但有证据表明，该定理的历史可以追溯到毕达哥拉斯之前1000年的古巴比伦的汉谟拉比年代．把该定理名字归于毕达哥拉斯，大概是因为他第一个对自己在学校中所写的证明作了记录．毕达哥拉斯定理的结论和它的证明，遍及于世界的各个大洲、各种文化及各个时期．事实上，这一定理的证明之多，是其他任何发现所无法比拟的。
