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数及其运算是中小学数学课程的核心内容。前两个学段已经安排了自然数、正分数及其运算，还要求“在熟悉的生活情境中，了解负数的意义，会用负数表示日常生活中的一些量”。本章作为第三学段教科书的开篇，是在前两个学段的学习基础上，借助生活实例引入负数，通过添加负数这一类“新数”，使数的范围扩张到有理数系，再利用学生的日常生活经验、数轴的几何直观等，通过具体实例的归纳，将正数和负数之间的运算归结到正数之间的运算，进而定义有理数的运算，得出运算法则，并运用有理数的运算解决简单的问题。本章的知识及其思想方法也是后续学习的基础。
本章教学约需19课时，具体安排如下：
1.1 正数和负数 约2课时
1.2 有理数 约4课时
1.3 有理数的加减法 约4课时
1.4 有理数的乘除法 约4课时
1.5 有理数的乘方 约3课时
数学活动
小结 约2课时
一、本章内容和学习目标
1．本章内容
本章知识结构框图如下：
引入负数是实际的需要，也是学习后续内容，特别是数与代数内容的需要，学生可以从中体会根据实际和数学的需要引入新数的好处。
数轴是数形结合思想的产物。引进数轴后，可以用数轴上的点直观地表示有理数，从而也为学生提供了理解相反数、绝对值的直观工具，同时也为学习有理数的运算法则作了准备。
引入相反数的概念，一方面可以加深对相反意义的量的认识，另一方面可以为学习绝对值、有理数运算作准备。
绝对值概念借助距离概念加以定义。在数轴上，一个点由方向和距离（长度）确定；相应地，一个实数由符号与绝对值确定。这里，“方向”与“符号”对应，“距离”与“绝对值”对应，又一次体现了数与形的结合、转化。所以，绝对值概念可以促进数轴概念的理解，同时也是数的大小比较、数的运算的基础。
在“数与代数”中，运算是核心内容。“引进一种新的数，就要研究相应的运算；定义一种运算，就要研究相应的运算律”，是代数的核心思想。在数系、运算法则和运算律（即对任何数都成立通性）中获得的知识，可以方便地迁移到“以字母符号代表数”后的学习内容中去。因此，本章的重点是有理数的运算和运算律。当然，运算律的作用在此只是“牛刀小试”，其真正的威力要在后续代数学习中才能逐步体现。
加法与乘法都是在介绍运算法则——着重是符号法则的基础上，进行基本运算，然后结合具体例子引入运算律，并运用运算律简化运算。
减法与除法，则是着重介绍如何向加法与乘法转化，从而利用加法与乘法的运算法则、运算律进行运算。乘方是几个相同因数的乘积，也就可以利用乘法运算。科学记数法与乘方有关，因而可进一步加以介绍。近似数在实际问题中有广泛的应用，有必要在本章作进一步的认识。
利用计算器计算分两次安排，一次在加减乘除运算之后，一次在乘方运算之后。学会了使用计算器进行有理数运算，较复杂的计算就可以用计算器完成。简单的有理数运算仍需要学生熟练地用笔算完成。
2．本章学习目标
（1）理解有理数的意义，能用数轴上的点表示有理数，能比较有理数的大小；
（2）借助数轴理解相反数和绝对值的意义，掌握求有理数的相反数与绝对值的方法，知道｜a｜的含义（这里a表示有理数）；
（3）理解乘方的意义，掌握有理数的加、减、乘、除、乘方及简单的混合运算(以三步以内为主)；
（4）理解有理数的运算律，能运用运算律简化运算；
（5）能运用有理数的运算解决简单的问题。
二、编写时考虑的几个问题
本章内容的安排，核心是借助学生的生活经验引入负数的基础上，让学生学会用运算法则进行运算，体会运算法则的逻辑相容性，从具体实例中归纳运算律。
1．加强与学生已有经验的联系
以学生的认知基础为起点是教材编写的基本原则。这里，学生的已有经验包含两方面，即与刻画“事物的相反意义”所形成的生活经验和小学阶段对“数及其运算”的认识经验。
（1）从学生熟悉的现实问题出发引入有关内容
学生在日常生活中碰到过许多具有相反意义的事物，例如“增与减”、“收入与支出”、“上升与下降”、“前进与后退”等，也积累了一定的刻画“事物的相反意义”的经验。利用这些经验引入负数概念和有关运算法则，有利于学生的理解。教材编写过程中充分发挥了这些经验的作用。例如：
章引言中，用温度的零上、零下和温差、农作物产量的增长率（负增长）、零花钱的收入和支出等，引出全章内容；
在引入正数、负数的概念时，使用了大量生活、生产实例，例如体重的增减、不同国家商品进出口总额的增长率、降水量的增减、海拔高度、水位的增减、物体移动、产品误差等；
在介绍数轴、相反数、绝对值等概念时，注意从实际问题引入，如数轴是通过描述位置的问题引出的，并让学生通过温度计加深对数轴的认识，而有理数比较大小的内容则通过一个“思考”栏目，让学生给一周七天天气的最低温度按从低到高的排序引出；
借助物体运动的直观、温差等，引入有理数的加法、减法运算，例如，某地一天的气温是－3℃～3℃，这天的温差（℃）就是3－（－3），引出正数与负数的减法；等。
同时，教科书还注意安排运用有理数知识解决实际问题的训练。例如，在地形图上用正负数表示某地的高度；银行储蓄中存入用正数表示，支出用负数表示；运用有理数加法解决有关求和的实际问题，让学生用例子说明算式的实际意义（如“你能用生活实例解释5+(－3)=2吗？”），运用有理数的乘法解决气温变化的问题，运用有理数的混合运算解决公司盈亏问题；让学生运用本章知识帮助家庭掌握生活收支情况；等。
另外，教材特别注意实例的“普适性”，也就是要让大多数学生感兴趣。例如，上一版教材中，足球比赛中的“净胜球”问题用得很多。调查发现，这个背景不仅难度较大，而且大多数学生对足球比赛规则不了解，感兴趣的学生不多。因此，本次编写时就删去了这类问题。
（2）在小学对“数及其运算”的基础上展开新内容
小学阶段对于正整数、0、正分数等的意义、运算和运算律的认识经验，可以自然地延伸到有理数的学习中来，教科书特别注意发挥这些经验的作用。例如，回顾数的发展历史，通过“相反意义的量”的表示引出负数概念；通过“思考 小学学过的加法类型是正数与正数相加、正数与0相加。引入负数后，加法的类型有哪几种？”引出有理数的加法运算；通过问题“我们以前学过加法交换律、结合律，在有理数的加法中它们还适用吗？”引出研究加法运算律的问题；等。
这里要特别谈谈对有理数概念的处理。有人从数学的严谨性出发，认为我们教材中给出的“整数和分数统称为有理数”的说法不对，因为“整数是分母为1的分数”。根据这样的意见，我们在上一版中作出调整，给出了下面的说法：“整数可以看作分母为1的分数。正整数、0、负整数、正分数、负分数都可以写成分数的形式，这样的数称为有理数。”这样写确实更严谨了，但是课堂调研和学生访谈发现，刚上初中的学生，他们对“把单位1平均分成若干份，表示这样的一份或几份的数叫做分数”，以及分数分为“真分数”和“假分数”的认识是牢固的，如果这时过分强调整数与分数的统一，在学生对数的认识上并没有实质意义，反而引起学生的认知困难。所以，我们认为这样的严谨性没有实质意义。为此，本章采用先归纳已学过的数的类型，再给出“正整数、0、负整数统称为整数，正分数、负分数统称为分数。整数和分数统称为有理数。”最后在章小结中严格化为“由于整数可以看成是分母为1的分数，因此有理数可以写成
2．加强数学思想方法的渗透
在数系及其运算的扩充过程中，核心的问题是在添加了一类“新数”后，所引进的新数之间的运算如何归结到原有的数之间的运算而定义运算法则，进而使原有的运算律在新的数系中得以保持。这样的思想当然不能直接教给学生，因为他们还不能理解这样做到底有什么意义，但教科书注意采用渗透的方式，使学生受到数学思想方法的熏陶。例如，在归纳运算法则时，强调从符号和绝对值两个角度着手；在具体运算中，强调“先确定符号，再算绝对值”；在小结中明确“与负数有关的运算，我们都借助绝对值，将它们转化为正数之间的运算”。
前已指出，数轴是数形结合的产物。在数轴概念的建立过程中，教科书注意渗透“数轴三要素”与“数集三要素”的作用以及相互之间的对应关系。例如，教科书特别指出了“0是正数和负数的分界点，原点是数轴的基准点”；“东”与“西”、“左”与“右”等表示了相反方向，它们与数的“负”与“正”正好对应；数轴上，一个点到原点的距离，与一个数的绝对值对应；等。在这个过程中，数形结合、相互转化的思想得到自然渗透。同时，教科书充分注意发挥数轴的直观作用，通过数形转化，帮助学生理解相反数与绝对值的概念，掌握比较有理数大小的方法，认识有理数的运算法则。在数轴上，任意一个点关于原点的对称点是唯一确定的，由此而自然引出相反数的概念；用数轴上的点到原点的距离定义绝对值的概念；利用数轴上点的（左右）顺序规定有理数的顺序，既直观又涵盖了有理数比较大小的各种情况；利用数轴分析物体运动状况，使学生直观地“看到”物体两次运动的结果，再利用“相反意义的量”，解释运动过程和结果，从而引出有理数加法的运算法则；等。
3．加强思考方法的引导，促使学生学会思考、学会学习
数学教学的最主要任务是使学生学会思考，培养学生的思维能力，这是由数学的学科性质决定的。用什么方式引导学生的数学思维活动，使学生在掌握知识的过程中学习数学思考方法，从学会思考逐步走向学会学习，是教材编写中需要认真思考和落实的主要任务。为此，本章教材在学习内容的引入，概念、运算法则和运算律的归纳、概括，例题讲解过程等各环节中，安排了许多“思考”“探究”“归纳”栏目，切实落实“思考方法的引导”。例如，在“思考”栏目中提出“图1.2-3和图1.2-2有什么共同点，有什么不同点？”，引导学生概括共同特征而得出“数轴三要素”；通过“思考 小学学过的加法类型是……引入负数后，加法的类型有哪几种？”引导学生学习如何在引入“新数”后提出有价值的数学问题；通过“探究 计算30 +(－20)，(－20)+30。两次所得的和相同吗？换几个加数再试一试。从上述计算中你能得出什么结论？”引导学生开展从具体中归纳出一般规律的活动；在例题讲解中，通过“几个不是0的数相乘，积的符号与负因素的个数之间有什么关系？”引导学生思考运算规律，再通过具体实例而“归纳”得到一般结论，最后在具体运算中提出“多个不是0的数相乘，先做哪一步，再做哪一步？”引导学生思考运算规律的作用，总结运算技巧，进而培养正确迅速的运算技能；等。
总之，教材把独立思考、自主探究基础上归纳结论看成是数学学习的基本过程，以有理数及其运算知识的发生发展过程为载体，努力为学生构建一个“观察、实验、比较、归纳、猜想、推理、反思”的数学思维活动过程，通过不同栏目引导学生的思考、探究活动，在领悟有理数概念、运算法则和运算律内涵的过程中，让学生体会从特殊到一般，从具体到抽象的研究过程和方法，使他们既学会发现，又学会归纳、概括，从而逐步提高学生的思考力，培养用数学的思想和方法来思考和处理问题的习惯。
4．根据七年级儿童的年龄特征呈现教材
教材的呈现只有以学生的年龄特征和认知规律为着眼点，认真解决好与学生学习心理的适应性问题，才能真正体现好教材的育人价值，因为只有让学生喜欢教材，使教材内容能深入学生的心，教材的作用才能发挥出来。
从智力与能力发展的年龄特征看，七（上）学生的思维正处于从以具体形象思维成分为主向以抽象逻辑思维成分为主的转折期，因此，教材内容的呈现必须注意具体性、形象性，同时还要有适当的抽象、概括要求，从而既适应这一时期学生的能力发展水平，又能促进他们的思维向高一阶段发展。根据这样的要求，教材始终坚持选择学生身边实例为学习素材，使有理数的有关概念和运算得到具体形象的支撑。即使是抽象的运算法则，也强调通过具体情境帮助学生建立“合理性”的接受环境。
从这一年龄阶段学生的知识储备看，虽然他们在日常生活和小学数学学习中已经积累了一些学习有理数的基础，但对学生而言，负数与他们从具体事物的数量中得来的观念并没有共同点，“这是由具体数学向形式数学的第一次转折”，完全解决转折中出现的问题需要高度的抽象能力。因此，学生对负数意义的理解不能一蹴而就，需要积累大量经验而逐步理解。
对运算法则的理解也是非常困难的事情，更加需要数学活动经验的积累，并发挥这些经验的作用以逐步认清运算规则的“合理性”。为此，教材始终坚持了两条措施：一是以“归纳式”呈现教材内容，二是注意安排丰富多彩的数学活动。例如，通过“收入5元，支出3元，还剩2元”解释5+(－3)=2；“篮球比赛中，上半场输球5个，下半场输球3个，整场比赛共输球8个”解释(－5)+(－3)=－8；等。
5．关于有理数乘法法则的处理
众所周知，“负负得正”的教学是“世界性难题”。查阅各国教材以及我国以往教材，对有理数乘法法则的处理，主要有两种方式：一种是“匀速直线运动状况分析”，例如我国上世纪60年代用“火车从东向西每小时走40公里（就是每小时走－40公里），中午在某车站，中午以前3小时（就是－3小时）应当在某车站的东边120公里（就是+120公里），就是（－40）×（－3）=－120。”加以说明。另一种是“从正数×正数出发的归纳推理”。选择哪一种都是有利有弊的。本章选择第二种方式，理由如下：
首先，第一种方式本质上是一个用有理数知识建模解决实际问题，由于涉及时、空两个因素，而且“时”包括过去、现在和未来，“空”包括左、右（东、西）两个方向，因此这个情境较复杂，对抽象思维能力要求较高，反而对学习造成干扰。
其次，从数学发展史看，由于负数，特别是负数之间的运算，是超越经验的，用任何具体例子来解释都有很大的局限性。因此，我们只能“用简单的例子来使学生相信……承袭性原则所包含的这些约定关系，恰好是适当的，因为可以得到一致方便的算法，而其他任何一种约定，总要强迫我们考虑许多特例。”例如，如果(－1)×(－1)＝－1，那么分配律a(b+c)=ab+ac就不能成立。因为一方面由1－1＝0有(－1) ×(1－1)= (－1)×0＝0；另一方面，由分配律又有(－1) ×(1－1)= (－1)×1+(－1) ×(－1)= －1－1＝－2。
实际上，符号法则(－1) ×(－1)=1（*）是一种数学创造，为的是在保持算术运算律的条件下使运算能和谐自如，它是不能“证明”的。在数学发展史上，经过很长一段时间数学家才认识到这一点。所以，采用第二种方式，在帮助学生接受符号法则（*）合理性的同时，渗透“承袭性原则”，可能是明智的选择。当然，作出这一选择之前，我们通过学生访谈和实验，并征询了一线教师的意见，大多数老师和学生都比较赞同这一做法。
根据上述想法，教材构建了如下归纳过程：
观察3×3=9，3×2=6，3×1=3，3×0=0，说规律（随着后一个乘数逐次递减1，乘积逐次递减3）。以问题“如果这个规律在引入负数后仍然成立，那么有：3×（－1）=－3，3×（－2）= ，3×（－3）= ”引导学生归纳。
同样方式处理“负数×正数”后，指出“从算式左右各数的符号和绝对值两个角度观察上述算式，可以归纳如下：正数乘正数，积为正数；正数乘负数，积是负数；负数乘正数，积也是负数。积的绝对值等于各乘数绝对值的积。”
以“思考 利用上面归纳的结论计算下面的算式，你发现有什么规律？（－3）×3= ，（－3）×2= ，（－3）×1= ，（－3）×0= 。”引导，得出“随着后一个乘数逐次递减1，乘积逐次增加3”的规律后，再以“如果上述规律仍然成立，那么有（－3）×（－1）= ，（－3）×（－2）= ，（－3）×（－3）= 。”引导学生归纳出：负数乘负数，积为正数，乘积的绝对值等于各乘数绝对值的积。
最后总结有理数乘法法则。 |
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