一元二次方程的重要性不言而喻,我也不多废话。初中生都知道,一元二次方程ax2+bx+c=0的解的个数由其判别式△=b2-4ac决定。这个具体内容我也不废话,应该都知道。今天我们来小小地发散思维,利用韦达定理反推判别式。 现在设方程ax2+bx+c=0的两个解为m和n,那么根据韦达定理有: m+n=-b/a,mn=c/a 根据我们所学的不等式的内容,我们有下面的不等式成立: (m+n)?≥4mn 现在将韦达定理的内容带入该式有: b2/a2≥4c/a 两边同时乘以a2: b2≥4ac 所以,如果原方程有两个实数根,必须要满足b2≥4ac,也就是我们的△≥0,当且仅当m=n时,b2=4ac。原来,二次方程的判别式的来源,竟是一个我们熟知的不等式!虽然推理过程很简单,不过,这里面融合了韦达定理,二次方程判别式,不等式,岂不快斋? 这个地方要说明的是,虽然在中学课本里,我们推导韦达定理是运用求根公式,但是实际上我们有不用其求根公式的证明方法,所以,这样的反推没有循环论证。况且,就算是有循环论证,作为一个课外的融合,作为一种串联各个知识点的方法,也未尝不可。 |
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