一道高考题的解法探讨

一道高考题的解法探讨

湖南省桃源县教师进修学校　王益兵

2007年普通高等学校招生全国统一考试（湖南卷）数学（文史类）第21题：

 

已知函数在区间，内各有一个极值点．

 

（I）求的最大值；

 

（II）当时，设函数在点处的切线为，若在点处穿过函数的图象（即动点在点附近沿曲线运动，经过点时，从的一侧进入另一侧），求函数的表达式．

 

在参照考试部门公布的标准答案（见本文后面的附件，以下简称“标答”）的基础上，笔者对这道题的解法做了认真的研究。在研究中，我发现了一些解决此问题的较好的处理方法或思路，比标答更容易被读者理解。我把它整理出来，希望能对你理解此题的解答有所帮助。

 

解：（I）解法二：因为函数在区间，内分别有一个极值点，所以在，内分别有一个实根，设两实根为（），则，，即有，，从而有，也就有。

 

因为，，即。

 

所以。

 

易知当，，即，时，中的等号成立。

 

故　的最大值为16。

 

（评：我们试将上述解答与标答比较一下，两种解法在本质上是一样的，但前者在表述上要显得清晰和易于理解一些，避开了根号的使用。）

 

（II）解法三：

 

在点处的切线的方程是:，即，

 

因为切线在点处穿过的图象，

 

所以在两边附近的函数值异号。*

 

 

    

 

在两边附近，所以要在两边附近的函数值异号，也就是要一次函数在两边附近的函数值异号，根据一次函数的性质，则必须满足，即，由有，故．

 

（评：解法的后半部分通过很完全的因式分解，将的表达式化后通过讨论和两式的符号问题来很快地获解。）

 

解法四：与解法三“*”前内容同

 

 

     ．

 

在两边附近的值是异号的，要在两边附近的函数值异号，也就是要二次函数在两边附近的函数值同号，根据二次函数的性质，则必须满足或处就是二次函数的顶点。然而验算知，确实有，所以处就是二次函数的顶点，即有=1，得，由有，故．

 

（评：此法与解法三比较，在因式分解上不是很完全，但通过运用二次函数的性质也使问题迎刃而解。笔者认为，解法三和解法四在借助于因式分解这一利器的基础上，将较复杂的函数问题巧妙地转化成一次函数或二次函数这样的简单函数问题而使问题地解决变得简洁轻松，大大地降低了读者在理解上的难度。由此我们不难得到这样的启示：用简单的方法往往可以把看似不简单问题解决得很轻松，所以在解高考题时千万别瞧不起你初中时惯用的思想和方法，也许它能帮你大忙。）

 

[附件]　考试部门公布的标准答案：

 

解 （I）因为函数在区间，内分别有一个极值点，所以在，内分别有一个实根，

 

设两实根为（），则，且．于是

 

，，且当，即，时等号成立．故的最大值是16．

 

（II）解法一：由知在点处的切线的方程是

 

，即，

 

因为切线在点处穿过的图象，

 

所以在两边附近的函数值异号，则

 

不是的极值点．

 

而，且

 

．

 

若，则和都是的极值点．

 

所以，即，又由，得，故．

 

解法二：同解法一得

 

．

 

因为切线在点处穿过的图象，所以在两边附近的函数值异号，于是存在（）．

 

当时，，当时，；

 

或当时，，当时，．

 

设，则

 

当时，，当时，；

 

或当时，，当时，．

 

由知是的一个极值点，则，

 

所以，又由，得，故．

 

作者简介：王益兵，男，39岁，湖南省桃源县教师进修学校教师，91年毕业于湖南师范大学数学系，学士学位，任教过初高中数学，职称中教一级。

2011-07-07  人教网