高考中的格点问题

高考中的格点问题

湖北省阳新县高级中学　邹生书

所谓格点就是平面直角坐标系中横坐标和纵坐标都为整数的点又称整点.格点问题是一个非常有趣的数学问题，同时也是背景深厚的数学问题.在2011年高考中有三道涉及到格点的考题，它们分别是北京理科第8 题、四川理科第12题和安徽理科第15题.问题分别涉及四边形内的格点个数问题、格点三角形面积问题和直线上的格点个数问题.

 

一、考题解析与点评

 

例1（北京理科第8 题）设.记为平行四边形内部（不含边界）的整点的个数，其中整点是指横、纵坐标都是整数的点，则函数的值域为（ ）

 

 

            

    点评  这是一道一边固定且这边和这边的高均为4的动态平行四边形内部格点的个数问题，重点考查自主探索能力、动手操作能力、观察归纳猜想能力.只需动手画图，构造几个特殊图形即可获得答案，由三图便知答案为.

 

例2（四川理科第12题）在集合中任取一个偶数和一个奇数构成以原点为起点的向量.从所得到的以原点为起点的向量中任取两个向量为邻边作平行四边形.记所有作成的平行四边形的个数为，其中面积不超过4的平行四边形的个数为，则（  ）

 

           

 

解析  这6条向量如图所示，任取两个向量为邻边作平行四边形的个数为.每一个平行四边形的面积等于这两个向量所构成三角形面积的两倍，于是面积不超过4的平行四边形的个数为就是面积不超过2的三角形的个数.下面对向量终点所在直线与坐标轴的位置关系进行分类讨论.

 

 

（1）当两向量终点所在直线平行于轴时，满足条件的三角形有2个:.

 

（2）当两向量终点所在直线平行于轴时，满足条件的三角形有1个:。

 

（3）当两向量终点所在直线的斜率大于零时，满足条件的三角形有2个:。

 

（4）当两向量终点所在直线的斜率小于零时，没有满足条件的三角形.

 

综上可知，满足条件的三角形个数为，所以，故选.

 

注 这里和的面积计算是一个难点，下面对的面积给出两种算法.

 

法1 延长至，则为之中点，所以.

 

法2 设，则.

 

同法2可算出的面积.

 

点评  本小题考查集合、平面向量、排列组合、平面图形面积、概率等基础知及综合运用，考查运算能力和分析问题解决定问题的能力.其中三角形面积的计算也就是格点三角形面积的计算是本题的一个难点，需要用到分类讨论思想、数形结合思想和化归转化思想，若用下文的皮克定理则计算变得异常简单.

 

例3（安徽理科第15题）在平面直角坐标系中，如果与都是整数，就称点为整点，下列命题中正确的是_____________（写出所有正确命题的编号）.

 

①存在这样的直线，既不与坐标轴平行又不经过任何整点.

 

②如果与都是无理数，则直线不经过任何整点.

 

③直线经过无穷多个整点，当且仅当经过两个不同的整点.

 

④直线经过无穷多个整点的充分必要条件是:与都是有理数.

 

⑤存在恰经过一个整点的直线.

 

解析 ①正确.比如直线不与坐标轴平行，当取整数时，始终为无理数;②错误.例如直线中与都是无理数，但直线过整点;③正确.必要性显然.证明充分性:设直线经过两个不同整点，则直线上到点的距离为的整数倍的点都是整点，而这样的点有无数个，故直线经过无穷多个整点;④错误.例如直线中与都是有理数，但直线上无整点;⑤正确.例直线只过一个整点.

 

综上可知故答案为:①，③，⑤.

 

点评 本题是有关直线整点个数问题的多选题，主要考查量词、直线方程和数的性质，重点考查构造反例、推理论证、分析问题和解决问题的能力.

 

　　 二、格点问题链接

 

　　 1.格点与面积

 

关于顶点都是格点的多边形即格点多边形，维也纳的皮克（Pick，1859—1943）于1899年提出了如下结论：

 

皮克定理  若格点多边形内部含有个格点，边界上含有个格点，则这个多边形的面积.

 

下面我们用皮克定理中格点多边形面积公式再解四川理科第12题，因为内的格点数，边界上格点数，所以，同理可求得的面积为1，

 

2.内含个格点的圆

 

对于任意给定的整数，是否总存在这样的圆，其内部恰好有个格点?结论是肯定的，但证法巧妙纯属构造耐人寻味叹为观止，先证明一个有趣的引理.

 

引理  以点为圆心，以任意正数为半径的圆周上最多有一个格点.

 

证明  假设是此圆上的两个格点，则， .两式相减可得，.因为为整数，所以等式左边为整数，则右边必为整数，所以必有，即两点重合，故引理得证.

 

该引理表明，平面上的格点到点的距离互不相等，据此我们可将格点到点的距离由小到大进行排列.下面我们在此引理的基础上来构造恰好含有个格点的圆.

 

　　定理  对于任意给定的整数，总存在这样的圆其内部恰好有个格点.

 

　　证明  因为与点最近的格点是，令，记以点为圆心为半径的圆为，则内的格点是0个，由引理知，其圆上的格点数为1个.又在外与点最近的格点是，令，则内的格点是1个，就是上的那个格点，由引理知，其圆上的格点数为1个.在外与点最近的格点是，令，则内的格点是2个，由引理知，其圆上的格点数为1个.如此类推，由于这样每做一次只能增加一个格点，故内恰好有个格点.

2011-12-02  人教网