数列求通项公式基本题型及思路

题型一：已知a_n+1-a_n=f(n),求a_n;
      如果f(n)是常数函数，那么这个就是我们所学的等差数列；否则，一般的方法就是采用累加法：
      a₂-a₁=f(1);
      a₃-a₂=f(2);
      a₄-a₃=f(3);
      ………………
      a_n+1-a_n=f(n);
      然后左边相加等于右边，就有a_n+1-a₁=f(1)+f(2)+f(3)+……+f(n)，由此便有了a_n的通项公式。这种题要注意的一点就是n的范围，上面所写的只是一个大体思路，具体的题目中，一定要明确n的范围。有时候，第一个式子不是a₂-a₁=f(1)，而是a₃-a₂=f(1)等等，这一点是学生最容易犯错，也是最容易失分的地方。
      练手：已知a_n+1=n+a_n，a₁=1，求a_n。
      自己做，然后从这里往后反选得到答案：a_n=(n²-n+2)/2
      同理，当我们遇到形如a_n+1/a_n=f(n)的递推关系的时候，就采用累乘法，相信各位都没问题，当然了，如果f(n)是常数函数，那就是我们的等比数列。所以求等比数列的通项公式，也可以采用这种累乘法。同样的，你要注意n的取值范围。
      题型二：已知Aa_n+1+Ba_n+C=0，其中A、B、C都是常数，求a_n。
      遇到这种题目，一般的方法就是将之化成一个新的等比数列。除非你推理能力特别强，建议你不要直接化。最好采用“先斩后奏”的方式，因为不可否认，如果A≠-B，那么这个式子就一定可以化成下面的形式：
      A(a_n+1+k)=-B(a_n+k)。
      你先写成这种形式，然后将其展开，对应着题目所给的递推关系，对应系数相等，你就可以把k给求出来，那么数列{a_n+k}就是一个等差数列，其通项公式就能求出来，a_n的通项公式也就随之而来。
      我们可以看出来，如果A=-B，那么这个递推关系是不可能化成等比数列的。实际上，若A=-B，那么她就变成我们的等差数列了。还要注意的一种特殊情况就是A=B的时候，这实际上就是一个等和数列，从这个问题我们可以看到，等和数列也可以化成一个等比数列。
      对于这一种题型，也可以这样将之化成等比数列：
      Aa_n+1+Ba_n+C=0
      Aa_n+Ba_n-1+C=0
      两边相减就有：A(a_n+1-a_n)+B(a_n-a_n-1)=0，如此就化成了一个等比数列，具体哪种，看自己喜欢。
      练手题：在数列{a_n}中，a₁=1，a_n+1=2a_n+1(n≥2)，求an。答案(请反选后面)：a_n=2ⁿ-1。
      题型三：已知Aa_n+1+Ba_n+Ca_n-1+D=0,其中A、B、C、D都为常数，求a_n；
      这种题目和上面的是一样，你他们一定可以化成下面的形式：
      Aa_n+1+Ea_n=k(Aa_n+Ea_n-1)
      同样的展开，求出对应系数，然后你就可以求出数列{Aa_n+Ea_n-1}的通项公式，然后再利用题型二的方法。实际上就是一种逐步化简的方法，就好像立体几何里面面垂直化成线线垂直一般。同样的原则，注意n的范围。
      题型四：关于f(S_n,a_n),求a_n。
      也就是知道S_n和a_n的关系，求a_n，这种题没有统一的思想，一般是借助桥梁S_n-S_n-1=a_n。如果题目中关于S_n的表达式很复杂，你也可以把S_n看成一个数列，先对S_n进行求解，然后得出a_n。
      题型五：归纳法。
      说得好听点，是归纳法，说得不好听，就是猜，写出一部分数值，然后猜，猜了就用归纳法证明。
      还有一种题型，比较麻烦。很多参考室都提到利用不动点的概念，不过个人认为，利用传统的方法，学生似乎接受得更快。我对这种题目的思路是，先用传统方法讲解具体思路，然后用不动点法进行升华，记忆。就是形如下面的递推关系求an的题目：