三角公式的图解

三角函数的公式是出了名的多。在学习微积分以前，“三角函数”四个字最容易吓唬人。很多学生都为记忆这些公式头疼，不过如果在教学过程中能运用到一些图示的话，趣味性就大大地增强，因为三角函数与数形结合是永远分不开的。在这一点上，张景中先生走在最前面，在很多场合强调图示的作用，特别是他的面积法，很有启发性。今天就举几个例子。
      1：三角函数的平方关系图
     
      2：正弦二倍角公式图解sin2θ=2sinθcosθ
     
      说明：S△ACB=1/2×1×1×sin2θ=1/2×(2sinθ)cosθ,从而得出二倍角正弦公式
      3：图解余弦二倍角公式和正切半角公式
     
      说明：BH⊥AD，AD为单位圆直径，O为圆心。很容易看出来，OH=cos2θ。另一方面，OH=AH-AO=ABcosθ-1=(2cosθ)cosθ-1=2cos²θ-1,而且OH=DO-DH就可以得出另一个公式。
      tanθ=BH/AH=sin2θ/(1+cos2θ)
      4:图解和角公式
     
      说明：也是一单位圆，要用到一点向量，AC⊥OC，所以AC=sinα，OC=cosα。为了方便，下面的黑体就表示向量
      sin(α+β)=AB=AE+EB=AE+CD
                 =ACcosβ+OCsinβ
                 =sinαcosβ+cosαsinβ
      同理，相信上面右边的图可以解释差角公式，就交给各位自己了
      5：图解正弦二倍角三倍角公式
     
       说明：sin2θ=BF=ABsinθ=2AEsinθ=2cosθsinθ
       cos2θ=OF=AF-AO=ABcosθ-1=2AEcosθ-1=2cosθcosθ-1=2cos²θ-1
       sin3θ=CD=ADsinθ=(AO+2OF)sinθ=(1+2cos2θ)sinθ,化简即可
       cos3θ=BC=AC-AB=ADcosθ-2AE，按照前面的带入相应的数值即可。