用待定系数法分解因式

待定系数法是一种重要的数学方法。要确定变量间的函数关系，设出某些未知系数，然后根据所给条件来确定这些未知系数的方法叫待定系数法，其理论依据是多项式恒等，也就是利用了多项式f（x）g（x）的充要条件是：对于一个任意的a值，都有f（a）≡g（a）；或者两个多项式各同类项的系数对应相等. 先假定已知多项式具有某种分解式。这个分解式中含有若干个待定的字母系数，然后应用多项式恒等的性质，或取多项式中原有的几个特殊值，列得关于待定的字母系数的方程或方程组，解出待定的字母系数值。这种分解因式的方法，叫做待定系数法。

　例1  分解因式x²+6x-16．

　　分析：假设能分解，则应分解为两个一次项式的积形式，即(x+b₁)(x+b₂)，将其展开得

　　x²+(b₁+b₂)x十b₁·b₂与x²+6x-16相比较得

　　b1+b²=6，b₁·b₂=-16，可得b₁，b₂即可分解．

　解：设x²+6x-16=(x+b₁)(x+b₂)

　　则x²+6x-16=x²+(b₁+b₂)x+b₁·b₂

　　

　　∴x²+6x-16=(x-2)(x+8)．

例2. 分解因式：x²+xy-6y²+x+13y-6

   分析：该式中的二次项x²+xy-6y²可用十字相乘法进行分解。x²+xy-6y²=(x-2y)(x+3y),重要的是要弄清楚原式分解因式后的一般形式，从而恰当设出待定的系数，注意到原式中的二

次项被分解成(x-2y)(x+3y)，可设原地式被分解后的形式为(x-2y+m)(x+3y+n),因为这个乘积展开后，m，n和其余各项乘积的代数和正好构成原式中的一次项和常数项。
   解：∵ x²+xy-6y²=(x-2y)(x+3y)
    设x²+xy-6y²+x+13y-6=(x-2y+m)(x+3y+n)=x²+xy-6y²+(m+n)x+(3m-2n)y+mn
    由多项式恒等定理可知

m+n=13

m-2n=13

mn=6

解之：m=3 ，n=-2

 

 

 ∴x²+xy-6y²+x+13y-6=(x-2y+3)(x+3y-2)