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盈亏问题（1） 盈亏问题又叫盈不足问题，是指把固定数量的物品平均分给固定的对象，因为两种不同的分配标准，导致两种不同的分配结果：一种标准分配后有剩余（盈）；另一种标准分配后不够分（亏或不足）。此类问题，要求通过两种分配结果的比较，求出物品总数量和固定对象的个数。 标准的盈亏问题就是两次分配的结果一盈一亏，所以就叫盈亏问题。基本的数量关系是： （盈+亏）÷两种分配标准的数量之差＝固定对象数量。 广义的盈亏问题一般还包括以下四种情况： 一、两次分配都有余（两盈）； 二、两次分配都不够分（两亏）； 三、一次有余，一次刚好够分（盈适足）； 四、一次分配不够分，一次刚好够分（亏适足）。 解决盈亏问题常用比较的解题策略： 通过两次分配盈亏总额与分配数量的比较，先求出固定对象的个数，再求出分配物品的总数量。 此类问题基本数量关系有： ① 盈余部分÷两种分配标准的数量之差＝固定对象数量。 ② 亏欠部分÷两种分配标准的数量之差＝固定对象数量。 ③ （盈多－盈少）÷两种分配标准的数量之差＝固定对象数量。 ④ （亏多－亏少）÷两种分配标准的数量之差＝固定对象数量。 ⑤ （盈+亏）÷两种分配标准的数量之差＝固定对象数量。 比较常规的盈亏问题，一般可以直接套用上面的数量关系，解决问题。 较复杂的盈亏问题，一般需要先对题中的条件进行适当的转化，将相关问题先转化成典型的盈亏问题，再求解。 【题目】： “雏鹰小队”的同学们参加植树活动，如果每人栽5棵树，还剩12棵树；如果每人栽7棵，就缺4棵。问这个小队有多少人？一共要栽多少棵树？ 【解析】： 观察上图，比较每人栽7棵与每人栽5棵的两种情况，雏鹰小队总人数是不变的。 雏鹰小队栽树总棵数多出：12＋4=16（棵）； 而每个人多栽：7－5=2（棵）； 所以小队人数为：（12＋4）÷（7－5）=8（人）。 由小队人数和任意一种栽法，可以求出栽树总棵数： 5×8＋12=52（棵）或7×8－4=52（棵）。 我的理解：每人栽5棵，还剩12棵，而每人栽7棵，每人比原来多栽了两棵，还可以说，在每人栽5棵的基础上再每人栽2棵，这个时候剩下的的12棵不够每人多栽的2棵，还差多少呢，差4棵，也就是说还剩的12棵再加上4棵，每人就可以再栽2棵了。所以接下来就简单了：（12+4）÷2=8（人） 【题目】： 小朋友分苹果，每人分18个，还多出2个；每人分20个，就有一位小朋友没分到苹果，问共有多少个小朋友？共有多少个苹果？ 【解析】： 转化题中条件“每人分20只，就有一位小朋友没分到苹果”，即每人分20个苹果，就少20个苹果。 可以画出与上题相似的线段图帮助理解题意，比较每人分20个苹果和每人分18个苹果两种情况，小朋友总人数是不变的。 分掉的苹果总数相差：2＋20=22（个）； 每人多分：20－18=2（个）； 所以共有小朋友：22÷2=11（个）。 由小朋友总人数和任意一种分法，可以求出苹果总数，如： （11—1）×20=200（个）。 我的理解：每人分18个苹果时还余2个没有分，而每人分20个，也就是说要在原来的基础上，每人再分2个，余下的2个苹果不够分了，还差多少个够分呢？差20个（每人分20个，就有一位小朋友没分到苹果），也就是说再有20个苹果就够每人再分2个苹果了。所以：（2+20）÷2=11（人）11×18+2=（10+1）×18+2=180+20=200（个） 【题目】： 学生春游，租了几条船让学生们划，每条船坐3人，则空2人的位置；如果每条船坐5人，则空出16人的位置，问有学生多少人？共租了多少条船？ 【解析】： 这是两亏问题，每条船坐3人，空2个位置即少2人，每条船坐5人空16个位置少16人，每条船坐5人比每条船坐3人多空出了14个位置，即每条船坐5人比每条船做3人，可以多坐14人。 比较两种坐船方案，租船总条数是不变的。 可乘坐总人数相差：16－2=14（人）； 每条船乘坐人数相差：5－3=2（人）； 所以共租船：14÷2=7（条）。 根据船的条数和任意一种租船方案，可以求出学生人数，如： 7×3－2=19（人）。 【题目】： 全班同学分组劳动，每组8人。劳动中觉得每组人数太少，因而重新编组，每组改为12人，这样减少了2组，问参加劳动的学生有多少人？ 【解析】： 转化题中条件“每组12人，少2组”，即按原定组数分组，每组12人，少了24人。 转化条件后，比较第二次编组与第一次编组情况，编的组数没变。 总人数增加：12×2=24（人）； 每组人数增加：12－8=4（人）； 原定组数为：24÷4=6（人）。 再根据第一次分组情况，可以求出学生人数为：8×6=48（人）。 注：如果解题时，该题需要把题中的一种分配方案进行转化才能化为盈亏问题求解，通常在求题中的第二个未知数时，按另一种分配方案求解比较方便。
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