什么是仿射变换以及仿射变换矩阵？
仿射变换可以理解为
对坐标进行放缩，旋转，平移后取得新坐标的值。
经过对坐标轴的放缩，旋转，平移后原坐标在在新坐标领域中的值。
假设XY坐标系坐标轴旋转θ，坐标原点移动（x0，y0）。
XY坐标系中的坐标（X，Y），则求新坐标系xy中的坐标值的方程组为:
X = X?cosθ - Y?sinθ + x0
Y = X?sinθ + Y?cosθ + y0
写成矩阵形式为
| x
|
| cosθ sinθ
| | x0
|
| | = |
X Y | *
|
| + |
|
| y
|
| -sinθ cosθ
| | y0 |
为将原点移动的值放入矩阵，则可以加入一个不影响原方程组的解的冗余方程。于是可以写成：
X = X?cosθ - Y?sinθ + x0
Y = X?sinθ + Y?cosθ + y0
1 =
X?0
+
Y?0
+ 1
写成矩阵形式为
| x
|
| cosθ
sinθ 0|
| y | = |
X Y 1 | * |
-sinθ cosθ
0|
| 1
|
|
x0
y0
1|
这个矩阵实际上就是Helmert变换矩阵。
考虑到新坐标系对于原坐标系在x，y两个坐标轴上的放缩率，可分别表示为λx和λy，则Helmert变换方程组可以修改为：
X = (λx)X?cosθ -
(λy)Y?sinθ + x0
Y = (λx)X?sinθ +
(λy)Y?cosθ + y0
同样按照前述方法写成三阶矩阵为
| x
|
| (λx)cosθ
(λx)sinθ
0|
| y | = |
X Y 1 | * |
(λy)-sinθ (λy)cosθ
0|
| 1
|
|
x0
y0
1|
这个矩阵就是affine变换矩阵，仿射矩阵。
几何上，两个向量空间之间的一个仿射变换或者仿射映射（来自拉丁语，affinis，“和...相关”）由一个线性变换接上一个平移组成:
在有限维的情况，每个仿射变换可以由一个矩阵A和一个向量b给出，它可以写作A和一个附加的列b。一个仿射变换对应于一个矩阵和一个向量的乘法，而仿射变换的复合对应于普通的矩阵乘法，只要加入一个额外的行到矩阵的底下，这一行全部是0除了最右边是一个1：
而列向量的底下要加上一个1：
(齐次坐标)。
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