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【张子权的回答(11票)】: 总有人问我金融数学是研究什么的，有什么用，遂自问自答。 关于衍生工具的定义可参考维基百科的解释 金融衍生工具，是一种特殊类别买卖的金融工具统称。这种买卖的回报率是根据一些其他金融要素的表现情况衍生出来的。比如资产（商品，股票或债券），利率，汇率，或者各种指数（股票指数，消費者物價指數，以及天气指数）等。这些要素的表现将会决定一个衍生工具的回报率和回报时间。衍生工具的主要类型有期货，期权，权证，远期合约，互换等，這些期货，期权合約都能在市場上買賣。从我的角度理解，所谓『衍生』实际上就是关于『标的资产』的一个方程或者说映射。这个方程就是通过衍生合同来实现的。举个栗子，欧式期权，最广为人知的衍生品欧式期权。简单来说就是在合约到期日，期权持有者有权，（注意：不是义务）以合约约定价格（又称执行价）购买一单位的标的物，又称『行权』。假设合约日期是
，执行价为
，标的物的价格是在
时间为
。根据欧式期权定义，意味着期权持有者在合约到期时间可以获得收益为
。因为当标的物的价格大于执行价的时候，持有者可以以更低的价格购买购买，并且立刻标的物价格卖出，收益即为
；反之若标的物的价格低于执行价，合同持有者则无需行权，收益为零。如果我们把上面的式子写成
,这就是我们前面提到的收益方程。可见持有欧式期权意味着立于不败之地，你自然要问哪有这么好的事。当然天下没有免费的午餐，持有者必须花钱购买，这就涉及到这里的核心问题，衍生品定价。 那么衍生品的价格和什么有关呢，第一当然是我们前面提到的收益方程，其次是另外一个很重要的因素是『折现率（discounting rate）』，可以简单的理解为无风险利息，或者读者可以简单的理解为国债利息。举个栗子，假设我们的衍生品的合约到期日
收益方程是是常数1，这就是债券中最简单的零息债券。假设国债年利息是10%，那么栗子中的债券价格就应该是
。好了现在我们就完成了一个最简单的衍生品定价，相当于编程中的 Hello World。这个衍生品具有已下性质
来说我存一块钱进银行，我们把一年时间平均分成n份，每段时间长度为 
，对应这个时长，银行的利息为
，利滚利一年以后银行连本带息应该在我的账户显示如下这么多钱
。如果我们吧每段这个时间缩小至无穷小，我们就得到了长度为一年的『连续』时间，在这一年中利滚利的结果则是
。 学过大学数学的同学应该可以认出这是著名的指數函數的级数求和形式。因此对于连续时间，固定利率下零息债券的定价则是
参数的随机性 以上讨论中我们发现一个重要问题-在这个混乱的世界中我们的模型居然没有涉及到任何一个随机变量！如果金融世界可以这样简化那金融数学也就没有作为一门学科存在的必要了。事实上利息就是在时间轴上随机游走的变量，标的物的价格也是随机量，就算是我们前面提到的零息债券，那个看上去等于常数1的规定回报也可能是随机的，因为存在违约风险！ ----以下内容看官可以直接跳过---- 资产定价第一基本定理（Fundamental theorem of asset pricing）指出， 外行看着很玄乎，其实简单的来说就是，存在一个或者多个『风险中性测度（Risk-neutral measure）』,这就是一个『无套利市场（arbitrage-free）』，就存在所谓的公平价格。如果这风险中性测度是唯一的，那么我们我们称这个市场为『完备市场（complete market）』。 大家可能注意到，这里反复出现『风险中性测度』的概念，简单的说在以这个测度定义的概率空间下，期望的折现收益即是前面提到的『公平价格』。至于为啥是这样，先声明物理的细节我不懂，这要追溯到1940年物理学家理查德·费曼（Richard Feynman）在研究薛定谔方程的时候发现方程的解可以用路径积分来理解。后来费曼同事Mark Kac研究发现这个费曼的结果和PDE里面著名的热方程或者 diffusion equation有密切的联系。于是就有了后来鼎鼎大名的Feynman–Kac formula。至于后来几乎所有都定价理论都是基于此发展而来，包括金融界最富盛名的Black–Scholes equation。 『风险中性测度』这个概念要延伸出去可就大有文章可做了，自觉能力还不足以解释清楚这个概念。可参见问题 能否深入浅出地介绍一下测度论在金融衍生品定价方面的作用？，待我有时间有能力的时候再来回答这个问题。 ----跳完可以落地继续看了---- 汇成一句话，衍生品的价格等于风险中性测度下的期望折现收益。写成数学表达就是
是衍生品价格，
是收益方程，
是在时间
的即时折现率，
是对于初值
条件下，以风险中性测度得到的期望。 以上就是衍生品定价的基本框架。整个金融数学很多问题都是在研究如何去计算上面这个期望。看上去简单其实可供研究地方多，
【张栋的回答(5票)】: 个人的感受是，很多国内的金融学生只知道背数学公式，并不知道这些数学公式背后的原理是什么。简要说一下金融资产定价的经济学基础。 当你给金融衍生品定价时，你就像一个法官一样，在进行“民事调解”。你定出来的价格要使得金融资产的买卖双方都感到公平，也就是说，尽义务的一方要有适当的补贴，得到权利的一方要付出适当的价格。不然，有一方“沾光”了，市场没有达到你情我愿（均衡）的状态，交易无法进行。那么数学金融是怎么定义“沾光”的？它被称为“无风险套利”，也就是在交易初始期，你通过无风险借贷等手段买卖被错误定价的金融资产，在期末拿到确定的收益。有风险的“套利”（在现实生活中出现的监管套利、统计套利）不在这个范畴之内！ 这个价格（补贴）怎么决定呢？无论是风险中性定价，还是无套利定价，用的都是最基本的经济学定律：供求均等，市场出清，大家都愿意支付这么一个价格，交易则可以进行。当你运用公式对资产定价，你便是有效市场（Efficient Market）理论的信徒。为什么这么说呢？试想一下，假设很多聪明人都去进行这样的无风险套利，定价偏高的资产需求会减小（因为大家都卖空它来构建无风险套利组合），定价偏低的资产需求会增大（因为大家都买入他构建无风险套利组合），这么一来二去，资产的价格便会归拢它的均衡值，也就是无套利价值。我们运用BS等公式定出来的衍生品价格，正是这样的一个价格。这和股票估值的原理差不多，大量的人通过汇总大量信息为某只股票定出一个内涵价值（这就是大名鼎鼎的同质期望假设），然后通过买卖股票寻求价值回归，当大家都这么做的时候，股票的现行交易价格总是等于内涵价值。 不同的是，确定金融资产的内涵价值比股票要容易得多。金融资产的内涵价值被称为“未定权益”（contingent claim），也就是进行交易的两方总有一方会以某种形式欠另一个方一个“补贴”（或“回报”），这种权益的现值，便是金融资产的公平价值。 由此看来，金融经济学（financial economics）和金融数学是密不可分的，而且是后者的基础学科。刚才提到的市场出清，供求均衡，用的是金融经济学中的一般均衡理论（general equilibrium），由此衍生出了一套金融资产定价的基础方法论，比如Arrow和Debreu的state-price理论。 再往下发展便是定价的具体数学技巧了，十分简要的总结一下。一开始要追溯到19世纪末Bachelier的金融资产回报正态分布的奠基论文。20世纪中期，随即积分，尤其是伊藤清的ITO Fomula，为描述金融资产的回报和其定价提供了强有力的工具。20世纪中后期，black和scholes在merton的帮助下推导出了BS模型。这是当时第一个采用无套利方法进行定价的模型，所以有跨时代的意义。再往后便是席卷整个数学的测度论浪潮，很多复杂的资产定价被精确的数学语言描述出来。测度论的工具性远远大于实用性。它是一门跨越学科的语言，可以让数学家和经济金融学家看懂对方在说什么。 —————— 答一半，下班再继续写。 原文地址:知乎 |
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