2014届高考数学（理）一轮复习热点针对训练：第61讲《轨迹问题》《抛物线>《空间中的平行关系》&nbs

1.(2012·安徽省皖南八校联考)若动点P到定点F(1，－1)的距离与到直线l：x－1＝0的距离相等，则动点P的轨迹是( D )

A．椭圆 B．双曲线

C．抛物线 D．直线

解析：因为定点F(1，－1)在直线l：x－1＝0上，所以轨迹为过F(1，－1)与直线l垂直的一条直线，故选D.

2.(2012·山西省太原五中高三9月)实数变量m，n满足m²＋n²＝1，则坐标(m＋n，mn)表示的点的轨迹是( D )

A．抛物线 B．椭圆

C．双曲线的一支 D．抛物线的一部分

解析：设x＝m＋n，y＝mn，

则x²＝(m＋n)²＝m²＋n²＋2mn＝1＋2y，

且由于m，n的取值都有限制，

因此变量x的取值也有限制，

所以点(m＋n，n)的轨迹为抛物线的一部分，故选D.

3.(2013·昌平区期末)一圆形纸片的圆心为点O，点Q是圆内异于O点的一定点，点A是圆周上一点．把纸片折叠使点A与Q重合，然后展平纸片，折痕与OA交于P点．当点A运动时点P的轨迹是( B )

A．圆 B．椭圆

C．双曲线 D．抛物线

解析：由条件知|PA|＝|PQ|，

则|PO|＋|PQ|＝|PO|＋|PA|＝R(R＞|OQ|)，

所以点P的轨迹是椭圆，故选B.

4.(2012·甘肃省天水市预测)已知点A(－1,0)和圆x²＋y²＝2上一动点P，动点M满足2＝，则点M的轨迹方程是( C )

A．(x－3)²＋y²＝1 B．(x－)²＋y²＝1

C．(x－)²＋y²＝ D．x²＋(y－)²＝

解析：设M(x，y)，P(x₀， y₀)，

由2＝，则2(－1－x,0－y)＝(x₀＋1，y₀－0)，

即(－2－2x，－2y)＝(x₀＋1，y₀)，

所以.

又点P(x₀，y₀)在圆x²＋y²＝2上，

所以x＋y＝2，即(－2x－3)²＋(－2y)²＝2，

化简得(x－)²＋y²＝，故选C.

5.平面直角坐标系中，已知两点A(3,1)，B(－1,3)，若点C满足＝λ₁＋λ₂(O为原点)，其中λ₁，λ₂∈R，且λ₁＋λ₂＝1，则点C的轨迹方程为 x＋2y－5＝0 .

解析：设C(x，y)，

则＝(x，y)，＝(3,1)，＝(－1,3)．

因为＝λ₁＋λ₂，所以.

又λ₁＋λ₂＝1，所以x＋2y－5＝0.

6.(2013·洛阳模拟)设过点P(x，y)的直线分别与x轴的正半轴和y轴的正半轴交于A，B两点，点Q与点P关于y轴对称，O为坐标原点．若＝2，且·＝1，则点P的轨迹方程是 x²＋3y²＝1(x>0，y>0) .

解析：设A(a,0)，B(0，b)，a>0，b>0，

由＝2，得(x，y－b)＝2(a－x，－y)，

即a＝x>0，b＝3y>0.

因为点Q与点P关于y轴对称，所以点Q(－x，y)，

故由·＝1，得(－x，y)·(－a，b)＝1，

即ax＋by＝1.

将a＝x，b＝3y代入上式得所求的轨迹方程为x²＋3y²＝1(x>0，y>0)．

7.(2013·广东高州市模拟)点P(4，－2)与圆x²＋y²＝4上任一点连线的中点的轨迹方程是 (x－2)²＋(y＋1)²＝1 .

解析：设圆上任意一点为(x₁，y₁)，中点为(x，y)，

则，即，

代入x²＋y²＝4，得(2x－4)²＋(2y＋2)²＝4，

化简得(x－2)²＋(y＋1)²＝1.

8.已知椭圆C的中心为直角坐标系xOy的原点，焦点在x轴上，它的一个顶点到两个焦点的距离分别是7和1.

(1)求椭圆C的方程；

(2)若P为椭圆C上的动点，M为过点P且垂直于x轴的直线上的点，＝e(e为椭圆C的离心率)，求点M的轨迹方程，并说明轨迹是什么曲线．

解析：(1)设椭圆长半轴长及半焦距分别为a，c，

由已知得，解得，所以b²＝7，

所以椭圆C的方程为＋＝1.

(2)设M(x，y)，P(x，y₁)，其中x∈[－4,4]．

由已知得＝e².

而e＝，故16(x²＋y)＝9(x²＋y²)．①

由点P在椭圆C上得y＝，代入①式并化简得9y²＝112，

所以点M的轨迹方程为y＝±(－4≤x≤4)，轨迹是两条平行于x轴的线段．

9.(2012·广东省肇庆市第一次模拟)已知圆C与两圆x²＋(y＋4)²＝1，x²＋(y－2)²＝1外切，圆C的圆心轨迹方程为L，设L上的点与点M(x，y)的距离的最小值为m，点F(0,1)与点M(x，y)的距离为n.

(1)求圆C的圆心轨迹L的方程；

(2)求满足条件m＝n的点M的轨迹Q的方程．

解析：(1)两圆半径都为1，两圆心分别为C₁(0，－4)、C₂(0，2)，由题意得CC₁＝CC₂，

可知圆心C的轨迹是线段C₁C₂的垂直平分线，C₁C₂的中点为(0，－1)，直线C₁C₂的斜率等于零，故圆心C的轨迹是线段C₁C₂的垂直平分线，其方程为y＝－1，

即圆C的圆心轨迹L的方程为y＝－1.

(2)因为m＝n，所以M(x，y)到直线y＝－1的距离与到点F(0,1)的距离相等，故点M的轨迹Q是以y＝－1为准线，点F(0,1)为焦点，顶点在原点的抛物线，

而＝1，即p＝2，所以，轨迹Q的方程是x²＝4y.

1.抛物线y＝4x²的准线方程为( D )

A．x＝－1 B．y＝－1

C．x＝－ D．y＝－

2.正三角形一个顶点是抛物线x²＝2py(p>0)的焦点，另两个顶点在抛物线上，则满足此条件的正三角形共有( C )

A．0个 B．1个

C．2个 D．4个

解析：由抛物线的对称性可知，另两个顶点一组在焦点的下方，一组在焦点的上方，共有两组，故选C.

3.如图，过抛物线y²＝2px(p>0)的焦点F的直线l交抛物线于点A、B，交其准线于点C，若|BC|＝2|BF|，且|AF|＝3，则此抛物线方程为( C )

A．y²＝9x B．y²＝6x

C．y²＝3x D．y²＝x

解析：分别过A，B作准线的垂线，垂足分别为E，D，如图．

因为|BC|＝2|BF|，由抛物线的定义可知|BF|＝|BD|，∠BCD＝30°.

又|AE|＝|AF|＝3，所以|AC|＝6，

即F为AC的中点，所以p＝|EA|＝，

故抛物线的方程为y²＝3x，故选C.

4.(2013·山东省临沂市3月一模)若抛物线的顶点在原点，准线方程为x＝－2，则抛物线的方程为 y²＝8x .

解析：由条件知－＝－2，所以p＝4，

故抛物线的方程为y²＝8x.

5.(2012·皖南八校第二次联考)抛物线x²＝ay过点A(1，)，则点A到此抛物线的焦点的距离为 .

解析：由已知可得1＝a，所以a＝4，所以x²＝4y.

由抛物线的定义可知点A到焦点的距离等于A到准线的距离：

y_A＋＝＋1＝.

6.(2013·衡水调研卷)设斜率为2的直线l过抛物线y²＝ax(a≠0)的焦点F，且和y轴交于点A，若△OAF(O为坐标原点)的面积为4，则抛物线的方程为 y²＝±8x .

解析：由题可知抛物线的焦点坐标为(，0)，于是过焦点且斜率为2的直线l的方程为y＝2(x－)，令x＝0，可得A点坐标为(0，－)，所以S_△OAF＝··＝4，所以a＝±8，故抛物线的方程为y²＝±8x.

7.(2012·山西大学附中第二学期3月考)已知抛物线y²＝4x的焦点为F，准线与x轴的交点为M，N为抛物线上的一点，且满足|NF|＝|MN|，则∠NMF＝ .

解析：过N作NQ⊥准线于Q，则|NQ|＝|NF|.

因为|NF|＝|MN|，

所以|NQ|＝|MN|，

所以cos∠QNM＝＝，所以∠QNM＝，

所以∠NMF＝∠QNM＝.

8.(2012·重庆市七区第一次联考)在平面直角坐标系xOy中，抛物线C的顶点在原点，经过点A(2,2)，其焦点F在x轴上．

(1)求抛物线C的标准方程；

(2)求过点F，且与直线OA垂直的直线的方程．

解析：(1)由题意，可设抛物线C的标准方程为y²＝2px，

因为点A(2,2)在抛物线C上，所以p＝1，

所以抛物线C的标准方程为y²＝2x.

(2)由(1)可得焦点F的坐标为(，0)，

又直线OA的斜率为1，

所以与直线OA垂直的直线的斜率为－1.

所以过点F，且与直线OA垂直的直线的方程为y－0＝－1(x－)，即x＋y－＝0.

9.如图，在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y²＝2px(p>0)上横坐标为4的点到该抛物线的焦点的距离为5.

(1)求抛物线的标准方程；

(2)设点C是抛物线上的动点，若以C为圆心的圆在y轴上截得的弦AB的长为4，求证：圆C过定点．

解析：(1)由抛物线的定义得＋4＝5，则p＝2，

所以抛物线的标准方程为y²＝4x.

(2)证明：设圆心C的坐标为(，y₀)，半径为r.

因为圆C在y轴上截得的弦长为4，

所以r²＝4＋()²，

故圆C的方程为(x－)²＋(y－y₀)²＝4＋()²，

整理得(1－)y－2yy₀＋(x²＋y²－4)＝0，①

对于任意的y₀∈R，方程①均成立．

故有，解得.

所以圆C过定点(2,0)．

1.(2013·山东省高考冲刺预测)设m，n是平面α内的两条不同直线，l₁，l₂是平面β内的两条相交直线，则α∥β的一个充分而不必要条件是( B )

A．m∥β且l₁∥α B．m∥l₁且n∥l₂

C．m∥β且n∥β D．m∥β且n∥l₂

解析：m∥l₁且n∥l₂，m， n?α，l₁，l₂为β内两条相交直线，则可得α∥β；若α∥β，l₁，l₂为β内两条相交直线，则不一定有m∥l₁且n∥l₂，故选B.

2.已知两个不重合的平面α和β，下面给出四个条件：

①α内有无穷多条直线均与平面β平行；

②平面α，β均与平面γ平行；

③平面α，β与平面γ都相交，且其交线平行；

④平面α，β与直线l所成的角相等．

其中能推出α∥β的是( B )

A．① B．②

C．①和③ D．③和④

解析：①中也存在α，β相交的可能，故不正确；②符合平面平行的传递性，故正确；③中平面α，β，γ可能两两相交，故不正确；④中平面α，β也可能相交，故选B.

3.已知m、n是两条不重合的直线，α、β、γ是三个两两不重合的平面，则下列四个命题中真命题的是( C )

A．若m∥α，n∥α，则m∥n

B．若m∥α，m∥n，则n∥α

C．若α∥β，α∩γ＝m，β∩γ＝n，则m∥n

D．若m?α，n?β，m∥n，则α∥β

解析：A中m， n还可能相交、异面，假命题；B中直线n可能在α内，不正确；D中，若m，n都与α，β的交线l平行，满足条件，但α，β可相交，不正确，故选C.

4.如图，正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，E，F分别为棱AB，CC₁的中点，在平面ADD₁A₁内且与平面D₁EF平行的直线( A )

A．有无数条 B．有2条

C．有1条 D．不存在

解析：延长D₁F交DC的延长线于G，连接EG交BC于H，其反向延长线交DA于R，连接FH，D₁R，则平面D₁GR即为D₁EF平面，由平面ADD₁A₁与平面BCC₁B₁平行的性质知FH∥D₁R，因为在平面ADD₁A₁内无数条与D₁R平行的直线，所以这无数条直线与平面D₁EF都平行，故选A.

5.若三个平面把空间分成6个部分，那么这三个平面的位置关系是 三个平面共线，或两个平面平行且都与第三个平面相交 .(写出一种可能的情形即可)

解析：可将三个平面视为三条直线，考虑三条直线分平面为几部分来考虑．

6.已知m、n是不重合的直线，α、β是不重合的平面，有下列命题：

①若m?α，n∥α，则m∥n；

②m∥α，m∥β，则α∥β；

③若α∩β＝n，m∥n，则m∥α且m∥β；

④若m⊥α，m⊥β，则α∥β.

其中正确命题的序号有 ④ .

7.考察下列三个命题，请在“________”处添加一个条件，构成真命题(其中l，m为直线，α、β为平面)，则：

①?l∥α；②?l∥α；③?α∥β.

解析：①②根据直线与平面平行的判定定理知均需要强调直线l在平面外，均添加l?α；③根据两个平面平行的判定定理知须强调两条直线相交，故添加a∩b＝A.

8.如图所示，已知四边形ABCD是平行四边形，点P是平面ABCD外一点，M是PC的中点，在DM上取一点G，过G和AP作平面交平面BDM于GH. 求证：AP∥GH.

证明：如图所示，连接AC.

设AC交BD于O，连接MO.

因为四边形ABCD是平行四边形，所以O是AC的中点．

又因为M是PC的中点，所以MO∥PA.

又因为MO?平面BDM，PA?平面BDM，

所以PA∥平面BDM，

平面BDM∩平面APG＝GH，所以AP∥GH.

9.(原创)如图，ABCD与ADEF为平行四边形，M，N，G分别是AB，AD，EF的中点．

(1)求证：BE∥平面DMF；

(2)求证：平面BDE∥平面MNG.

证明：(1)连接AE，则AE必过DF与GN的交点O，

连接MO，则MO为△ABE的中位线，所以BE∥MO，

又BE?平面EMF，MO?平面DMF，

所以BE∥平面DMF.

(2)因为N，G分别为平行四边形ADEF的边AD，EF的中点，所以DE∥GN，

又DE?平面MNG，GN?平面MNG，

所以DE∥平面MNG.

又M为AB中点，所以MN为△ABD的中位线，

所以BD∥MN，

又MN?平面MNG，BD?平面MNG，

所以BD∥平面MNG，

又DE与BD为平面BDE内的两条相交直线，

所以平面BDE∥平面MNG.