2014届高考数学（理）一轮复习热点针对训练：第13讲《函数模型及其应用》《空间角及其计算》

1.(改编)已知过点P(－4，m＋1)和Q(m－1,6)的直线斜率等于1，那么m的值为( A )

A．1 B．4

C．1或3 D．1或4

解析：由斜率公式得k＝＝1，解得m＝1，故选A.

2.(2012·烟台调研)过两点(0,3)，(2,1)的直线方程为( B )

A．x－y－3＝0 B．x＋y－3＝0

C．x＋y＋3＝0 D．x－y＋3＝0

解析：由两点式得：＝，即x＋y－3＝0，故选B.

3.(2012·海南嘉积中学期末)直线l与直线y＝1，直线x＝7分别交于P，Q两点，PQ的中点为M(1，－1)，则直线l的斜率是( D )

A. B.

C．－ D．－

解析：因为PQ的中点为M(1，－1)，

所以由条件知P(－5,1)，Q(7，－3)，

所以k＝＝－，故选D.

4.已知直线x＝2及x＝4与函数y＝log₂x图象的交点分别为A，B，与函数y＝lg x图象的交点分别为C、D两点，则直线AB与CD( D)

A．相交，且交点在第一象限

B．相交，且交点在第二象限

C．相交，且交点在第四象限

D．相交，且交点在坐标原点

解析：由图象可知直线AB与CD相交，两直线方程分别为AB：y＝x，CD：y＝x，则其交点为坐标原点，故选D.

5.(2012·贵阳模拟)直线l经过点A(1,2)，在x轴上的截距的取值范围是(－3,3)，则其斜率的取值范围是 k＞或k＜－1 .

解析：设直线l的斜率为k，则直线方程为y－2＝k(x－1)，直线在x轴上的截距为1－，令－3＜1－＜3，解不等式可得k＞或k＜－1.

6.(2012·济南模拟)过点(1,3)作直线l，若经过点(a,0)和 (0，b)，且a∈N^*，b∈N^*，则可作出的直线l有 2 条．

解析：由题意＋＝1，所以(a－1)(b－3)＝3，

此方程有两组正整数解或，有2条．

7.我们把平面内与直线垂直的非零向量称为直线的法向量，在平面直线坐标系中，利用求动点轨迹方程的方法，可以求出过点A(－3,4)，且法向量为n＝(1，－2)的直线(点法式)方程为1×(x＋3)＋(－2)×(y－4)＝0，化简得x－2y＋11＝0.类比以上方法，在空间直角坐标系中，经过点A(1, 2,3)且法向量为n＝(－1，－2,1)的平面(点法式)方程为 x＋2y－z－2＝0 (请写出化简后的结果)．

解析：所求方程为(－1)×(x－1)＋(－2)×(y－2)＋1×(z－3)＝0，化简即得x＋2y－z－2＝0.

8.等腰△ABC的顶点为A(－1,2)，又直线AC的斜率为，点B的坐标为(－3,2)，求直线AC、BC及∠A的平分线所在的直线方程．

解析：由点斜式得直线AC的方程为y＝x＋2＋.

因为AB∥x轴，又△ABC是以A为顶点的等腰三角形且直线AC的倾斜角为，

所以直线BC的倾斜角α为或.

①当α＝时，直线BC的方程为y＝x＋2＋.

又∠A的平分线的倾斜角为，

所以∠A的平分线所在直线的方程为y＝－x＋2－.

②当α＝时，直线BC的方程为y＝－x＋2－3.

又∠A的平分线的倾斜角为，

所以∠A的平分线所在直线的方程为y＝x＋2＋.

9.已知两点A(－1,2)，B(m,3)．

(1)求直线AB的方程；

(2)已知实数m∈[－－1，－1]，求直线AB的倾斜角α的取值范围．

解析：(1)当m＝－1时，直线AB的方程为x＝－1；

当m≠－1时，直线AB的方程为y－2＝(x＋1)．

(2)①当m＝－1时，α＝；

②当m≠－1时，m＋1∈[－，0)∪(0，]，

所以k＝∈(－∞，－]∪[，＋∞)，

所以α∈[，)∪(，]．

综合①②知，直线AB的倾斜角α∈[，].

1.某物体一天中的温度T(单位：℃)是时间t(单位：h)的函数：T(t)＝t³－3t＋60(℃)，t＝0表示中午12：00，其后t取值为正，则该物体下午3点时的温度为( B )

A. 8 ℃ B. 78 ℃

C. 112 ℃ D. 18 ℃

解析：据题意，下午3时对应的t＝3，

所以T(3)＝78 ℃，故选B.

2.某旅店有客床100张，各床每天收费10元时可全部额满．若每床每天收费每提高2元，则减少10张客床租出，这样，为了减少投入多获利，每床每天收费应提高( C )

A．2元 B．4元

C．6元 D．8元

解析：设每床每天收费提高2x(x∈N^*)，

则收入y＝(10＋2x)(100－10x)＝20(5＋x)(10－x)，

所以当x＝2或3时，y取最大值．

当x＝2时，y＝1120，当x＝3时，y＝1120.

为满足减少投入要求应在收入相同的条件下多空出床位，故x＝3，故选C.

3.已知某生产厂家的年利润y(单位：万元)与年产量x(单位：万件)的函数关系式为y＝－x³＋81x－234，则使该生产厂家获得最大年利润的年产量为( C )

A．13万件 B．11万件

C．9万件 D．7万件

4.某汽车运输公司，购买了一批豪华大客车投入客运，据市场分析，每辆客车营运的总利润y万元与营运年数x (x∈N^*)的关系式为y＝－x²＋12x－25，则为使其营运年平均利润最大，每辆客车营运年数为( C )

A．2 B．4

C．5 D．6

解析：平均利润＝

＝12－(x＋)

≤12－10＝2，

当且仅当x＝，即x＝5时，等号成立，故选C.

5.1海里约合1852 m，根据这一关系，米数y关于海里x的函数解析式为 y＝1852x(x≥0) .

6.某公司一年购买某种货物400吨，每次都购买x吨，运费为4万元/次，一年的总存储费用为4x万元，要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则x＝ 20 吨．

解析：(方法一)设总费用为y万元，则有

y＝·4＋4x≥2＝160，

当且仅当·4＝4x，即x＝20时，y取最小值．

(方法二)设总费用为y万元，则有

y＝·4＋4x＝＋4x(x>0)，

由y′＝－＋4＝0，得x＝20.

所以当x＝20时，y取最小值．

7.(2013·珠海质检)某种细胞在培养过程中正常情况下，时刻t(单位：分钟)与细胞数n(单位：个)的部分数据如下：

t	0	20	60	140
n	1	2	8	128

根据表中数据，推测繁殖到1000个细胞时的时刻t最接近于 200 分钟．

解析：由表格中所给数据可以得出n与t的函数关系为n＝2，令n＝1000，得2＝1000，又2¹⁰＝1024，所以时刻t最接近200分钟．

8.商场销售某一品牌的羊毛衫，购买人数n是羊毛衫标价x的一次函数，标价越高，购买人数越少．已知标价为每件300元时，购买人数为零．标价为每件225元时，购买人数为75人．若这种羊毛衫的成本价是100元/件，商场以高于成本价的相同价格(标价)出售，问：

(1)商场要获取最大利润，羊毛衫的标价应定为每件多少元？

(2)通常情况下，获取最大利润只是一种“理想结果”，如果商场要获得最大利润的75%，那么羊毛衫的标价为每件多少元？

解析：(1)设购买人数为n人，羊毛衫的标价为每件x元，利润为y元，

则n＝kx＋b(k<0)，

所以，所以，

所以n＝－x＋300.

y＝－(x－300)·(x－100)＝－(x－200)²＋10000，x∈(100,300]，

所以x＝200时，y_max＝10000，

即商场要获取最大利润，羊毛衫的标价应定为每件200元．

(2)由题意得，

－(x－300)·(x－100)＝10000×75%，

所以x²－400x＋30000＝－7500，

所以x²－400x＋37500＝0，

所以(x－250)(x－150)＝0，所以x₁＝250，x₂＝150.

所以当商场以每件150元或250元出售时，可获得最大利润的75%.

9.经市场调查，某城市的一种小商品在过去的近20天内的销售量(件)与价格(元)均为时间t(天)的函数，且销售量近似满足g(t)＝80－2t(件)，价格近似满足f(t)＝20－|t－10|(元)．

(1)试写出该种商品的日销售额y与时间t(0≤t≤20)的函数表达式；

(2)求该种商品的日销售额y的最大值与最小值．

解析：(1)y＝g(t)·f(t)

＝(80－2t)·(20－|t－10|)

＝(40－t)(40－|t－10|)

＝.

(2)当0≤t<10时，y的取值范围是[1200,1225]．

在t＝5时，y取得最大值为1225；

当10≤t≤20时，y的取值范围是[600,1200]，

在t＝20时，y取得最小值为600.

答：第5天，日销售额y取得最大值为1225元，第20天，y取得最小值600元．

1.已知二面角α-l-β的大小为60°，m，n为异面直线，且m⊥α，n⊥β，则m，n所成的角是( B )

A．30° B．60°

C．90° D．120°

2.(2012·东北三省四市教研协作体第二次调研测)已知正四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AA₁＝2AB，E为AA₁的中点，则异面直线BE与CD₁所成的角的余弦值为( C )

A. B.

C. D.

解析：令AB＝1，则AA₁＝2，连接A₁B.因为CD₁∥A₁B，异面直线BE与CD₁所成的角即A₁B与BE所成的角．

在△A₁BE中，由余弦定理易得cos ∠A₁BE＝，故选C.

3.如果平面的一条斜线和它在这个平面上的射影的方向向量分别是a＝(0,2,1)，b＝(，，)，那么这条斜线与平面的夹角是( D )

A．90° B．60°

C．45° D．30°

解析：cos θ＝＝，因此a与b的夹角为30°.

4.(2013·河北省普通高中质量检测)三棱锥P-ABC的两侧面PAB、PBC都是边长为2a的正三角形，AC＝a，则二面角A-PB-C的大小为( D )

A．90° B．30°

C．45° D．60°

解析：取PB的中点为M，连接AM，CM，则AM⊥PB，CM⊥PB，所以∠AMC为二面角A-PB-C的平面角．在等边△PAB与等边△PBC中知AM＝CM＝a，即△AMC为正三角形，所以∠AMC＝60°，故选D.

5.(2012·江西省吉安市二模)已知正六棱锥的底面边长为1，体积为，其侧棱与底面所成的角等于 .

解析：设正六棱锥的高为h，侧棱与底面所成的角为θ，

则×6××1²×h＝，解得h＝，

于是tan θ＝，故θ＝.

6.(2012·福建省福州市3月质检)已知三棱锥底面是边长为1的等边三角形，侧棱长均为2，则侧棱与底面所成角的余弦值为( D )

A. B.

C. D.

解析：由题意知该三棱锥是正三棱锥，如图，故顶点S在底面上的射影是底面正三角形的中心O，则AO＝×＝，所以cos ∠SAO＝＝＝，故选D.

7.(2012·海南海口4月检测)正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，二面角A-BD₁-B₁的大小为 120° .

解析：以D为坐标原点建立空间直角坐标系，如图．

设A(1,0,0)，则D₁(0,0,1)，B(1,1,0)，B₁(1,1,1)，C(0,1,0)，

则＝(－1,1,0)为平面BB₁D₁的一个法向量，

设n＝(x，y，z)为平面ABD₁的一个法向量，

则n·＝0，n·＝0，

又＝(－1,0,1) ，＝(0,1,0)，

所以，所以，

令x＝1，则z＝1，所以n＝(1,0,1)，

所以cos〈，n〉＝＝＝－，

所以〈，n〉＝120°，

故二面角A-BD₁-B₁的大小为120°.

8.如图所示，正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，E、F分别是正方形ADD₁A₁和ABCD的中心，G是CC₁的中点．设GF、C₁E与AB所成的角分别为α，β，求α＋β.

解析：建立空间直角坐标系如图．设正方体的棱长为2.

则B(2,0,0)，A(2, 2,0)，G(0,0,1)，F(1,1,0)，C₁(0,0,2)，E(1,2,1)．

则＝(0,2,0)，＝(1,1，－1)，＝(1,2，－1)，

所以cos 〈，〉＝，cos 〈，〉＝，

所以cos α＝，cos β＝，sin β＝，

所以α＋β＝90°.

9.(2013·广东省高州市二模)已知△ABC和△DBC所在的平面互相垂直，且AB＝BC＝BD，∠CBA＝∠DBC＝120°，求：

(1)直线AD与平面BCD所成角的大小；

(2)二面角A-BD-C的余弦值．

解析：(1)如图，在平面ABC内，过A作AH⊥BC，垂足为H，则AH⊥平面DBC，

所以∠ADH即为直线AD与平面BCD所成的角，

由题设知△AHB≌△AHD，

则DH⊥BH，AH＝DH，所以∠ADH＝45°.

所以直线AD与平面BCD所成的角为45°.

(2)过H作HR⊥BD，垂足为R，连接AR，

则由AH⊥平面BCD，

所以AH⊥BD，AH∩HR＝H，

所以BD⊥平面AHR，所以BD⊥AR.

故∠ARH为二面角A-BD-C的平面角的补角，

设BC＝a，则由题设知，AH＝DH＝a，BH＝.

在△HDB中，HR＝a，

所以tan ∠ARH＝＝2，

故二面角A-BD-C的余弦值的大小为－.

1.如图所示，函数图象与x轴均有公共点，但不能用二分法求公共点横坐标的是( B )

解析：由二分法定义可知选B.

2.(2012·三明市高三上学期联考)函数f(x)＝3^x－log₂(－x)的零点所在区间是( B )

A．(－，－2) B．(－2，－1)

C．(1,2) D．(2,5)

解析：因为f(－2)＝3^－2－log₂2＝－<0，f(－1)＝3^－1－log₂1＝>0，即f(－2)f(－1)<0，故选B.

3.(改编)函数f(x)＝(x²－1)cos 2x在区间[0,2π]上的零点个数为( B )

A．6 B．5

C．4 D．3

解析：由f(x)＝(x²－1)cos 2x＝0，得x²－1＝0或cos 2x＝0.

由x²－1＝0，得x＝1或x＝－1(舍去)．

由cos 2x＝0，得2x＝kπ＋(k∈Z)，故x＝＋(k∈Z)．

又因为x∈[0,2π]，所以x＝，，，.

所以零点的个数为1＋4＝5个，故选B.

4.(2012·山东省5月冲刺)a是f(x)＝2^x－logx的零点，若0<<I>x₀<<I>a，则f(x₀)的值满足( B )

A．f(x₀)＝0 B．f(x₀)<0

C．f(x₀)>0 D．f(x₀)的符号不确定

解析：函数f(x)＝2^x＋log₂x在(0，＋∞)上是单调递增的，这个函数有零点，则这个零点是唯一的，根据函数f(x)是单调递增的，所以在(0，a)上，函数f(x)的函数值小于零，即f(x₀)<0.

5.某同学在求方程lgx＝2－x的近似解(精确到0.1)时，设f(x)＝lgx＋x－2，发现f(1)<0，f(2)>0，他用“二分法”又取了4个值，通过计算得到方程的近似解为x≈1.8，那么他所取的4个值中的第二个值为 1.75 .

解析：按照“二分法”又取的第一个值是1.5，第二值是1.5与2的中间值1.75.

6.(2012·福建莆田市3月质量检查)函数f(x)＝所有零点的和等于 0 .

解析：当x＜0时，()^x－2＝0，解得x＝－1；

当x≥0时，x－1＝0，得x＝1，所以所有零点之和为0.

7.(2012·浙江省重点中学协作体高三第二学期4月联考)函数f(x)＝，则函数y＝f[f(x)]＋1的所有零点所构成的集合为 {－3，，，－} .

解析：由y＝f[f(x)]＋1＝0，得f(x)＝－2或f(x)＝，于是x＝－3或或或－，经验证它们都是函数f(x)的零点，所以所有零点所构成的集合为{－3，，，－}．

8.已知函数f(x)＝2(m－1)x²－4mx＋2m－1.

(1)m为何值时，函数图象与x轴只有一个公共点．

(2)如果函数的一个零点在原点，求m的值．

解析：(1)由条件知当m＝1时，函数f(x)＝－4x＋1与x轴只有一个交点，满足条件；

当m≠1时，Δ＝(－4m)²－8(m－1)(2m－1)＝0，解得m＝.

综上知，当m＝1或时，函数f(x)的图象与x轴只有一个公共点．

(2)函数的一个零点在原点，即x＝0为f(x)＝0的一个根，

所以有2(m－1)×0²－4m·0＋2m－1＝0，解得m＝.

9.证明：方程x²－x－3＝0在[－2,3]上恰有两个实数解．

证明：设f(x)＝x²－x－3＝(x－)²－，

由于f(－2)＝f(3)＝3>0，f()＝－<0，

因此函数f(x)在[－2，]，[，3]内至少有一个零点．

又因为函数f(x)在区间[－2，]上单调递减，在区间[，3]上单调递增，

故函数f(x)在[－2，]，[，3]上都只有一个零点，

从而函数f(x)在[－2,3]上恰有两个零点，

即方程x²－x－3＝0在[－2,3]上恰有两个实数解．