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孙恒芳教你学物理---圆周运动的动力学问题
【考点解析】
一、向心力
1、定义：做圆周运动的物体所受的指向圆心的力．
2、作用效果：产生向心加速度，以不断改变物体的线速度方向，维持物体做圆周运动,不改变线速度的大小，是效果力．
3、大小： ．
4、方向：向心力总是沿半径指向圆心，大小保持不变，是变力．
二、向心力的来源
向心力是作圆周运动的物体所受外力在向心方向上的合力．
匀速圆周运动的向心力，就是物体所受的合外力．
向心力可以是重力、弹力、摩擦力等各种力，也可以是各力的合力或某力的分力，总之，只要达到维持物体做圆周运动效果的力，就是向心力．向心力足按力的作用效果来命名的．对各种情况下向心力的来源应明确．如：水平圆盘上跟随圆盘一起匀速转动的物体(右图(a))和水平地面上匀速转弯的汽车，其摩擦力是向心力；圆锥摆(右图(b))和以规定速率转弯的火车．向心力是重力与弹力的合力．
三、圆周运动中向心力分析
1、匀速圆周运动：物体做匀速圆周运动时受到的外力的合力就是向心力，向心力大小不变，方向始终与速度方向垂直且指向圆心，这是物体做匀速圆周运动的条件．
2、变速圆周运动：在变速圆周运动中，合外力不仅大小随时间改变，其方向也不沿半径指向圆心．合外力沿半径方向的分力(或所有外力沿半径方向的分力的矢量和)提供向心力，使物体产生向心加速度，改变速度的方向．合外力沿轨道切线方向的分力，使物体产生切向加速度，改变速度的大小．
四、圆周运动的动力学问题
1、圆周运动中的动力学方程
圆周运动动力学方程即将牛顿第二定律应用于圆周运动．(F＝ma )．
将牛顿第二定律F＝ma于匀速圆周运动，F就是向心力，a就是向心加速度．
即得：．
2．应用步骤：
⑴．确定研究对象；确定轨道平面和圆心位置从而确定向心力的方向．
⑵．选定向心力方向为正方向．
⑶．受力分析(不要把向心力作为某一性质的力进行分析)．
⑷．由牛顿第二定律列方程．
⑸．求解并说明结果的物理意义．
3．处理圆周运动的动力学问题时，在明确研究对象以后，首先要注意两个问题：
⑴确定研究对象运动的轨道平面和圆心的位置，以便确定向心力的方向． 例如，沿半球形碗的光滑内表面，一小球在水平面上做匀速圆周运动，如图所示．小球做圆周运动的圆心在与小球同一水平面上的O′点，不在球心O，也不在弹力FN所指的PO线上．
⑵向心力是根据力的效果命名的．在分析做圆周运动的质点受力情况时，切不可在物体的相互作用力（重力、弹力、摩擦力等）以外再添加一个向心力．
五、离心运动和向心运动
1．离心运动
(1)定义：做圆周运动的物体，在所受合外力突然消失或不足以提供圆周运动所需向心力的情况下，就做逐渐远离圆心的运动．
(2)本质：做圆周运动的物体，由于本身的惯性，总有沿着圆周切线方向飞出去的倾向．
(3)受力特点：
当F＝mrω2时，物体做匀速圆周运动；
当F＝0时，物体沿切线方向飞出；
当F<mrω2时，物体逐渐远离圆心，F为实际提供的向心力，如右图所示．
(4)离心运动的应用和危害：
利用离心运动制成离心机械．如：离心干燥器、洗衣机的脱水筒等．
汽车、火车转弯处，为防止离心运动造成的危害，一是限定汽车和火车的转弯速度不能太大；二是把路面筑成外高内低的斜坡以增大向心力．
2．向心运动
当提供向心力的合外力大于做圆周运动所需向心力时，即F>mrω2，物体渐渐向圆心靠近，如右上图所示．
特别提示：物体做离心运动不是物体受到所谓离心力作用，而是物体惯性的表现，物体做离心运动时，并非沿半径方向飞出，而是运动半径越来越大或沿切线方向飞出．
【重点精析】
重点一、圆周运动中向心力的来源分析
向心力是按力的效果命名的，它可以是做圆周运动的物体受到的某一个力或是几个力的合力或是某一个力的分力，要视具体问题而定。
向心力可以是重力、弹力、摩擦力等各种力，也可以是某些力的合力，或某力的分力。它是按力的作用效果来命名的。分析物体做圆周运动的动力学问题，应首先明确向心力的来源.需要指出的是：物体做匀速圆周运动时，向心力才是物体受到的合外力.物体做非匀速圆周运动时，向心力是合外力沿半径方向的分力(或所有外力沿半径方向的分力的矢量和)。
【例1】如图所示，物块在水平圆盘上，与圆盘一起绕固定轴匀速运动，下列说法中正确的是( )
A．物块处于平衡状态
B．物块受三个力作用
C．在角速度一定时，物块到转轴的距离越远，物块越不容易脱离圆盘
D．在物块到转轴距离一定时，物块运动周期越小，越不容易脱离圆盘
【解析】对物块受力分析可知，物块受竖直向下的重力、垂直圆盘向上的支持力及指向圆心的摩擦力共三个力作用，合力提供向心力，A错，B正确．根据向心力公式F＝mrω2可知，当ω一定时，半径越大，所需的向心力越大，越容易脱离圆盘；根据向心力公式F＝mr(2πT)2可知，当物块到转轴距离一定时，周期越小，所需向心力越大，越容易脱离圆盘，C、D错误．
【思维提升】1、做匀速圆周运动的物体，受到的合外力的方向一定沿半径指向圆心(向心力)，大小一定等于mv2/r。
2、做变速圆周运动的物体，受到的合外力沿半径指向圆心方向的分力提供向心力，大小等于mv2/r；沿切线方向的分力产生切向加速度，改变物体的速度的大小。
【变式练习1】如图所示
，某同学用硬塑料管和一个质量为m的铁质螺丝帽研究匀速圆周运动，将螺丝帽套在塑料管上，手握塑料管使其保持竖直并沿水平方向做半径为r的匀速圆周运动，则只要运动角速度大小合适，螺丝帽恰好不下滑．假设螺丝帽与塑料管间的动摩擦因数为μ，认为最大静摩擦力近似等于滑动摩擦力．则在该同学手转动塑料管使螺丝帽恰好不下滑时，下述分析正确的是( )
A．螺丝帽受的重力与最大静摩擦力平衡
B．螺丝帽受到杆的弹力方向水平向外，背离圆心
C．此时手转动塑料管的角速度ω＝ mgμr
D．若杆的转动加快，螺丝帽有可能相对杆发生运动
【解析】由于螺丝帽做圆周运动过程中恰好不下滑，则竖直方向上重力与最大静摩擦力平衡，杆对螺丝帽的弹力提供其做匀速圆周运动的向心力，有mg＝Ff＝μFN＝μmω2r，得ω＝
gμr，选项A正确、B、C错误；杆的转动速度增大时，杆对螺丝帽的弹力增大，最大静摩擦力也增大，螺丝帽不可能相对杆发生运动，故选项D错误．
【答案】A
【变式练习2】如图A、B、C三个物体放在旋转圆台上，它们与圆台间动摩擦因数都相同，A的质量为2m，B、C质量均为m，A、B离轴R，C离轴2R，则当圆台旋转时，设A、B、C都没有滑动（
）
A．C物体受到的静摩擦力比A大
B．B物体受到的静摩擦力最小
C．若圆台转动角速度逐渐增加时，A和C同时开始滑动
D．若圆台转动角速度逐渐增加时，C最先开始滑动
【解析】物块与圆盘之间静摩擦力提供向心力Ff=mω2r，而ω相同，A的质量为2m，B、C质量均为m，A、B离轴R，C离轴2R，所以，A、C所受静摩擦力一样大，B最小。要使物体与盘面间不发生相对滑动，最大静摩擦力提供向心力kmg=mωm2r有则物体C先滑动。故答案应选BD。
重点二、圆周运动的动力学问题
解决有关圆周运动的动力学问题，首先要正确对做圆周运动的物体进行受力分析，必要时建立坐标系，求出物体沿半径方向的合外力，即物体做圆周运动时所能提供的向心力，再根据牛顿第二定律等规律列方程求解.
【例2】质量为m的物体沿着半径为r的半球形金属球壳滑到最低点时的速度大小为v，如图所示，若物体与球壳之间的动摩擦因数为μ，则物体在最低点时( )
A．向心加速度为
B．向心力为m(g＋ )
C．对球壳的压力为
D．受到的摩擦力为μm(g＋ )
【解析】物体在最低点沿半径方向受重力、球壳对物体的支持力，两力的合力提供物体做圆周运动在此位置的向心力，由牛顿第二定律有FN－mg＝，物体的向心加速度为
，向心力为 ，物体对球壳的压力为m(g＋ )，在沿速度方向，物体受滑动摩擦力，有F＝μFN＝μm(g＋
)，综上所述，选项A、D正确．
【答案】AD
【思维提升】匀速圆周运动动力学规律是物体所受合外力提供向心力，即F合＝F向，或
F合＝m ＝mω2r＝m ．这一关系是解答匀速圆周运动的关键规律．
【变式练习3】有一种叫“飞椅”的游乐项目，示意图如图所示，长为L的钢绳一端系着座椅，另一端固定在半径为r的水平转盘边缘，转盘可绕穿过其中心的竖直轴转动．当转盘以角速度ω匀速转动时，钢绳与转轴在同一竖直平面内，与竖直方向的夹角为θ，不计钢绳的重力，求转盘转动的角速度ω与夹角θ的关系．
【解析】设座椅的质量为m，匀速转动时，座椅的运动半径为
R=r+Lsinθ
①
受力分析如右图，由牛顿第二定律，有
F合＝mgtanθ
②
F合＝mω2R
③
联立①②③，得转盘角速度ω与夹角θ的关系
ω＝ gtanθr＋Lsinθ.
【答案】ω＝ gtanθr＋Lsinθ
重点三、火车转弯问题
在火车转弯处，让外轨高于内轨，如右图所示，转弯时所需向心力由重力和弹力的合力提供．
设车轨间距为L，两轨高度差为h，车转弯半径为R，质量为M的火车运行时应当有多大的速度？
据三角形边角关系知sin θ＝hL，对火车的受力情况分析得tan θ＝F合Mg．
因为θ角很小，所以sin θ＝tan θ，故hL＝F合Mg，所以向心力F合＝hLMg．
又因为F合＝Mv2/R，所以车速v＝ghRL．
由于铁轨建成后h、L、R各量是确定的，故火车转弯时的车速应是一个定值，否则将对铁轨有不利影响，如：
情况 v车>ghRL
v车< ghRL
合力F与F向的关系 F<F向 F>F向
不利影响 火车挤压外轨 火车挤压内轨
结果 外轨对车轮的弹力补充向心力 内轨对车轮的弹力抵消部分合力
【例3】铁路转弯处的弯道半径r是根据地形决定的，弯道处要求外轨比内轨高，其内外高度差h的设计不仅与r有关，还取决于火车在弯道上行驶的速率.下表中是铁路设计人员技术手册中弯道半径r及与之相对应的轨道的高度差h.
弯道半径r(m) 660 330 220 165 132 110
内外轨高度差h(m) 0.05 0.10 0.15 0.20 0.25 0.30
(1)根据表中数据，试导出h与r关系的表达式，并求出当r＝440 m时，h的设计值.
(2)铁路建成后，火车通过弯道时，为保证绝对安全，要求内外轨道均不向车轮施加侧向压力，又已知我国铁路内外轨的距离设计值L＝1.435
m，结合表中数据，求出我国火车的转弯速率v.(路轨倾角α很小时，可认为tan α＝sin α)
【解析】(1)分析表中数据可得，每组的h与r之乘积均等于常数C＝660×50×10－3 m＝33 m2，因此h·r＝33(或h＝
)
当r＝440 m时，有h＝ m＝0.075 m＝75 mm
(2)转弯中，当内外轨对车轮均没有侧向压力时，火车的受力如图所示.
由牛顿第二定律得mgtan α＝m
①
因为α很小，有tan α＝sin α＝
②
由①②可得v＝
代入数据解得v＝15 m/s＝54 km/h
【变式练习4】随着经济的持续发展，人民生活水平的不断提高，近年来我国私家车数量快速增长，高级和一级公路的建设也正加速进行．为了防止在公路弯道部分由于行车速度过大而发生侧滑，常将弯道部分设计成外高内低的斜面．如果某品牌汽车的质量为m，汽车行驶时弯道部分的半径为r，汽车轮胎与路面的动摩擦因数为μ，路面设计的倾角为θ，如图所示．(重力加速度g取10
m/s2)
(1)为使汽车转弯时不打滑，汽车行驶的最大速度是多少？
(2)若取sinθ＝120，r＝60 m，汽车轮胎与雨雪路面的动摩擦因数为μ＝0.3，则弯道部分汽车行驶的最大速度是多少？
【解析】(1)受力分析如图所示，
竖直方向：FNcosθ=mg+Ffsinθ；
水平方向：FNsinθ+Ffcosθ=m ，
又Ff=μFN，
可得v= .
(2)代入数据可得：v=14.6 m/s.
【答案】(1) ；(2)14.6 m/s
重点四、关于离心运动的问题
物体做离心运动的轨迹可能为直线或曲线．半径不变时物体做圆周运动所需的向心力是与角速度的平方(或线速度的平方)成正比的．若物体的角速度增加了，而向心力没有相应地增大，物体到圆心的距离就不能维持不变，而要逐渐增大使物体沿螺线远离圆心．若物体所受的向心力突然消失，将沿着切线方向远离圆心而去．
【例4】物体做离心运动时，运动轨迹( )
A．一定是直线
B．一定是曲线
C．可能是直线，也可能是曲线
D．可能是圆
【解析】一个做匀速圆周运动的物体，当它所受的向心力突然消失时，物体将沿切线方向做直线运动，当它所受向心力逐渐减小时，则提供的向心力比所需要的向心力小，物体做圆周运动的轨道半径会越来越大，物体的运动轨迹是曲线.
【答案】C
【思维提升】理解离心运动的特点是解决本题的前提.
【变式练习5】质量为M＝1 000 kg的汽车，在半径为R＝25
m的水平圆形路面转弯，汽车所受的静摩擦力提供转弯的向心力，静摩擦力的最大值为重力的0.4倍．为了避免汽车发生离心运动酿成事故，试求汽车安全行驶的速度范围．(取g＝10
m/s2)
【解析】汽车所受的静摩擦力提供向心力，为了保证汽车行驶安全，根据牛顿第二定律，依题意有kMg≥M ，代入数据可求得v≤10
m/s
【同步作业】
1．下列关于离心现象的说法中正确的是( )
A．当物体所受的离心力大于向心力时产生离心现象
B．做匀速圆周运动的物体，当它所受的一切力都消失时，它将做背离圆心的圆周运动
C．做匀速圆周运动的物体，当它所受的一切力都突然消失时，它将沿切线做直线运动
D．做匀速圆周运动的物体，当它所受的一切力都突然消失时，它将做曲线运动
答案：C
6．如图所示，质量为m的小球置于正方体的光滑盒子中，盒子的边长略大于球的直径．某同学拿着该盒子在竖直平面内做半径为R的匀速圆周运动，已知重力加速度为g，空气阻力不计，要使在最高点时盒子与小球之间恰好无作用力，则( )
A．该盒子做匀速圆周运动的周期一定小于2π Rg
B．该盒子做匀速圆周运动的周期一定等于2π Rg
C．盒子在最低点时盒子与小球之间的作用力大小可能小于2mg
D．盒子在最低点时盒子与小球之间的作用力大小可能大于2mg
解析：在最高点时，盒子与小球之间恰好无作用力．
则mg＝m4π2RT2＝mv2/R，解得：T＝2π Rg，
v＝gR.
在最低点时，FN－mg＝mv2/R.解得：FN＝2mg
由此看出B项正确．
3．如图所示，将完全相同的两小球A、B用长为L＝0.8 m的细绳悬于以v＝4
m/s向右运动的小车顶部，两小球与小车前后竖直壁接触，由于某种原因，小车突然停止，此时悬线中张力之比FB∶FA为(g＝10
m/s2)( )
A．1∶1 B．1∶2
C．1∶3 D．1∶4
解析：当车突然停下时，B不动，绳对B的拉力仍等于小球的重力；A向右摆动做圆周运动，则突然停止时，A点所处的位置为圆周运动的最低点，由此可以算出此时绳对A的拉力为FA＝mg＋mv2L＝3mg，所以FB∶FA＝1∶3，C正确．答案：C
5．在光滑的圆锥漏斗的内壁，两个质量相同的小球A和B，分别紧贴着漏斗在水平面内做匀速圆周运动，其中小球A的位置在小球B的上方，如图所示．下列判断正确的是( )
A．A球的速率大于B球的速率
B．A球的角速度大于B球的角速度
C．A球对漏斗壁的压力大于B球对漏斗壁的压力
D．A球的转动周期大于B球的转动周期
解析：此题涉及物理量较多，当比较多个量中两个量的关系时，必须抓住不变量，而后才能比较变量．先对A、B两球进行受力分析，两球均只受重力和漏斗给的支持力FN.如图6所示，对A球据牛顿第二定律：
FNAsinα＝mg①
FNAcosα＝mvA2rA＝mωA2rA②
对B球据牛顿第二定律：
FNBsinα＝mg③
FNBcosα＝mvB2rB＝mωB2rB④
由两球质量相等可得FNA＝FNB，C项错．
由②④可知，两球所受向心力相等．
mvA2rA＝mvB2rB，因为rA>rB，所以vA>vB，A项正确．
mωA2rA＝mωB2rB，因为rA>rB，所以ωA<ωB，B项错误．
又因为ω＝2πT，所以TA>TB，D项是正确的．答案：AD
8．质量为m的石块从半径为R的半球形的碗口下滑到碗的最低点的过程中，如果摩擦力的作用使得石块的速度大小不变，如图所示，那么( )
A．因为速率不变，所以石块的加速度为零
B．石块下滑过程中受的合外力越来越大
C．石块下滑过程中受的摩擦力大小不变
D．石块下滑过程中的加速度大小不变，方向始终指向球心
解析：由于石块做匀速圆周运动，只存在向心加速度，大小不变，方向始终指向球心，D对，A错；由F合＝F向＝ma向知合外力大小不变，B错；又因石块在运动方向(切线方向)上合力为零，才能保证速率不变，在该方向重力的分力不断减小，所以摩擦力不断减小，C错．答案：D
2．如图所示，OO′为竖直轴，MN为固定在OO′上的水平光滑杆，有两个质量相同的金属球A、B套在水平杆上，AC和BC为抗拉能力相同的两根细线，C端固定在转轴OO′上．当绳拉直时，A、B两球转动半径之比恒为2∶1，当转轴的角速度逐渐增大时
( )
A．AC先断
B．BC先断
C．两线同时断
D．不能确定哪段线先断
解析：A受重力、支持力、拉力FA三个力作用，拉力的分力提供向心力，得：水平方向：FAcosα＝mrAω2，
同理，对B：FBcosβ＝mrBω2，
由几何关系，可知cosα＝rAAC，cosβ＝rBBC.
所以：FAFB＝rAcosβrBcosα＝rArBBCrBrAAC＝ACBC.
由于AC>BC，所以FA>FB，即绳AC先断．答案：A
2．下图是摩托车比赛转弯时的情形．转弯处路面常是外高内低，摩托车转弯有一个最大安全速度，若超过此速度，摩托车将发生滑动．对于摩托车滑动的问题，下列论述正确的是( )
A．摩托车一直受到沿半径方向向外的离心力作用
B．摩托车所受外力的合力小于所需的向心力
C．摩托车将沿其线速度的方向沿直线滑去
D．摩托车将沿其半径方向沿直线滑去
解析：本题考查圆周运动的规律和离心现象．摩托车只受重力、地面支持力和地面的摩擦力作用，没有离心力，A项错误；摩托车正确转弯时可看做是做匀速圆周运动，所受的合力等于向心力，如果向外滑动，说明提供的向心力即合力小于需要的向心力，B项正确；摩托车将在沿线速度方向与半径向外的方向之间做离心曲线运动，C、D项错误．答案：B
5.2008年4月28日凌晨，山东境内发生两列列车相撞事故，造成了大量人员伤亡和财产损失．引发事故的主要原因是其中一列列车转弯时超速行驶．如右图所示，是一种新型高速列车，当它转弯时，车厢会自动倾斜，提供转弯需要的向心力；假设这种新型列车以360
km/h的速度在水平面内转弯，弯道半径为1.5 km，则质量为 75 kg的乘客在列车转弯过程中所受到的合外力为( )
A．500
N
B．1 000 N
C．5002N
D．0
解析：360 km/h＝100 m/s，乘客在列车转弯过程中所受的合外力提供向心力F＝mv2r＝75×10021.5×103N＝500
N.答案：A
6.2010年2月16日，在加拿大城市温哥华举行的第二十一届冬奥会花样滑冰双人自由滑比赛落下帷幕，中国选手申雪、赵宏博获得冠军．如右图所示，如果赵宏博以自己为转动轴拉着申雪做匀速圆周运动．若赵宏博的转速为30
r/min，手臂与竖直方向夹角为60°，申雪的质量是50 kg，她触地冰鞋的线速度为4.7
m/s，则下列说法正确的是( )
A．申雪做圆周运动的角速度为π rad/s
B．申雪触地冰鞋做圆周运动的半径约为2 m
C．赵宏博手臂拉力约是850 N
D．赵宏博手臂拉力约是500 N
解析：申雪做圆周运动的角速度即赵宏博转动的角速度．则ω＝30r/min＝30×2π/60
rad/s＝πrad/s，由v＝ωr得：r＝1.5 m，A正确，B错误；由Fcos30°＝mrω2解得F＝850
N，C正确，D错误．答案：AC
8．汽车甲和汽车乙质量相等，以相等速率沿同一水平弯道做匀速圆周运动，甲车在乙车的外侧．两车沿半径方向受到的摩擦力分别为Ff甲和Ff乙．以下说法正确的是( )
A．Ff甲小于Ff乙
B．Ff甲等于Ff乙
C．Ff甲大于Ff乙
D．Ff甲和Ff乙大小均与汽车速率无关
解析：本题重点考查的是匀速圆周运动中向心力的知识．根据题中的条件可知，两车在水平面做匀速圆周运动，则地面对车的摩擦力来提供其做圆周运动的向心力，则F向＝Ff，又有向心力的表达式F向＝mv2r，因为两车的质量相同，两车运行的速率相同，因此轨道半径大的车的向心力小，即摩擦力小，A正确．答案：A
9．如右图所示，某游乐场有一水上转台，可在水平面内匀速转动，沿半径方向面对面手拉手坐着甲、乙两个小孩，假设两小孩的质量相等，他们与盘间的动摩擦因数相同，当圆盘转速加快到两小孩刚好还未发生滑动时，某一时刻两小孩突然松手，则两小孩的运动情况是( )
A．两小孩均沿切线方向滑出后落入水中
B．两小孩均沿半径方向滑出后落入水中
C．两小孩仍随圆盘一起做匀速圆周运动，不会发生滑动而落入水中
D．甲仍随圆盘一起做匀速圆周运动，乙发生滑动最终落入水中
解析： 在松手前，甲、乙两小孩做圆周运动的向心力均由静摩擦力及拉力的合力提供的，且静摩擦力均达到了最大静摩擦力．因为这两个小孩在同一个圆盘上转动，故角速度ω相同，设此时手中的拉力为FT，则对甲：Ffm－FT＝mω2R甲．对乙：FT＋Ffm＝mω2R乙，当松手时，FT＝0，乙所受的最大静摩擦力小于所需要的向心力，故乙做离心运动，然后落入水中．甲所受的静摩擦力变小，直至与它所需要的向心力相等，故甲仍随圆盘一起做匀速圆周运动，选项D正确．答案： D
1．如图所示，天车下吊着两个质量都是m的工件A和B，系A的吊绳较短，系B的吊绳较长．若天车运动到P处突然停止，则两吊绳所受的拉力FA和FB的大小关系为( )
A．FA>FB
B．FA<FB
C．FA＝FB＝mg
D．FA＝FB>mg
解析：天车运动到P处突然停止后，A、B各以天车上的悬点为圆心做圆周运动，线速度相同而半径不同，由F－mg＝mv2L，得：F＝mg＋mv2L，因为m相等，v相等，而LA<LB，所以FA>FB，A选项正确．答案：A
7．如图所示，在双人花样滑冰运动中，有时会看到被男运动员拉着的女运动员离开地面在空中做圆锥摆运动的精彩场面，目测体重为G的女运动员做圆锥摆运动时和水平冰面的夹角约为30°，重力加速度为g，估算该女运动员( )
A．受到的拉力为3G
B．受到的拉力为2G
C．向心加速度为3g
D．向心加速度为2g
解析：设女运动员受到的拉力大小为F，分析女运动员受力情况可知，Fsin30°＝G，
Fcos30°＝ma向，可得：F＝2G，a向＝3g，故B、C正确．答案：BC
8．甲、乙两名溜冰运动员，面对面拉着弹簧测力计做圆周运动，如图所示．已知M甲＝80kg，M乙＝40kg，两人相距0.9m，弹簧测力计的示数为96N，下列判断中正确的是
( )
A．两人的线速度相同，约为40m/s
B．两人的角速度相同，为2rad/s
C．两人的运动半径相同，都是0.45m
D．两人的运动半径不同，甲为0.3m，乙为0.6m
解析：两人旋转一周的时间相同，故两人的角速度相同，两人做圆周运动所需的向
心力相同，由F＝mω2r可知，旋转半径满足：r甲∶r乙＝M乙∶M甲＝1∶2，
又r甲＋r乙＝0.9 m，
则r甲＝0.3 m，r乙＝0.6 m.
两人的角速度相同，则v甲∶v乙＝1∶2.
由F＝M甲ω2r甲可得ω＝2 rad/s.故选项B、D正确．答案：BD
6．铁路转弯处的弯道半径r是根据地形决定的．弯道处要求外轨比内轨高，其内外轨高度差h的设计不仅与r有关，还与火车在弯道上的行驶速率v有关．下列说法正确的是( )
A．v一定时，r越小则要求h越大
B．v一定时，r越大则要求h越大
C．r一定时，v越小则要求h越大
D．r一定时，v越大则要求h越大
解析：设轨道平面与水平方向的夹角为θ，由mgtanθ＝mv2r，得tanθ＝v2gr.可见v一定时，r越大，tanθ越小，内外轨道的高度差h越小，故A正确，B错误；当r一定时，v越大，tanθ越大，内外轨道的高度差越大，故C错误，D正确．答案：AD
11．(2010·全国Ⅰ卷)如图甲是利用激光测转速的原理示意图，图中圆盘可绕固定轴转动，盘边缘侧面上有一小段涂有很薄的反光材料．当盘转到某一位置时，接收器可以接收到反光涂层所反射的激光束，并将所收到的光信号转变成电信号，在示波器显示屏上显示出来(如图乙所示)．
(1)若图乙中示波器显示屏上横向的每大格(5小格)对应的时间为5.00×10－2s，则圆盘的转速为____________转/s.(保留3位有效数字)
(2)若测得圆盘直径为10.20 cm，则可求得圆盘侧面反光涂层的长度为________cm.(保留3位有效数字)
解析： (1)从图乙可知圆盘转一圈的时间在横坐标上显示22格，由题意知图乙中横坐标上每小格表示1.00×10－2
s，所以圆盘转动的周期是0.22 s，则转速为4.55 转/s.
(2)反光引起的电流图象在图乙中的横坐标上每次一小格，说明反光涂层的长度占圆盘周长的122，为2πr22＝3.14×10.2022
cm＝1.46 cm.
答案： (1)4.55 (2)1.46
9．如图用细线吊着一个小球，使小球在水平面内做半径为R的匀速圆周运动；圆周运动的水平面与悬点的距离为h，与水平地面的距离为H.若细线突然在A处断裂，求小球在地面上的落点P与A的水平距离．
解析：设小球在水平面内做半径为R的匀速圆周运动的速度为v
根据F向＝mv2R有
mgtanθ＝mgRh＝mv2R
则v＝Rgh
若细线突然在A处断裂，小球以速度v做平抛运动，在地面上落点P的位置与A处的切线在同一竖直平面上，设与A处的水平距离为x；则有
H＝12gt2 x＝vt
解得x＝R 2Hh.
答案：R 2Hh
11．在光滑的水平面上，用一根轻绳系着一个质量为3 kg的小球以10 m/s的速度绕O点做匀速圆周运动，半径为4
m，若运动到A点，突然将绳再放长4 m，绳绷紧后小球转入到另一轨道上做匀速圆周运动．求：
(1)小球从放绳开始到运动到O点另一侧与AO两点共线的B点所用的时间；
(2)在B点绳子所受到的拉力．
解析：(1)小球做匀速圆周运动，突然放绳则小球以原有的速度做匀速直线运动到C，在C点绳突然拉直，则x＝8
m，沿绳方向的速度vy突变为0，而小球将以vx做匀速圆周运动，到达B点．
由几何关系可知：
s1＝AC＝OC2－OA2＝43 m
∠AOC＝60°＝π/3，t1＝s1v＝4310 s
θ＝∠BOC＝120°＝2π/3
在C点，由矢量三角形可知：
vx＝vcos60°＝v/2＝5 m/s
t2＝θR2vx＝2π×83×5 s＝16π15 s
t总＝t1＋t2＝4310 s＋16π15 s＝4.04 s
(2)在B点，则有F＝mvx2R2＝9.375 N.
答案：(1)4.04 s (2)9.375 N
11．(15分)(2009·广东高考)如图所示，一个竖直放置的圆锥筒可绕其中心轴OO′转动，筒内壁粗糙，筒口半径和筒高分别为R和H，筒内壁A点的高度为筒高的一半．内壁上有一质量为m的小物块．求：
(1)当筒不转动时，物块静止在筒壁A点受到的摩擦力和支持力的大小；
(2)当物块在A点随筒做匀速转动，且其所受到的摩擦力为零时，筒转动的角速度．
解析：(1)物块静止时，对物块进行受力分析如图所示，设筒壁与水平面的夹角为θ.
由平衡条件有
Ff＝mgsinθ FN＝mgcosθ
由图中几何关系有
cosθ＝RR2＋H2 ，sinθ＝HR2＋H2
故有Ff＝mgHR2＋H2，FN＝mgRR2＋H2
(2)分析此时物块受力如图所示，
由牛顿第二定律有
mgtanθ＝mrω2.
其中tanθ＝HR，r＝R2，
可得ω＝ 2gHR.
答案：(1)mgHR2＋H2 mgRR2＋H2 (2) 2gHR
12．如图所示，一根长0.1 m的细线，一端系着一个质量为0.18
kg的小球，拉住线的另一端，使小球在光滑的水平桌面上做匀速圆周运动，使小球的转速很缓慢地增加，当小球的转速增加到开始时转速的3倍时，细线断开，线断开前的瞬间线受到的拉力比开始时大40
N，求：
(1)线断开前的瞬间，线受到的拉力大小；
(2)线断开的瞬间，小球运动的线速度；
(3)如果小球离开桌面时，速度方向与桌边缘的夹角为60°，桌面高出地面0.8 m，求小球飞出后的落地点距桌边缘的水平距离．
解析：(1)线的拉力提供小球做圆周运动的向心力，设开始时角速度为ω0，向心力为F0，线断开的瞬间，角速度为ω，线的拉力为FT.
F0＝mω02R ①
FT＝mω2R | 
