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最值问题解法举例 在一定范围内求最大值或最小值的问题，我们称之为“最大最小问题”。“最大”、“最小”是同学们所熟悉的两个概念，多年来各级数学竞赛中屡次出现求最值问题，但一些学生感到束手无策。 一、枚举法 例1一把钥匙只能开一把锁，现在有4把钥匙4把锁。但不知哪把钥匙开哪把锁，最多要试多少次就能配好全部的钥匙和锁? (北京市第三届“迎春杯”数学竞赛试题) 分析与解开第一把锁，按最坏情况考虑试了3把还未成功，则第4把不用试了，它一定能打开这把锁，因此需要3次。同样的道理开第二把锁最多试2次，开第三把锁最多试1次，最后一把锁则不用再试了。这样最多要试的次数为：3+2+1=6(次)。 二、综合法 例2x3=84A(x、A均为自然数)。A的最小值是______。(1997年南通市数学通讯赛试题) 分析与解根据题意，84A开立方的结果应为自然数，于是我们可以把84分解质因数，得84=2×2×3×7，因此x3=2×2×3×7×A，其中A的质因数至少含有一个2、两个3、两个7，才能满足上述要求。 即A的最小值为(2×3×3×7×7=)882。 三、分析法 例3一个三位数除以43，商是a，余数是b，(a、b均为自然数)，a+b的最大值是多少? (广州市五年级数学竞赛试题) 分析与解若要求a+b的最大值，我们只要保证在符合题意之下，a、b尽可能大。由乘除法关系得 43a+b=一个三位数 因为b是余数，它必须比除数小，即b<43b的最大值可取42。 根据上面式子，考虑到a不能超过23。(因为24×43>1000，并不是一个三位数) 当a=23时，43×23+10=999，此时b最大值为10。 当a=22时，43×22+42=988，此时b最大值为42。 显然，当a=22，b=42时，a+b的值最大，最值为22+42=64。 四、公式法 例4两个自然数的和为18，那么，这两个自然数的积的最大值为多少?(广州市小学数学竞赛试题) 分析与解设两个正数分别为a、b，它们有以下几种关系，a+b≥
值，运用此公式，本题迎刃而解。
即这两个自然数的积的最大值为81。 五、图表法 例5某公共汽车从起点站开往终点站，中途共有9个停车站。如果这辆公共汽车从起点站开出，除终点站外，每一站上车的乘客中从这一站到以后的每一站正好各有一位乘客上下车。为了使每位乘客都有座位。那么这辆汽车至少应有座位多少个? (北京市“迎春杯”数学竞赛试题) 分析与解根据题意，每站下车的乘客数最少要等于该站后面的车站数，列表如下：
从表中可以看出，车上乘客最多时，是在第五站乘客上下车后的人数，此时人数为 (10+9+8+7+6)-(1+2+3+4)=30(人) 所以这辆汽车至少应有座位30个。 最大最小问题，涉及面广，判断最值的方法较多，上面所列举的仅是几种常见的解题方法 数列推理的妙用 我们经常遇到这样一类问题，即给一列数，要求根据数与数之间的关系，通过分析推理，得出其排列规律，从而推出要填的数。例如： 在下列各列数中，□内应填什么数? (1)3，11，19，□; (2)7.9，6.6，5.3，□; (3)□，25，42，59。 这几列数的排列规律是不难发现的：在第(1)列数中，后一个数比前一个数多8，□内应填27;在第(2)列数中，后一个数比前一个数少1.3，□内应填4;在第(3)列数中，前一个数比后一个数少17，□内应填8。 巧妙地运用这种简单的推理方法，我们可以解决一类“消去问题”。今举数列说明如下。 例1 学校计划购买篮球和排球。如果购买6只篮球和5只排球要花263元;如果购买4只篮球和7只排球，则要花245元。问一只篮球和一只排球各值多少元? 解 把已知条件写成下面两列： 篮球6 4 排球5 7 价值 263 245 首先我们横着看，把它们看成三列数，第一列由6到4，减少2，因此推出第三项的数为2，第四项的数为0，即6→4→2→0;同理，第二列数为5→7→9→11，第三列数为263→245→227→209。上面推理过程可以表述为：
现在我们竖着看，第四列(推出的)数表示0只篮球与11只排球价值为209元，即1只排球为(209÷11=)19(元)。再根据第一个条件，可算得1只篮球为(263-19×5)÷6=)28(元)。 例2 甲、乙两人加工零件，甲做11时，乙做9时，共加工零件213个;甲做9时，乙做6时，共加工零件162个。问甲、乙两人每时各加工几个零件? 解 把已知条件写成竖列，按横列推理：
竖着看：第四列(即推出的最后一列)表示甲5时做60个零件，则每时做(60÷5=)12(个)零件，从而知道乙每时做的零件个数为：(213-12×11)÷9=9(个) 这种解题方法，把已知条件看成数列，而且往递减方向(至少有一列递减)推理，直到有一列的某项为零，就很容易得到结果。上面的两个例子，都是从左往右推理的，如果这样做得不到某列的某项为零时，就可考虑从右往左推理。 例3 某商店出售水果，3千克苹果和5千克雪梨共值22.50元，4千克苹果和2千克雪梨共值16.00元。试问苹果和雪梨每千克价格各是多少元? 解 把已知条件写成两列： 苹果3 4 雪梨5 2 价值 22.50 16.00 横着从左往右推理，第一列为 ……推不出零;第二列为 →……也推不出零。因此，考虑从右往左推理(已知条件为右边的两列)。
这里，左边的第一竖列(推出的)表示14千克雪梨42.00元，则每千克雪梨价格为(42.00÷14=)3.00(元)，所以，每千克苹果的价格为：(16.00-3.00×2)÷4=2.50(元)。 最后需要说明的是，这种数列推理的方法，虽然巧妙有趣，但并不是万能的。如果已知条件给出的数列，横着从左往右推或从右往左推都得不到某项为零时，就不能用这种方法直接推理得到结果。这时，我们就应该换一换思考角度，用其他方法来处理。 几何竞赛题的特殊解法 几何形体知识是小学数学的重要内容，对常规的几何题学生比较容易解答，但是对有一定难度的竞赛题，指导学生解题时，要引导学生认真地观察图形的形状、位置，抓住图形的主要特征，选择适当的方法进行分析，思考，从而找出解决问题的途径。 一、等量代换法 例1 如图1，已知三角形ABC的面积为56平方厘米，是平行四边形DEFC的2倍。求阴影部分的面积。
分析从所给的条件来看，不知道△ADE任何一条边及其所对应的高，因此很难直接求出△ADE的面积。只能从已知面积的部分与所求图形面积之间的关系来着手分析。由题意可知四边形DEFC为平行四边形，所以连接E、C点，△DEC的面积为平行四边形面积的一半。根据同底等高的三角形面积相等，可知△AED与△DEC的面积相等，而△DEC的面积等于平行四边形面积的一半，因此，△ADE的面积也等于平行四边形面积的一半。问题即可解决。 列式：56÷2÷2=14(平方厘米) 二、转化法
例2 如图2，四边形ABCD为长方形，BC=15厘米，CD=8厘米，三角形AFB的面积比三角形DEF的面积大30平方厘米，求DE的长。 如图2，四边形ABCD为长方形，BC=15厘米，CD=8厘米，三角形AFB的面积比三角形DEF的面积大30平方厘米，求DE的长。 (第三届小学生数学报竞赛决赛题) 分析把三角形ABF和三角形DEF分别加上四边形BCDF，那么它们分别转化成长方形ABCD和三角形BCE。根据三角形ABF比三角形DEF的面积大30平方厘米，把它们分别加上四边形BCDF后，即转化成长方形ABCD比三角形BCF的面积大30平方厘米。先求出三角形BCE的面积，根据三角形的面积和BC的长度，求出CE的长度，DE的长度即可求出。列式：(15×8-30)×2÷15-8=4(平方厘米) 三、假设法 例3 图3中长方形的面积为35平方厘米，左边直角三角形的面积为5平方厘米，右上角三角形的面积为7平方厘米，那么中间三角形(阴影部分)的面积是____平方厘米。
(1996年小学数学奥林匹克竞赛初赛B卷题) 分析因为长方形的面积为35平方厘米，不妨假设AB=5厘米，AD=7厘米，因为S△ABE=5平方厘米，所以BE=5×2÷5=2厘米，EC=7-2=5厘米，同理：DF=7×2÷5=2厘米，CF=5-2=3厘米，那么S△ECF=5×3÷2=7.5厘米，阴影部分面积即可求出。列式：35-(7+5+7.5)=15.5(平方厘米) 四、巧用性质 例4 如图4，三角形ABC是直角三角形，已知阴影(Ⅰ)的面积比阴影(Ⅱ)的面积小23平方厘米，BC的长度是多少?(π=3.14) (北京市第三届迎春杯数学竞赛试题)
分析此题初看似乎无法解答，因为阴影部分(Ⅰ)、(Ⅱ)都是不规则图形，但仔细观察，不难看出，阴影(Ⅰ)是半圆的一部分，阴影(Ⅱ)是三角形ABC的一部分，根据“差不变的性质”可以把(Ⅰ)和(Ⅱ)分别加(Ⅲ)，分别得到半圆和△ABC，它们的面积差不变，这样就可以求出三角
五、参数法 例5 将图5(a)中的三角形纸片沿着虚线折叠的粗实图形面积(图b)与原三角形的面积比为2∶3，已知图(b)中三个画阴影的三角形面积之和为1，那么重叠部分的面积为______。 (1988年北京市小学数学邀请赛复赛题) 分析图b中重叠部分是不规则的四边形，很难直接求出它的面积。从图b中可以观察阴影部分面积加上空白部分面积的2倍等于原三角形的面积，实线部分的面积应为空白部分面积加上1，根据这一等量关系可以列方程。设空白部分面积为x，(x+1)∶(2x+1)=2∶3，x=1。
六、用比例解 例6 如图6，四边形ABCD被AC和BD分成甲、乙、丙、丁四部分，已知BE=60厘米，CE=40厘米，DE=30厘米，AE=80厘米。问丙、丁两个三角形的面积之和是甲、乙两个三角形的面积之和多少倍?(第三届华罗庚金杯赛决赛题)
分析从图中可以看出甲、丁都在△ADC中，所以两个三角形的高相等，乙和丁都在△ABC中，所以两个三角形的高也相等。根据高相等的两个三角形的面积比等于底边长之比，那么： S甲∶S丁=AE∶EC=80∶40=2∶1S甲=2S丁 S乙∶S丁=BE∶DE=60∶30=2∶1S乙=2S丁 S甲+S乙=4S丁 S丙∶S甲=BE∶DE=60∶30=2∶1S丙=2S甲=4S丁 所以，(S丙+S丁)∶(S甲+S乙) =(4S丁+S丁)∶(S甲+S乙)=5S丁÷4S丁
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