教师出示一学生作业（如下图），全班学生异口同声地判断：错。教师满意地追问：错哪了？学生大声回答：没写个位进上来的1。
学生的异口同声有必要引发我们的思考：竖式是什么？如何教学竖式？
竖式在中国古代又叫算草，就是计算时候的一个草稿。是因为人们在计算数目比较大的数时，用口算比较困难，不容易记住计算过程中的数，就利用竖式笔录下来以减少记忆的难度。简单说，竖式就是把计算过程格式化、顺序化。
竖式的格式化、顺序化特征经历了长时间的发展过程。在众多教师心中，加减乘除竖式书写就是一种数学规定，竖式就应该“长”那样。加减法就应该相同数位对齐，从个位加起；乘法就应该从个位起，用一个数的各个数位上的数依次乘另一个数数的每一位；除法就应该从高位除起……纵然讲理，也更多关注“为什么可以那么算”，而忽视了“为什么需要那么算”。比如上述两位数加两位数的计算，“相同计算单位相加减”所以可以那么算（算理），利用竖式就能转化成一位数的加法计算了，这样就方便多啦，所以需要这么算（因此加法竖式“长”那样）！至于进、退位点写不写、写的位置等，完全可以因人而宜。
竖式教学要理解算理、掌握算法已形成共识。笔者认为，“理解”除了算理，似乎还应包含其他……。下面以苏教版三年级下册第30-31页“两位数乘两位数”笔算乘法为例，谈对竖式教学的几点认识。
一、要引发使用竖式的内在需求
从竖式的起源可以看出，竖式的产生源自计算的需要。竖式教学就应该激发这种需求，凸显竖式的价值。
【片段1】
1.创设问题情境，感受解决实际问题需要计算。（略）
2.交流学生资源，感受新知源于解决问题的需要，列出算式28×12。
3.尝试利用已有经验解决。学生自主探索后全班交流。
生 12分成10和2，28×10＝280，28×2＝56，280＋56＝336。
生 28分成20和8，12×20＝240，12×8＝96，240＋96＝336。
生 28 × 9 = 252， 28 × 3 = 84， 252 + 84 = 336。
师生共同交流三种方法，并总结共同之处：都是先分再乘，同时进行比较，形成共识：把12分成10和2计算更简便。
生 12拆成2×6，28×6×2＝336。
师生共同交流明白这种方法是将一个数拆成两个数的乘积。并启发学生12还可以拆成3×4，28×3×4＝336。
4.用自主探索的方法计算13 ×73和 62 ×49。
通过13 ×73感受连乘方法的局限性，感受计算两位数乘两位数，都可以将其中一个两位数拆成整十数和一位数，再分别和另外一个两位数相乘，最后把两个和相加。也就是变成几个几和几十个几来计算。
通过62 ×49 感受竖式的价值。出示学生资源。
生 62 ×40=2480，62 ×9=558，2480+558=3038
生 60 ×49=2940，2 ×49=98， 2950+98=3038。
（数字较大，用上面的方法拆分了算，大部分学生要借助笔算，有的甚至列出三个独立竖式。）
5.激发竖式需求。
师 在拆分计算62 ×49时，很多同学使用了竖式，为什么要用竖式来计算？
生 数字太大，不能口算。
生 我怕口算错了。
师 是啊，竖式能帮助我们计算。有的同学计算62 ×49时，使用了三个竖式。每道题都使用三个竖式，你有什么感觉？
生 麻烦。
师 你能想办法，把三个竖式合并成一个竖式吗？我们以28×12为例，相互讨论讨论，试试看！
加涅认为，任何技能的学习都是以过去学习的其他比较简单的技能为前提的，两位数笔算乘法亦如此，其基础是一位数乘法。不管是学生自主探索想到的“分乘”“连乘”法还是笔算原理，都是把两位数乘法转化成一位数乘法来计算。既然运用转化思想就能计算两位数乘法，为什么还要学习竖式计算呢？明白了此理，也就清晰了两位数乘法竖式学习的必要性，也就能理解乘法竖式为什么长那样了。因此，竖式教学不应是简单的告诉与模仿，明其理方能清其形。
二、要经历竖式的再创造过程
竖式是一种笔录计算的形式，历经千年已形成其固有的计算格式与顺序。这种格式与顺序是随着历史的发展而形成的统一认识，绝不是简单的规定。因此，竖式教学应该让学生经历竖式的再创造历程，理解“规定”背后的“道理”。
【片段2】
呈现学生资源并交流每种竖式的合并过程。
1.沟通算理。联系“片段1”的口算方法，形成共识：口算笔算都是把几个几和几十个几合起来。
2.体会竖式的工具性。
师 和口算以及写三个竖式相比，这样写又有什么好处呢？
生 口算会算错，写三个竖式太麻烦，这样写不容易错。
师 随着乘数的变大，口算已经不能很快说出结果了，为了帮助我们计算，就创造了乘法竖式。
3.形成一般计算习惯。
师 只是，有的同学拆分第二个乘数，有的同学拆分第一个乘数，为了便于交流，一般拆分第二个乘数。但D种方法也是正确的。在拆分第二乘数时，有的先算几十个几（C种方法），有的先算几个几，我们一般先算几个几（A和B）。
师 我们再看方法A和方法B，仔细观察，有什么不同？你更喜欢哪种？说说理由。
生 0可以不写，因为就表示28个十。
数学技能作为一种程序性知识可以有两种存在形式，一是“技术的知识”，表现为言语表述的操作要诀，解决“知道怎样做”的问题；二是“实践的知识”，表现为实际操作的方式，解决了“会做”的问题。一般认为，数学技能的学习过程，是“技术的知识”向“实践的知识”转化，并最终统一的过程。正是基于这样的认识，笔算教学一般更倾向先向学生传授竖式的书写格式、算理以及计算顺序，在明白怎样做的基础上进行技能的训练。先“教”后“练”似乎成了笔算教学的一般模式。在这种理念下的竖式教学，教得枯燥，学得乏味，更多地是考验学生的模仿力与记忆力，学到了技能却丧失了探究的意识与能力。因此，竖式教学绝不仅仅是技能的习得，需要经历竖式的再创造过程，在探究过程中理解竖式原理，积累数学基本活动经验，增强分析问题和解决问题的能力。
三、竖式教学需要进行整体架构
数学知识具有很强的关联性，知识编排具有螺旋性。同一内容根据学生的认知规律、知识背景和活动经验被安排在不同年段逐步深入学习。以乘法笔算为例，苏教版教材安排如下。
二年级上册：首次学习乘法竖式（表内乘法），感知乘法可以竖着表示计算结果；
二年级下册，学习两位数乘一位数竖式，首次感知竖式的价值：把两位数乘一位数转化成两个一位数乘法来计算；
三年级上册，学习三位数乘一位数竖式，实现知识的迁移，再次体悟一位数笔算原理是：把多位数乘一位数转化成多个一位数乘法来；
三年级下册，学习两位数乘两位数竖式，首次系统学习乘法笔算，感悟笔算原理是拆分，是对几个几与几十个几及其和的记录；
四年级下册，学习三位数乘两位数竖式，实现知识迁移，再次体悟乘法笔算原理是拆分，是对几个几、几十个几、几百个几------及其和的记录（实现能力的迁移）。
以上呈现了笔者根据教材编排特点，对小学不同阶段乘法竖式教学的目标定位。从“乘法可以竖着表示结果”到“体悟笔算原理，实现能力迁移”，体现了竖式教学的整体架构。仔细琢磨不难发现，竖式教学其内隐思想是“转化”，其原理是“拆分”，其外显特征为“记录”。多位数乘一位数就是转化成多个一位数乘法记录其运算结果，多位数乘多位数就是对拆分成的几个几、几十个几、几百个几……──及其和的记录。从这个意义上说，两位数乘两位数笔算是学习乘法竖式的关键环节。教师要让学生明白两位数乘法笔算算理与口算方法一样，都拆分成几个几与几十个几的和。学生“眼中”的竖式计算顺序，不应该是局部的点与点的相乘，而是若干个一位数乘多位数积的叠加。所领悟的也不再是竖式的外部形式，而是其本质内涵。
理解是一种心理过程。学习者对所学习的对象能在心理上组织起有效的认知结构，并使之成为个人内部知识网络的一部分，才会产生理解。这意味着，需要学生经历再创造过程，能在心理上组织起与数学本质相通的认知结构。历经“理解”过程的竖式教学，方能体现学生的心智生长历程，焕发生命成长的气息。
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