数学破题36计第11计 耗子开门 就地打洞

第11计   耗子开门   就地打洞

●计名释义

《说唐》中有这样一个故事.唐太宗征北，困在木阳城，绝粮.军师献计，沿着鼠洞挖去，可能找到粮食.结果，真的在地下深处发现了粮仓.太宗嘉奖耗子的牙啃立功，并题诗曰：鼠郎个小本能高，日夜磨牙得宝刀，唯恐孤王难遇见，宫门凿出九条槽.

庞大的数学宝库也是众多的“数学耗子”啃穿的.你可知道，前1万个质数就是这些耗子们一个个啃出来的，七位数字对数表也是这样啃出来的.

数学解题，当你无计可施，或者一口难吞时，那就决定“啃”吧.

●典例示范

【例1】   已知f (x)=，判定其单调区间.

【分析】   用求导法研究单调性当然可行，但未必简便，直接从单调定义出发，循序渐进，也可将“单调区间”啃出来.

【解答】   设x₁<x₂，f (x₁)-f (x₂)=  - .

【插语】   x₁，x₂都在根号底下，想法把它们啃出来.有办法，将“分子有理化”.

【续解】    [KF（S]3[]1-2x1[KF)]-[KF(S]3[]1-2x2[KF)]

=

易知=△>0.

故有原式=<0.

故f (x)= 的增区间为（-∞,+∞).

【点评】   耗子开门是一个“以小克大，以弱克强”的策略.函数的单调法即不等式的比较法.方法基础，可靠，只要有“啃”的精神，则可以透过形式上的繁杂看到思维上的清晰和简捷.

【例2】   （04·天津卷）从4名男生和2名女生中任选3人参加演讲比赛.设随机变量ξ表示所选3人中女生的人数.

（Ⅰ）求ξ的分布列；        （Ⅱ）求ξ的数学期望；

（Ⅲ）求“所选3人中女生人数ξ≤1”的概率.

【思考】   本题设问简单，方向明确，无须反推倒算，只要像耗子开门，牙啃立功就是了.【解答】   （Ⅰ）6人中任选3人，其中女生可以是0个，1个或2个，P（ξ=0）=;P(ξ=1)=；P (ξ=2)=，故ξ的分布列是：

ξ	0	1	2
P

（Ⅱ）ξ的数学期望是：

Eξ=0×+1×+2×=1.

(Ⅲ)由（Ⅰ），所选3人中女生人数ξ≤1的概率是：P（ξ≤1）=P (ξ=0)+P(=1)=.

【例3】   （04·上海，20文）如图

，直线y=x与抛物线y=x² - 4交于

A、B两点，线段AB的垂直平分线与

直线y= -5交于点Q.

(1)求点Q的坐标；

（2）当P为抛物线上位于AB下方

（含点A、B）的动点时，

求△OPQ的面积的最大值.

【思考】   同例1一样，本题设问明确，                      例3题图

思路并不复杂，只须按所设条件逐一完成就是，只是要严防计算失误.

【解答】   （1）由

设AB中点为M（x₀，y₀），则x₀ =，y₀=x₀=1.

故有M（2，1），又AB⊥MQ，∴MQ的方程是：y-1=-2(x-2)，令y=-5，得x=5，点Q的坐标为(5,-5).

(2)由（1）知|OQ|=5为定值.

设P(x，x²-2)为抛物线上上一点，由（1）知x²-4x-32≤0，得x∈［-4,8］，又直线OQ的方程为：

x+y=0，点P到直线OQ的距离：

d=，显然d≠0，(否则△POQ不存在)，即x≠4-4，为使△POQ面积最大只须d最大，当x=8时，d_max =6.

∴(S_△POQ)_max =·|OQ|·d_max=·5·6=30.

 

【例4】   O为锐角△ABC的外心，若S_△BOC，S_△COA，S_△AOB成等差数列，求tanA·tanC的值.

【解答】   如图，有：S_△BOC+S_△AOB=2S_△COA.

不妨设△ABC外接圆半径为1，令∠BOC=α=2A,

∠AOC=β=2B，∠AOB=r=2C，

则有：sinα+sinγ=sinβ，

即sin2A+sin2C=2sin2B.

2sin(A+C)cos (A-C)= 4sinBcosB.                             例4题解图

∵sin(A+C)=sinB≠0,cosB= -cos(A+C).

∴cos (A-C)+2cos (A+C)=0,cosAcosC +sinAsinC +2(cosA+cosC – sinAsinC )=0.

3cosAcosC=sinAsinC，故tanAtanC=3.

【点评】   本例中的“门”不少，其中“同圆半径相等”是“门”，由此将面积关系转换成有关角的关系；以下通过圆心角与圆周角的转换，和差化积与倍角公式，诱导公式、和角公式、同角三角函数关系等依次转换，这便是一连串的“门”，逐一啃来，从而最终达到解题目的.

●对应训练

1.在棱长为4的正方体ABCD—A₁B₁C₁D₁中，

O是正方形A₁B₁C₁D₁的中心，点P在

棱CC₁上，且CC₁= 4CP.

(Ⅰ)求直线AP与平面BCC₁B₁所

成的角的大小（结果用反三角函数值表示）；

（Ⅱ）设O点在平面D₁AP上的

射影是H，求证：D₁H⊥AP；

（Ⅲ）求点P到平面ABD₁的距离.                    第1题图

2.证明不等式： (n∈N₊).

3.设x∈，f (x)=，求f (x)的最大值与最小值.

4.若x，y，z∈R⁺，且x+y+z=1，求函数u=的最小值.

●参考答案

1.建立如图的空间直角坐标系，有：

A(4,0,0)，P(0,4,1)，B(4,4,0)，B₁(4,4,4)，D₁(0,0,4).(Ⅰ)连BP，∵AB⊥平面BCC₁B₁.

∴AB⊥BP，∠APB是直线AP与平面BB₁C₁C的夹角，∵=

∴tan∠APB=.

∴AP与平面BB₁C₁C所成角为arctan.

(Ⅱ)连D₁B₁，则O∈DB₁.

∵=（4,4,0)，=（-4,4,1）,

∴·=-16+16+0=0.

即⊥，也就是⊥.               第1题解图

已知OH⊥面AD₁P，∴AP⊥D₁O(三垂线定理)

（Ⅲ）在DD₁上取||=1，有Q(0,0,1)，作QR⊥AD₁于R，∵RQ∥AB，∴PQ∥面ABD₁，∵AB⊥面AA₁D₁D，∴AB⊥QR，则QR⊥面ABD₁，QR之长是Q到平面ABD₁的距离，

∵S_△ADQ =||·||=]||·||.

即：4·||= 4×3，∴||=.

已证PQ∥ABD₁，∴点P到平面ABP₁的距离为.

点评：虽是“综合法”证题，但也并非“巷子里赶猪，直来直去”，特别（Ⅱ）,(Ⅲ)两问，本解都用到了若干转换手法.

2.只须证

右式=

=

=.

∴成立，从而1+

3.先将f (x)化为同一个角的单一三角函数，得f (x)= -sin+.

当x∈时,2x-，故f (x)为，上的减函数,当x=时,

［f(x)］_min =，当x=时,［f (x)］_max =-.

4.注意到，同理：，，

∴u≥=8.