数学破题36计第28计 三角开门 八面玲珑

第28计  三角开门  八面玲珑

●计名释义

三角函数是沟通平面几何，立体几何、解析几何、向量和函数的重要工具.它具有以下特点：

1.公式多，变换多，技巧多；

2.思想方法集中，特别是函数方程思想、数形结合思想和特殊一般思想；

3.应用广泛，学科内自身应用和跨学科的综合应用.

●典例示范

【例1】    设a,b∈R，a²+2b²=6，则a+b的最小值是                    （      ）

A.-2              B.              C.-3              D.

【解答】    a²+2b²=6=1.  设(θ∈［0，2π］)，则

a+b=cosθ+sinθ=3cos(θ-φ)，其中cosφ=，sinφ=，∴a+b≥-3，选C.

【点评】    本例实施代数与解析几何、三角函数之间的转换，利用三角函数的有界性破题.

【例2】    已知正数x,y满足3x²+2y²=6x，则x²+y²的最大值是                     .

【思考】    对于本题，以下解法并不鲜见；

由条件y²=3x-x².

∴x²+y²=x²+x²+3x=(x-3)²+.

∴当且仅当x=3时，（x²+y²）_max =.你能发现这种解法有什么毛病吗？

先检验一下，如x=3,会有什么情况发生，将x=3代入已知条件，得：

3×9+2y²=18.            ∴2y²=-9.

显然，我们得到了一个错误的等式，毛病在哪里呢？是没有分析条件所暗示的变量x,y的范围，正确的解法是:

∵y²=3x-x²≥0，∴x²-2x≤0.  得x∈［0,2］，而x²+y²=(x-3)²+.

令z=(x-3)²+，则当x≤3时，z为增函数，已求x∈［0,2］，故当x=2时，

z_max =(2-3)²+= 4，即(x²+y²)_max= 4.

【评注】    本题若用三角代换，可以避开陷阱，达到八面玲珑.由条件得：

(x-1)²+y²=1.

设，则

x²+y²=(1+cosθ)²+sin²θ=cos²θ+2cosθ+(cosθ-2)²+.

由于cosθ∈［-1,1］,故当cosθ=1时，(x²+y²)_max =+=4.

此时，x=2，y=0.

【例3】    设抛物线y²=4px(p>0)的准线交x轴于点M，过M作直线l交抛物线于A

、B两点，求AB中点的轨迹方程.

【解答】    抛物线y²=4px的准线为x= -p，交x轴于M(-p,0),

设过M的直线参数方程为：(t为参数)代入y²=4px：

t²sin²θ-4ptcosθ+4p²=0            (1)

方程(1)有相异二实根的条件是：

1,

设方程(1)之二根为t₁，t₂，则t₁+t₂=

设AB之中点为Q(x,y)，  ∵t=.

∴，消去θ得：y²=2p(x+p),

∵|cotθ|>1，∴|y|>2p，即所求AB中点的轨迹方程为：y²=2p(x+p)(|y|>2p).

【点评】    直线的参数方程即直线的三角形式，在处理解析几何中直线与曲线的关系中，常起重要作用，由于它能减少变量(由x,y两个变量减为一个变量t).所以其运算过程常比一般方程简便.

但在起用直线的参数方程时，必须用其标准式：

其中P(x₀，y₀)为定点，θ是直线的倾斜角:参数t表示动点M(x,y)与定点P(x₀，y₀)所连有向线段的数量，若M在P上方则t>0，反之t<0.

【例4】    两圆O₁与O₂外离，其半径分别为r₁，r₂，直线AB分别交两圆于

A、C、D、B,且AC=DB，过A，B

的切线交于E，求证：.

【思考】    本例是平面几何题吗?

不是，谁要试图仅用平几知识证明，

肯定难以成功，但若引入三角，则不然.

【解答】    作两圆直径AF，BG，连

CF，DG，命∠EAB=∠F=∠α,∠EBA=∠G=∠β,

那么AC=2r₁sinα，BD=2r₂sinβ,

已知AC=BD，∴2r₁sinα=2r₂sinβ，                          例4题图

,

△EAB中，由正弦定理：∴.

【例5】某矿石基地A和冶炼厂B在铁路MN的两侧，A距铁路m千米，B距铁路n千米.  在铁路上要建造两个火车站C与D，并修两条公路AC与BD.  A地的矿石先用汽车由公路运至火车站C，然后用火车运至D，再用汽车运到冶炼厂B（如图所示）A、B在铁路MN上的投影A′、B′距离为l千米.若汽车每小时行u公里，火车每小时行v公里（v>u）,要使运输矿石的时间最短，火车站C、D应建在什么地方？

【分析】    求的是C、D建的地方，

为了将问题简化，暂不考虑车站D，

设法求出从A经过C到B′所需最短时间.

【解答】    ∵AC=A′C=mtanA,

∴CB′=A′B′-A′C=l-mtanA

∴从A经过C到B′所需时间为                            例5题图

t=

由于，，为常数，问题转化为求y=的最小值.

∵y′=，令y′=0,得时，sinA<1.

sinA<时，y′<0,sinA>时，y′>0.

故函数y，从而函数t当sinA=时，取得极小值：

∵sinA=，∴A′C=mtanA=，即车站C距A′为千米，它与l的长短无关.

同理，站D距B′为千米.

【点评】    本例再次映证了求导法在求最值中的重要作用.

●对应训练

1已知方程x²+xsin2θ- sinθcotθ=0(π<θ<π)之二根为α,β，求使等比数列1,，…前100项之和为零的θ值.

2设实数对(x,y)满足方程x²+y²-2x-2y+1=0，求的最小值.

3已知圆的方程是x²+y²=1，四边形PABQ为该圆内接梯形，底边AB为圆的直径且在x轴上，当梯形ABCD的周长l最大时，求P点的坐标及这个最大的周长.

4△ABC中，已知三内角满足关系式y=2+cos Ccos (A-B)- cos²C.

(Ⅰ)证明任意交换A、B、C位置y的值不变；

（Ⅱ）求y的最大值.

5.一条河宽1km，相距4km(直线距离)的两座城市A与B分别位于河的两岸，现需铺设一条电缆连通A与B.  已知地下电缆的修建费为每千米2万元，水下电缆的修建费为每千米4万元.  假定两岸是平行的直线.问应如何铺设电缆可使总的修建费用最少?

●参考答案

1由条件：,

∴，即等比数列的公比q=2sinθ，∴S₁₀₀=.

已知S₁₀₀=0，∴(2sinθ)¹⁰⁰=1且2sinθ≠1,于是2sinθ= -1,sinθ=,

∵θ∈(π，π),       ∴θ=π.

2圆(x-1)²+(y-1)²=1的圆心为C(1,1)，半径r=1，此圆在第一象限且与两轴相切，为求的最小值，先求的最大值.

如图，表示圆上的点(x,y)与

定点P(-1,0)连线的斜率,PA，PB为

圆C的切线，则，连PC,

设∠BPC=∠APC=θ，则tanθ=,                       第2题解图

tan∠BPA=tan2θ=,       即，从而.

3如图所示，有A(1,0),B(-1,0),

⊙方程为x²+y²=1，∴设P(cosθ，sinθ)为

圆上一点，不妨设P在第一象限，

则有Q(-cosθ,sinθ).

∴|PQ|=2cosθ,Rt△PAB中∠PBA=,

∴|BQ|=|PA|=|AB| sin=2sin，

l=2+2cosθ+4sin=2+2(1-2sin²)+4sin=5-4(sin)², 第3题解图

当且仅当sin=，即θ=60°(若θ在四象限则为300°)时，l_max=5，此时

点P的坐标为.

4(Ⅰ)y=2+cos C［cos (A-B) - cosC］

=2+cos C［cos (A-B)+cos (A+B)］=2+2cos Acos Bcos C

此为关于A、B、C的对称轮换式，故任意交换A、B、C的位置，y的值不变.

(Ⅱ)y=2-［cos Ccos (A-B)］² +cos²(A-B),为求y的最大值必须［cosCcos (A-B)］²取得最小而cos²(A-B)取得最大.

∵［cosCcos (A-B) ²≥0，且cos+(A-B)≤当且仅当时以上两条同时成立.

∴y_max =，此时故△ABC为正三角形.

5.解法一:如图所示，设OM=x km，则AM=-x，BM=.  总修建费

S=2（-x）+4

=2++x+3(-x)

=2+（+x）+≥2+2

由+x=,得当x=时，

S取最小值2+2，此时，

AM≈3.3，BM≈1.2.

故当先沿岸铺设3.3 km地下电缆，

再铺设1.2 km水下电缆连通A与B时，                      第5题解图

总的修建费用最少，此时修建费为11.4万元.

解法二：如图所示，设∠OBM=α(0<α<arccos，则BM=，

AM=AO-MO=-tanα，总修建费S=2-tanα)+=2+

设t=，则sinα+tcosα=2             ∴  sin(α+φ)=

由及t>0，得t≥，                 ∴  S≥2+2

将t=代入sinα+tcosα=2，解得α=

∵  0<<arccos       ∴  AM=-≈3.3，BM=≈1.2

故S_min =2×３．３＋４×１．２＝１１．４.