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高中数学典型例题解析(第四章数列)

 昵称28032510 2015-10-18

第四章  数列21世纪教育网 -- 中国最大型、最专业的中小学教育资源门户网站

§4.1等差数列的通项与求和21世纪教育网 -- 中国最大型、最专业的中小学教育资源门户网站

一、知识导学21世纪教育网 -- 中国最大型、最专业的中小学教育资源门户网站

1.数列:按一定次序排成的一列数叫做数列.21世纪教育网 -- 中国最大型、最专业的中小学教育资源门户网站

2.项:数列中的每一个数都叫做这个数列的项,各项依次叫做这个数列的第1项(或首项),第2项,…,第n项,….21世纪教育网 -- 中国最大型、最专业的中小学教育资源门户网站

3.通项公式:一般地,如果数列{an}的第n项与序号n之间的关系可以用一个公式来表示,那么这个公式叫做这个数列的通项公式.21世纪教育网 -- 中国最大型、最专业的中小学教育资源门户网站

4. 有穷数列:项数有限的数列叫做有穷数列.21世纪教育网 -- 中国最大型、最专业的中小学教育资源门户网站

5. 无穷数列:项数无限的数列叫做无穷数列21世纪教育网 -- 中国最大型、最专业的中小学教育资源门户网站

6.数列的递推公式:如果已知数列的第一项(或前几项)及相邻两项(或几项)间关系可以用一个公式来表示,则这个公式就叫做这个数列的递推公式.递推公式是给出数列的一种重要方法,其关健是先求出a1,a2,然后用递推关系逐一写出数列中的项.21世纪教育网 -- 中国最大型、最专业的中小学教育资源门户网站

7.等差数列:一般地,如果一个数列从第二项起,每一项减去它的前一项所得的差都等于同一个常数,那么这个数列就叫做等差数列,这个常数叫做等差数列的公差,公差通常用d表示. 21世纪教育网 -- 中国最大型、最专业的中小学教育资源门户网站

8.等差中项:如果a,A,b这三个数成等差数列,那么A=21世纪教育网 -- 中国最大型、最专业的中小学教育资源门户网站.我们把A=21世纪教育网 -- 中国最大型、最专业的中小学教育资源门户网站叫做a和b的等差中项. 21世纪教育网 -- 中国最大型、最专业的中小学教育资源门户网站

二、疑难知识导析21世纪教育网 -- 中国最大型、最专业的中小学教育资源门户网站

1.数列的概念应注意几点:(1)数列中的数是按一定的次序排列的,如果组成的数相同而排列次序不同,则就是不同的数列;(2)同一数列中可以出现多个相同的数;(3)数列看做一个定义域为正整数集或其有限子集(123,…,n)的函数.21世纪教育网 -- 中国最大型、最专业的中小学教育资源门户网站

2.一个数列的通项公式通常不是唯一的.21世纪教育网 -- 中国最大型、最专业的中小学教育资源门户网站

3.数列{an}的前n项的和Snan间的关系:21世纪教育网 -- 中国最大型、最专业的中小学教育资源门户网站a1适合an(n>2),21世纪教育网 -- 中国最大型、最专业的中小学教育资源门户网站不用分段形式表示,切不可不求a1而直接求an.21世纪教育网 -- 中国最大型、最专业的中小学教育资源门户网站

4.从函数的角度考查等差数列的通项公式:an= a1+(n-1)d=d·n+ a1-d, an是关于n的一次式;从图像上看,表示等差数列的各点(n,21世纪教育网 -- 中国最大型、最专业的中小学教育资源门户网站)均匀排列在一条直线上,由两点确定一条直线的性质,不难得出,任两项可以确定一个等差数列.21世纪教育网 -- 中国最大型、最专业的中小学教育资源门户网站

5、对等差数列的前n项之和公式的理解:等差数列的前n项之和公式可变形为21世纪教育网 -- 中国最大型、最专业的中小学教育资源门户网站,若令A21世纪教育网 -- 中国最大型、最专业的中小学教育资源门户网站Ba121世纪教育网 -- 中国最大型、最专业的中小学教育资源门户网站,则21世纪教育网 -- 中国最大型、最专业的中小学教育资源门户网站An2+Bn.21世纪教育网 -- 中国最大型、最专业的中小学教育资源门户网站

6、在解决等差数列问题时,如已知,a1and21世纪教育网 -- 中国最大型、最专业的中小学教育资源门户网站n中任意三个,可求其余两个。21世纪教育网 -- 中国最大型、最专业的中小学教育资源门户网站

三、经典例题导讲21世纪教育网 -- 中国最大型、最专业的中小学教育资源门户网站

[1]已知数列14710,…,3n+7,其中后一项比前一项大3.1)指出这个数列的通项公式;(2)指出1+4++3n5)是该数列的前几项之和.21世纪教育网 -- 中国最大型、最专业的中小学教育资源门户网站

错解:(1an=3n+7;21世纪教育网 -- 中国最大型、最专业的中小学教育资源门户网站

(2) 1+4++3n5)是该数列的前n项之和.21世纪教育网 -- 中国最大型、最专业的中小学教育资源门户网站

错因:误把最后一项(含n的代数式)看成了数列的通项.1)若令n=1,a1=1021世纪教育网 -- 中国最大型、最专业的中小学教育资源门户网站1,显然3n+7不是它的通项.21世纪教育网 -- 中国最大型、最专业的中小学教育资源门户网站

正解:(1an=3n2;21世纪教育网 -- 中国最大型、最专业的中小学教育资源门户网站

(2) 1+4++3n5)是该数列的前n1项的和.21世纪教育网 -- 中国最大型、最专业的中小学教育资源门户网站

 [2] 已知数列21世纪教育网 -- 中国最大型、最专业的中小学教育资源门户网站的前n项之和为① 21世纪教育网 -- 中国最大型、最专业的中小学教育资源门户网站  21世纪教育网 -- 中国最大型、最专业的中小学教育资源门户网站  21世纪教育网 -- 中国最大型、最专业的中小学教育资源门户网站

求数列21世纪教育网 -- 中国最大型、最专业的中小学教育资源门户网站的通项公式。21世纪教育网 -- 中国最大型、最专业的中小学教育资源门户网站

错解: ① 21世纪教育网 -- 中国最大型、最专业的中小学教育资源门户网站21世纪教育网 -- 中国最大型、最专业的中小学教育资源门户网站

      21世纪教育网 -- 中国最大型、最专业的中小学教育资源门户网站21世纪教育网 -- 中国最大型、最专业的中小学教育资源门户网站

错因:在对数列概念的理解上,仅注意了anSnSn-1与的关系,没注意a1=S1.21世纪教育网 -- 中国最大型、最专业的中小学教育资源门户网站

正解     ①当21世纪教育网 -- 中国最大型、最专业的中小学教育资源门户网站时,21世纪教育网 -- 中国最大型、最专业的中小学教育资源门户网站21世纪教育网 -- 中国最大型、最专业的中小学教育资源门户网站

           21世纪教育网 -- 中国最大型、最专业的中小学教育资源门户网站时,21世纪教育网 -- 中国最大型、最专业的中小学教育资源门户网站21世纪教育网 -- 中国最大型、最专业的中小学教育资源门户网站

           经检验 21世纪教育网 -- 中国最大型、最专业的中小学教育资源门户网站21世纪教育网 -- 中国最大型、最专业的中小学教育资源门户网站 也适合,21世纪教育网 -- 中国最大型、最专业的中小学教育资源门户网站21世纪教育网 -- 中国最大型、最专业的中小学教育资源门户网站21世纪教育网 -- 中国最大型、最专业的中小学教育资源门户网站

          ②当21世纪教育网 -- 中国最大型、最专业的中小学教育资源门户网站时,21世纪教育网 -- 中国最大型、最专业的中小学教育资源门户网站21世纪教育网 -- 中国最大型、最专业的中小学教育资源门户网站

             21世纪教育网 -- 中国最大型、最专业的中小学教育资源门户网站时,21世纪教育网 -- 中国最大型、最专业的中小学教育资源门户网站21世纪教育网 -- 中国最大型、最专业的中小学教育资源门户网站

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[3] 已知等差数列21世纪教育网 -- 中国最大型、最专业的中小学教育资源门户网站的前n项之和记为SnS10=10 S30=70,则S40等于           21世纪教育网 -- 中国最大型、最专业的中小学教育资源门户网站

错解S30= S10·2d. 21世纪教育网 -- 中国最大型、最专业的中小学教育资源门户网站 d3021世纪教育网 -- 中国最大型、最专业的中小学教育资源门户网站 S40= S30+d =100.21世纪教育网 -- 中国最大型、最专业的中小学教育资源门户网站

错因:将等差数列中Sm, S2m Sm, S3m S2m成等差数列误解为Sm, S2m, S3m成等差数列.21世纪教育网 -- 中国最大型、最专业的中小学教育资源门户网站

正解:由题意:21世纪教育网 -- 中国最大型、最专业的中小学教育资源门户网站21世纪教育网 -- 中国最大型、最专业的中小学教育资源门户网站21世纪教育网 -- 中国最大型、最专业的中小学教育资源门户网站

代入得S40 21世纪教育网 -- 中国最大型、最专业的中小学教育资源门户网站21世纪教育网 -- 中国最大型、最专业的中小学教育资源门户网站

[4]等差数列21世纪教育网 -- 中国最大型、最专业的中小学教育资源门户网站21世纪教育网 -- 中国最大型、最专业的中小学教育资源门户网站的前n项和为SnTn.21世纪教育网 -- 中国最大型、最专业的中小学教育资源门户网站21世纪教育网 -- 中国最大型、最专业的中小学教育资源门户网站21世纪教育网 -- 中国最大型、最专业的中小学教育资源门户网站

错解:因为等差数列的通项公式是关于n的一次函数,故由题意令an=7n+1;bn=4n+27.21世纪教育网 -- 中国最大型、最专业的中小学教育资源门户网站

21世纪教育网 -- 中国最大型、最专业的中小学教育资源门户网站21世纪教育网 -- 中国最大型、最专业的中小学教育资源门户网站

错因:误认为21世纪教育网 -- 中国最大型、最专业的中小学教育资源门户网站21世纪教育网 -- 中国最大型、最专业的中小学教育资源门户网站21世纪教育网 -- 中国最大型、最专业的中小学教育资源门户网站

正解21世纪教育网 -- 中国最大型、最专业的中小学教育资源门户网站21世纪教育网 -- 中国最大型、最专业的中小学教育资源门户网站

[5]已知一个等差数列21世纪教育网 -- 中国最大型、最专业的中小学教育资源门户网站的通项公式an=255n,求数列21世纪教育网 -- 中国最大型、最专业的中小学教育资源门户网站的前n项和;21世纪教育网 -- 中国最大型、最专业的中小学教育资源门户网站

错解:an21世纪教育网 -- 中国最大型、最专业的中小学教育资源门户网站0n21世纪教育网 -- 中国最大型、最专业的中小学教育资源门户网站521世纪教育网 -- 中国最大型、最专业的中小学教育资源门户网站

21世纪教育网 -- 中国最大型、最专业的中小学教育资源门户网站 21世纪教育网 -- 中国最大型、最专业的中小学教育资源门户网站5项为非负,从第6项起为负,21世纪教育网 -- 中国最大型、最专业的中小学教育资源门户网站

21世纪教育网 -- 中国最大型、最专业的中小学教育资源门户网站 Sn=a1+a2+a3+a4+a5=50(n21世纪教育网 -- 中国最大型、最专业的中小学教育资源门户网站5)21世纪教育网 -- 中国最大型、最专业的中小学教育资源门户网站

n21世纪教育网 -- 中国最大型、最专业的中小学教育资源门户网站6时,Sn=a6+a7+a8++an|=21世纪教育网 -- 中国最大型、最专业的中小学教育资源门户网站21世纪教育网 -- 中国最大型、最专业的中小学教育资源门户网站

21世纪教育网 -- 中国最大型、最专业的中小学教育资源门户网站 Sn=21世纪教育网 -- 中国最大型、最专业的中小学教育资源门户网站21世纪教育网 -- 中国最大型、最专业的中小学教育资源门户网站

错因:一、把n21世纪教育网 -- 中国最大型、最专业的中小学教育资源门户网站5理解为n=5,二、把“前n项和”误认为“从n21世纪教育网 -- 中国最大型、最专业的中小学教育资源门户网站6起”的和.21世纪教育网 -- 中国最大型、最专业的中小学教育资源门户网站

正解21世纪教育网 -- 中国最大型、最专业的中小学教育资源门户网站 21世纪教育网 -- 中国最大型、最专业的中小学教育资源门户网站

[6]已知一个等差数列的前10项的和是310,前20项的和是122021世纪教育网 -- 中国最大型、最专业的中小学教育资源门户网站

由此可以确定求其前21世纪教育网 -- 中国最大型、最专业的中小学教育资源门户网站项和的公式吗?21世纪教育网 -- 中国最大型、最专业的中小学教育资源门户网站

解:理由如下:由题设: 21世纪教育网 -- 中国最大型、最专业的中小学教育资源门户网站   21世纪教育网 -- 中国最大型、最专业的中小学教育资源门户网站21世纪教育网 -- 中国最大型、最专业的中小学教育资源门户网站

得: 21世纪教育网 -- 中国最大型、最专业的中小学教育资源门户网站 21世纪教育网 -- 中国最大型、最专业的中小学教育资源门户网站21世纪教育网 -- 中国最大型、最专业的中小学教育资源门户网站

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[7]已知:21世纪教育网 -- 中国最大型、最专业的中小学教育资源门户网站 21世纪教育网 -- 中国最大型、最专业的中小学教育资源门户网站21世纪教育网 -- 中国最大型、最专业的中小学教育资源门户网站  1) 问前多少项之和为最     大?(2)前多少项之和的绝对值最小?21世纪教育网 -- 中国最大型、最专业的中小学教育资源门户网站

 解:1  21世纪教育网 -- 中国最大型、最专业的中小学教育资源门户网站21世纪教育网 -- 中国最大型、最专业的中小学教育资源门户网站     21世纪教育网 -- 中国最大型、最专业的中小学教育资源门户网站21世纪教育网 -- 中国最大型、最专业的中小学教育资源门户网站

     221世纪教育网 -- 中国最大型、最专业的中小学教育资源门户网站21世纪教育网 -- 中国最大型、最专业的中小学教育资源门户网站

        21世纪教育网 -- 中国最大型、最专业的中小学教育资源门户网站近于0时其和绝对值最小21世纪教育网 -- 中国最大型、最专业的中小学教育资源门户网站

        令:21世纪教育网 -- 中国最大型、最专业的中小学教育资源门户网站  1024+21世纪教育网 -- 中国最大型、最专业的中小学教育资源门户网站21世纪教育网 -- 中国最大型、最专业的中小学教育资源门户网站

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[8]项数是21世纪教育网 -- 中国最大型、最专业的中小学教育资源门户网站的等差数列,中间两项为21世纪教育网 -- 中国最大型、最专业的中小学教育资源门户网站是方程21世纪教育网 -- 中国最大型、最专业的中小学教育资源门户网站的两根,求证此数列的和21世纪教育网 -- 中国最大型、最专业的中小学教育资源门户网站是方程 21世纪教育网 -- 中国最大型、最专业的中小学教育资源门户网站的根。 (21世纪教育网 -- 中国最大型、最专业的中小学教育资源门户网站21世纪教育网 -- 中国最大型、最专业的中小学教育资源门户网站

 证明:依题意21世纪教育网 -- 中国最大型、最专业的中小学教育资源门户网站     21世纪教育网 -- 中国最大型、最专业的中小学教育资源门户网站

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21世纪教育网 -- 中国最大型、最专业的中小学教育资源门户网站       21世纪教育网 -- 中国最大型、最专业的中小学教育资源门户网站   (获证)。 21世纪教育网 -- 中国最大型、最专业的中小学教育资源门户网站

四、典型习题导练21世纪教育网 -- 中国最大型、最专业的中小学教育资源门户网站

1.已知21世纪教育网 -- 中国最大型、最专业的中小学教育资源门户网站,求21世纪教育网 -- 中国最大型、最专业的中小学教育资源门户网站21世纪教育网 -- 中国最大型、最专业的中小学教育资源门户网站21世纪教育网 -- 中国最大型、最专业的中小学教育资源门户网站

2.设21世纪教育网 -- 中国最大型、最专业的中小学教育资源门户网站,求证:21世纪教育网 -- 中国最大型、最专业的中小学教育资源门户网站21世纪教育网 -- 中国最大型、最专业的中小学教育资源门户网站

3.求和: 21世纪教育网 -- 中国最大型、最专业的中小学教育资源门户网站21世纪教育网 -- 中国最大型、最专业的中小学教育资源门户网站

4.求和: 21世纪教育网 -- 中国最大型、最专业的中小学教育资源门户网站21世纪教育网 -- 中国最大型、最专业的中小学教育资源门户网站

5.已知21世纪教育网 -- 中国最大型、最专业的中小学教育资源门户网站依次成等差数列,求证:21世纪教育网 -- 中国最大型、最专业的中小学教育资源门户网站依次成等差数列.21世纪教育网 -- 中国最大型、最专业的中小学教育资源门户网站

6.在等差数列21世纪教育网 -- 中国最大型、最专业的中小学教育资源门户网站中, 21世纪教育网 -- 中国最大型、最专业的中小学教育资源门户网站,则 21世纪教育网 -- 中国最大型、最专业的中小学教育资源门户网站       )。21世纪教育网 -- 中国最大型、最专业的中小学教育资源门户网站

A72  B60  C48  D3621世纪教育网 -- 中国最大型、最专业的中小学教育资源门户网站

7. 已知21世纪教育网 -- 中国最大型、最专业的中小学教育资源门户网站是等差数列,且满足21世纪教育网 -- 中国最大型、最专业的中小学教育资源门户网站,则21世纪教育网 -- 中国最大型、最专业的中小学教育资源门户网站等于________21世纪教育网 -- 中国最大型、最专业的中小学教育资源门户网站

8.已知数列21世纪教育网 -- 中国最大型、最专业的中小学教育资源门户网站成等差数列,且21世纪教育网 -- 中国最大型、最专业的中小学教育资源门户网站,求21世纪教育网 -- 中国最大型、最专业的中小学教育资源门户网站的值。21世纪教育网 -- 中国最大型、最专业的中小学教育资源门户网站

 

§4.2等比数列的通项与求和21世纪教育网 -- 中国最大型、最专业的中小学教育资源门户网站

一、知识导学21世纪教育网 -- 中国最大型、最专业的中小学教育资源门户网站

1. 等比数列:一般地,如果一个数列从第2项起,每一项与它的前一项的比都等于 同 一 个 常 数,那 么 这 个 数 列 就 叫 做 等 比 数 列,这个常数叫做等比数列的公比,公比通常用字母q表示.21世纪教育网 -- 中国最大型、最专业的中小学教育资源门户网站

2. 等比中项:若a,G,b成等比数列,则称G 为a 和b 的等比中项.21世纪教育网 -- 中国最大型、最专业的中小学教育资源门户网站

3.等比数列的前n项和公式:21世纪教育网 -- 中国最大型、最专业的中小学教育资源门户网站 21世纪教育网 -- 中国最大型、最专业的中小学教育资源门户网站

二、疑难知识导析21世纪教育网 -- 中国最大型、最专业的中小学教育资源门户网站

1.由于等比数列的每一项都可能作分母,故每一项均不为0,因此q也不为0.21世纪教育网 -- 中国最大型、最专业的中小学教育资源门户网站

2.对于公比q,要注意它是每一项与它前一项的比,防止把相邻两项的比的次序颠倒.21世纪教育网 -- 中国最大型、最专业的中小学教育资源门户网站

3.“从第2项起”是因为首项没有“前一项”,同时应注意如果一个数列不是从第2项起,而是从第3项或第4项起每一项与它前一项的比都是同一个常数,此数列不是等比数列,这时可以说此数列从. 2项或第3项起是一个等比数列.21世纪教育网 -- 中国最大型、最专业的中小学教育资源门户网站

4.在已知等比数列的a1q的前提下,利用通项公式an=a1qn-1,可求出等比数列中的任一项.21世纪教育网 -- 中国最大型、最专业的中小学教育资源门户网站

5.在已知等比数列中任意两项的前提下,使用an=amqn-m可求等比数列中任意一项.21世纪教育网 -- 中国最大型、最专业的中小学教育资源门户网站

6.等比数列{an}的通项公式an=a1qn-1可改写为21世纪教育网 -- 中国最大型、最专业的中小学教育资源门户网站.q>0,且q21世纪教育网 -- 中国最大型、最专业的中小学教育资源门户网站1时,y=qx是一个指数函数,而21世纪教育网 -- 中国最大型、最专业的中小学教育资源门户网站是一个不为0 的常数与指数函数的积,因此等比数列{an}的图象是函数21世纪教育网 -- 中国最大型、最专业的中小学教育资源门户网站的图象上的一群孤立的点.21世纪教育网 -- 中国最大型、最专业的中小学教育资源门户网站

7.在解决等比数列问题时,如已知,a1and21世纪教育网 -- 中国最大型、最专业的中小学教育资源门户网站n中任意三个,可求其余两个。21世纪教育网 -- 中国最大型、最专业的中小学教育资源门户网站

三、经典例题导讲21世纪教育网 -- 中国最大型、最专业的中小学教育资源门户网站

[1] 已知数列21世纪教育网 -- 中国最大型、最专业的中小学教育资源门户网站的前n项之和Sn=aqn21世纪教育网 -- 中国最大型、最专业的中小学教育资源门户网站为非零常数),则21世纪教育网 -- 中国最大型、最专业的中小学教育资源门户网站为( )。21世纪教育网 -- 中国最大型、最专业的中小学教育资源门户网站

A.等差数列   21世纪教育网 -- 中国最大型、最专业的中小学教育资源门户网站

B.等比数列  21世纪教育网 -- 中国最大型、最专业的中小学教育资源门户网站

C.既不是等差数列,也不是等比数列21世纪教育网 -- 中国最大型、最专业的中小学教育资源门户网站

D.既是等差数列,又是等比数列21世纪教育网 -- 中国最大型、最专业的中小学教育资源门户网站

错解21世纪教育网 -- 中国最大型、最专业的中小学教育资源门户网站

21世纪教育网 -- 中国最大型、最专业的中小学教育资源门户网站21世纪教育网 -- 中国最大型、最专业的中小学教育资源门户网站

21世纪教育网 -- 中国最大型、最专业的中小学教育资源门户网站(常数)

21世纪教育网 -- 中国最大型、最专业的中小学教育资源门户网站21世纪教育网 -- 中国最大型、最专业的中小学教育资源门户网站为等比数列,即B

错因:忽略了21世纪教育网 -- 中国最大型、最专业的中小学教育资源门户网站中隐含条件n1.

正解:当n1时,a1=S1aq;

n>1时,21世纪教育网 -- 中国最大型、最专业的中小学教育资源门户网站

21世纪教育网 -- 中国最大型、最专业的中小学教育资源门户网站(常数)

21世纪教育网 -- 中国最大型、最专业的中小学教育资源门户网站

21世纪教育网 -- 中国最大型、最专业的中小学教育资源门户网站21世纪教育网 -- 中国最大型、最专业的中小学教育资源门户网站既不是等差数列,也不是等比数列,选C

[2] 已知等比数列21世纪教育网 -- 中国最大型、最专业的中小学教育资源门户网站的前n项和记为SnS10=10 S30=70,则S40等于.

错解S30= S10·q 2. 21世纪教育网 -- 中国最大型、最专业的中小学教育资源门户网站 q 27q21世纪教育网 -- 中国最大型、最专业的中小学教育资源门户网站21世纪教育网 -- 中国最大型、最专业的中小学教育资源门户网站 S40= S30·q =21世纪教育网 -- 中国最大型、最专业的中小学教育资源门户网站.

错因:是将等比数列中Sm, S2m Sm, S3m S2m成等比数列误解为Sm, S2m, S3m成等比数列.

正解:由题意:21世纪教育网 -- 中国最大型、最专业的中小学教育资源门户网站21世纪教育网 -- 中国最大型、最专业的中小学教育资源门户网站

21世纪教育网 -- 中国最大型、最专业的中小学教育资源门户网站S40=21世纪教育网 -- 中国最大型、最专业的中小学教育资源门户网站.

[3] 求和:a+a2+a3++an.

错解21世纪教育网 -- 中国最大型、最专业的中小学教育资源门户网站 a+a2+a3++an21世纪教育网 -- 中国最大型、最专业的中小学教育资源门户网站.

错因:是(1)数列{an}不一定是等比数列,不能直接套用等比数列前n项和公式(2)用等比数列前n项和公式应讨论q是否等于1.

正解:当a0时,a+a2+a3++an0;

  a1时,a+a2+a3++ann;

a21世纪教育网 -- 中国最大型、最专业的中小学教育资源门户网站1时,21世纪教育网 -- 中国最大型、最专业的中小学教育资源门户网站 a+a2+a3++an21世纪教育网 -- 中国最大型、最专业的中小学教育资源门户网站.

[4]21世纪教育网 -- 中国最大型、最专业的中小学教育资源门户网站均为非零实数,21世纪教育网 -- 中国最大型、最专业的中小学教育资源门户网站

      求证:21世纪教育网 -- 中国最大型、最专业的中小学教育资源门户网站成等比数列且公比为21世纪教育网 -- 中国最大型、最专业的中小学教育资源门户网站

证明:

证法一:关于21世纪教育网 -- 中国最大型、最专业的中小学教育资源门户网站的二次方程21世纪教育网 -- 中国最大型、最专业的中小学教育资源门户网站有实根,

  21世纪教育网 -- 中国最大型、最专业的中小学教育资源门户网站,∴21世纪教育网 -- 中国最大型、最专业的中小学教育资源门户网站

  则必有:21世纪教育网 -- 中国最大型、最专业的中小学教育资源门户网站,即21世纪教育网 -- 中国最大型、最专业的中小学教育资源门户网站,∴非零实数21世纪教育网 -- 中国最大型、最专业的中小学教育资源门户网站成等比数列

  设公比为21世纪教育网 -- 中国最大型、最专业的中小学教育资源门户网站,则21世纪教育网 -- 中国最大型、最专业的中小学教育资源门户网站21世纪教育网 -- 中国最大型、最专业的中小学教育资源门户网站代入

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证法二:21世纪教育网 -- 中国最大型、最专业的中小学教育资源门户网站

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      21世纪教育网 -- 中国最大型、最专业的中小学教育资源门户网站,∴21世纪教育网 -- 中国最大型、最专业的中小学教育资源门户网站,且21世纪教育网 -- 中国最大型、最专业的中小学教育资源门户网站

      21世纪教育网 -- 中国最大型、最专业的中小学教育资源门户网站非零,∴21世纪教育网 -- 中国最大型、最专业的中小学教育资源门户网站

[5]在等比数列21世纪教育网 -- 中国最大型、最专业的中小学教育资源门户网站中,21世纪教育网 -- 中国最大型、最专业的中小学教育资源门户网站,求该数列前7项之积。

  解:21世纪教育网 -- 中国最大型、最专业的中小学教育资源门户网站

 21世纪教育网 -- 中国最大型、最专业的中小学教育资源门户网站,∴前七项之积21世纪教育网 -- 中国最大型、最专业的中小学教育资源门户网站 

[6]求数列21世纪教育网 -- 中国最大型、最专业的中小学教育资源门户网站n项和

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两式相减:21世纪教育网 -- 中国最大型、最专业的中小学教育资源门户网站

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[7]从盛有质量分数为20%的盐水2kg的容器中倒出1kg盐水,然后加入1kg水,以后每次都倒出1kg盐水,然后再加入1kg水,

问:(1)5次倒出的的1kg盐水中含盐多kg

    (2)6次倒出后,一共倒出多少kg盐?此时加1kg水后容器内盐水的盐的质量分数为多少?

解:(1)每次倒出的盐的质量所成的数列为{an},则:

  a1= 0.2 kg,   a2=21世纪教育网 -- 中国最大型、最专业的中小学教育资源门户网站×0.2kg,    a3= (21世纪教育网 -- 中国最大型、最专业的中小学教育资源门户网站)2×0.2kg

 由此可见:an= (21世纪教育网 -- 中国最大型、最专业的中小学教育资源门户网站)n-1×0.2kg,   a5= (21世纪教育网 -- 中国最大型、最专业的中小学教育资源门户网站)5-1×0.2= (21世纪教育网 -- 中国最大型、最专业的中小学教育资源门户网站)4×0.2=0.0125kg)。

    (2)(1){an}是等比数列    a1=0.2 ,    q=21世纪教育网 -- 中国最大型、最专业的中小学教育资源门户网站 

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答:第5次倒出的的1kg盐水中含盐0.0125kg6次倒出后,一共倒出0.39375kg盐,此时加1kg水后容器内盐水的盐的质量分数为0.003125

四、典型习题导练

1.求下列各等比数列的通项公式:

1)   a1=-2,  a3=-8

2)   a1=5, 2an+1=-3an

3)   a1=5, 21世纪教育网 -- 中国最大型、最专业的中小学教育资源门户网站

2.在等比数列21世纪教育网 -- 中国最大型、最专业的中小学教育资源门户网站,已知21世纪教育网 -- 中国最大型、最专业的中小学教育资源门户网站21世纪教育网 -- 中国最大型、最专业的中小学教育资源门户网站,求21世纪教育网 -- 中国最大型、最专业的中小学教育资源门户网站.

3.已知无穷数列21世纪教育网 -- 中国最大型、最专业的中小学教育资源门户网站

      求证:(1)这个数列成等比数列

    2)这个数列中的任一项是它后面第五项的21世纪教育网 -- 中国最大型、最专业的中小学教育资源门户网站

    3)这个数列的任意两项的积仍在这个数列中。

4.设数列21世纪教育网 -- 中国最大型、最专业的中小学教育资源门户网站21世纪教育网 -- 中国最大型、最专业的中小学教育资源门户网站21世纪教育网 -- 中国最大型、最专业的中小学教育资源门户网站求此数列前21世纪教育网 -- 中国最大型、最专业的中小学教育资源门户网站项的和。

5.已知数列{an}中,a1=-2an+1=Sn,求an ,Sn

6.是否存在数列{an},其前项和Sn组成的数列{Sn}也是等比数列,且公比相同?

7.在等比数列21世纪教育网 -- 中国最大型、最专业的中小学教育资源门户网站中,21世纪教育网 -- 中国最大型、最专业的中小学教育资源门户网站,求21世纪教育网 -- 中国最大型、最专业的中小学教育资源门户网站的范围。

 

§4.3数列的综合应用

一、知识导学

1. 数学应用问题的教学已成为中学数学教学与研究的一个重要内容.解答数学应用问题的核心是建立数学模型,有关平均增长率、利率(复利)以及等值增减等实际问题,需利用数列知识建立数学模型.

2. 应用题成为热点题型,且有着继续加热的趋势,因为数列在实际生活中应用比较广泛,所以数列应用题占有很重要的位置,解答数列应用题的基本步骤:(1)阅读理解材料,且对材料作适当处理;(2)建立变量关系,将实际问题转化为数列模型;(3)讨论变量性质,挖掘题目的条件,分清该数列是等差数列还是等比数列,是求Sn还是求an.一般情况下,增或减的量是具体体量时,应用等差数列公式;增或减的量是百分数时,应用等比数列公式.若是等差数列,则增或减的量就是公差;若是等比数列,则增或减的百分数,加1就是公比q.

二、疑难知识导析

 1.首项为正(或负)的递减(或递增)的等差数列前n项和的最大(或最小)问题,转化为解不等式21世纪教育网 -- 中国最大型、最专业的中小学教育资源门户网站解决;

2.熟记等差、等比数列的定义,通项公式,前n项和公式,在用等比数列前n项和公式时,勿忘分类讨论思想;

3.等差数列中, am=an+ (nm)d, 21世纪教育网 -- 中国最大型、最专业的中小学教育资源门户网站; 等比数列中,an=amqn-m; 21世纪教育网 -- 中国最大型、最专业的中小学教育资源门户网站

4.m+n=p+qmnpq21世纪教育网 -- 中国最大型、最专业的中小学教育资源门户网站)时,对等差数列{an}有:am+an=ap+aq;对等比数列{an}有:aman=apaq

5.{an}{bn}是等差数列,则{kan+bbn}(kb是非零常数)是等差数列;若{an}{bn}是等比数列,则{kan}、{anbn}等也是等比数列;

6.等差(或等比)数列的“间隔相等的连续等长片断和序列”(如a1+a2+a3,a4+a5+a6,a7+a8+a9)仍是等差(或等比)数列;

7.对等差数列{an,当项数为2n时,S-Snd;项数为2n1时,SSan21世纪教育网 -- 中国最大型、最专业的中小学教育资源门户网站);

8.若一阶线性递推数列an=kan1+bk0,k1,则总可以将其改写变形成如下形式:21世纪教育网 -- 中国最大型、最专业的中小学教育资源门户网站(n2),于是可依据等比数列的定义求出其通项公式;

三、经典例题导讲

[1]21世纪教育网 -- 中国最大型、最专业的中小学教育资源门户网站是由正数组成的等比数列,Sn是其前n项和.证明:21世纪教育网 -- 中国最大型、最专业的中小学教育资源门户网站

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21世纪教育网 -- 中国最大型、最专业的中小学教育资源门户网站  原不等式成立.

错因:在利用等比数列前n项和公式时,忽视了q1的情况.

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[2] 一个球从100米高处自由落下,每次着地后又跳回至原高度的一半落下,当它第10次着地时,共经过了多少米?(精确到1米)

错解:因球 每次着地后又跳回至原高度的一半,从而每次着地之间经过的路程形成了一公比为21世纪教育网 -- 中国最大型、最专业的中小学教育资源门户网站的等比数列,又第一次着地时经过了100米,故当它第10次着地时,共经过的路程应为前10项之和.

21世纪教育网 -- 中国最大型、最专业的中小学教育资源门户网站199(米)

错因:忽视了球落地一次的路程有往有返的情况.

正解:球第一次着地时经过了100米,从这时到球第二次着地时,一上一下共经过了21世纪教育网 -- 中国最大型、最专业的中小学教育资源门户网站100(米)…因此到球第10次着地时共经过的路程为

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21世纪教育网 -- 中国最大型、最专业的中小学教育资源门户网站21世纪教育网 -- 中国最大型、最专业的中小学教育资源门户网站300(米)

答:共经过300米。

[3] 一对夫妇为了给他们的独生孩子支付将来上大学的费用,从孩子一出生就在每年生日,到银行储蓄a元一年定期,若年利率为r保持不变,且每年到期时存款(含利息)自动转为新的一年定期,当孩子18岁上大学时,将所有存款(含利息)全部取回,则取回的钱的总数为多少?

错解:21世纪教育网 -- 中国最大型、最专业的中小学教育资源门户网站年利率不变,每年到期时的钱数形成一等比数列,那18年时取出的钱数应为以a为首项,公比为1+r的等比数列的第19项,即a19=a(1+r)18.

错因:只考虑了孩子出生时存入的a元到18年时的本息,而题目要求是每年都要存入a.

正解:不妨从每年存入的a元到18年时产生的本息 入手考虑,出生时的a元到18年时变为a(1+r)18

1岁生日时的a元到18岁时成为a(1+r)17

2岁生日时的a元到18岁时成为a(1+r)16

……

17岁生日时的a元到18岁时成为a(1+r)1

21世纪教育网 -- 中国最大型、最专业的中小学教育资源门户网站 a(1+r)18+ a(1+r)17+ a(1+r)1

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答:取出的钱的总数为21世纪教育网 -- 中国最大型、最专业的中小学教育资源门户网站

 [4]求数列21世纪教育网 -- 中国最大型、最专业的中小学教育资源门户网站的前n项和。

  解:设数列的通项为an,前n项和为Sn,则 21世纪教育网 -- 中国最大型、最专业的中小学教育资源门户网站

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[5]求数列21世纪教育网 -- 中国最大型、最专业的中小学教育资源门户网站n项和

解:设数列的通项为bn,则21世纪教育网 -- 中国最大型、最专业的中小学教育资源门户网站

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[6]设等差数列{an}的前n项和为Sn,且21世纪教育网 -- 中国最大型、最专业的中小学教育资源门户网站

求数列{an}的前n项和

  解:取n =1,则21世纪教育网 -- 中国最大型、最专业的中小学教育资源门户网站

又由 21世纪教育网 -- 中国最大型、最专业的中小学教育资源门户网站 可得:21世纪教育网 -- 中国最大型、最专业的中小学教育资源门户网站

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[7]大楼共n层,现每层指定一人,共n人集中到设在第k层的临时会议室开会,问k如何确定能使n位参加人员上、下楼梯所走的路程总和最短。(假定相邻两层楼梯长相等)

解:设相邻两层楼梯长为a,则

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n为奇数时,取21世纪教育网 -- 中国最大型、最专业的中小学教育资源门户网站   S达到最小值

n为偶数时,取21世纪教育网 -- 中国最大型、最专业的中小学教育资源门户网站   S达到最大值 

四、典型习题导练

1.在[10002000]内能被3整除且被4除余1的整数有多少个?

2.某城市1991年底人口为500万,人均住房面积为6 m2,如果该城市每年人口平均增长率为1%,每年平均新增住房面积为30m2,求2000年底该城市人均住房面积为多少m2(精确到0.01)

3.已知数列21世纪教育网 -- 中国最大型、最专业的中小学教育资源门户网站中,21世纪教育网 -- 中国最大型、最专业的中小学教育资源门户网站是它的前21世纪教育网 -- 中国最大型、最专业的中小学教育资源门户网站项和,并且21世纪教育网 -- 中国最大型、最专业的中小学教育资源门户网站21世纪教育网 -- 中国最大型、最专业的中小学教育资源门户网站

  1) 设21世纪教育网 -- 中国最大型、最专业的中小学教育资源门户网站,求证数列21世纪教育网 -- 中国最大型、最专业的中小学教育资源门户网站是等比数列;

  2) 设21世纪教育网 -- 中国最大型、最专业的中小学教育资源门户网站,求证数列21世纪教育网 -- 中国最大型、最专业的中小学教育资源门户网站是等差数列。

4.在△ABC中,三边21世纪教育网 -- 中国最大型、最专业的中小学教育资源门户网站成等差数列,21世纪教育网 -- 中国最大型、最专业的中小学教育资源门户网站也成等差数列,求证△ABC为正三角形。 5. 三数成等比数列,若将第三个数减去32,则成等差数列,若再将这等差数列的第二个数减去4,则又成等比数列,求原来三个数。

6. 已知 21世纪教育网 -- 中国最大型、最专业的中小学教育资源门户网站是一次函数,其图象过点 21世纪教育网 -- 中国最大型、最专业的中小学教育资源门户网站,又 21世纪教育网 -- 中国最大型、最专业的中小学教育资源门户网站成等差数列,求学科网(www.zxxk.com)--国内最大的教育资源门户,提供试卷、教案、课件、论文、素材及各类教学资源下载,还有大量而丰富的教学相关资讯!的值

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