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2015年普通高等学校招生全国统一考试（四川卷）
数 学（文史类）
本试题卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）。第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至4页。满分l50
分。考试时间l20分钟。考生作答时，须将答案答在答题卡上，在本试题卷、草稿纸上答题无效。考试结束后，将本试题卷和答题卡一并交回。
第Ⅰ卷（选择题 共50分）
注意事项：
必须使用2B铅笔在答题卡上将所选答案对应的标号涂黑。
第Ⅰ卷共10小题。
一、选择题：本大题共10个小题,每小题5分,共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项
是符合题目要求的。
1.设集合
，集合
，则
（A）
（B）
（C）
（D）
【答案】A
【解析】∵
，
，
，选A.
2.设向量
与向量共线，则实数
(A)
(B)
(C) (D)
【答案】B
【解析】由共线向量，的坐标运算可知，
即，选B.
3.某学校为了了解三年级、六年级、九年级这三个年级之间的学生视力是否存在显著差异，拟从这三个年级中按人数比例抽取部分学生进行调查，则最合理的抽样方法是
（A)抽签法
（B）系统抽样法
（C）分层抽样法
（D）随机数法
【答案】C
【解析】因为是为了解各年级之间的学生视力是否存在显著差异，所以选择分层抽样法。
4.设，为正实数，则“”是“”的
(A)充要条件
(B)充分不必要条件
(C)必要不充分条件
(D)既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】由已知当时，∴，“”是“”的充分条件。反过来由，可得，∴“”是“”的必要条件，综上，“”是“”的充要条件，选A.
5.下列函数中，最小正周期为的奇函数是
A.
B.
C.
D.
【答案】A
【解析】
A. ,可知其满足题意;
B.
,可知其最小正周期为，偶函数;
C.
,最小正周期为，非奇非偶函数;
D. ,可知其最小正周期为，非奇非偶函数.选A
6.执行如图所示的程序框图，输出S的值是
(A) (B)
(C)-
(D)
【答案】D
【解析】易得当k=1,2,3,4时执行的是否，当k=5时就执行是的步骤，
所以，选D.
7.过双曲线的右焦点且与x轴垂直的直线，交该双曲线的两条渐近线于A，B两点，则
（A）
（B）
（C）6
（D）
【答案】D
【解析】由题意可知双曲线的渐近线方程为，且右焦点，则直线与两条渐近线的交点分别为，，∴,选D.
8. 某食品的保鲜时间（单位：小时）与储藏温度（单位：）满足函数关系（
为自然对数的底数，k，b为常数）。若该食品在的保鲜时间是192小时，在23的保鲜时间是48小时，则该食品在33的保鲜时间是
(A)16小时
(B)20小时
(C)24小时
(D)21小时
【答案】C
【解析】
，，∴，
∴当时，，∴,选C.
9. 设实数满足，则的最大值为
(A)
(B) (C)
12
(D)14
【答案】A
【解析】由第一个条件得：。于是，，当且仅当时取到最大值。经验证，在可行域内，选.
10.设直线与抛物线相交于A，B两点，与圆相切于点M，且M为线 段AB的中点.若这样的直线恰有4条，则的取值范围是
（A）
（B）
（C）
（D）
【答案】D
【解析】
设，，，则
两式相减，得：，当直线的斜率不存在时，显然符合条件的直线有两条。当直线的斜率存在时，可得：，又∵
，∴，∴
由于M在抛物线的内部，∴，
∴，∴，
因此，，选D.
第Ⅱ卷（非选择题 共100分）
注意事项：必须使用0.5毫米黑色墨迹签字笔在答题卡上题目说只是的区域内作答。作图可先用铅笔绘出，确认后再用0.5毫米黑色墨迹签字笔描清楚。答在试卷、草稿纸上无效。
二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分。
11. 设是虚数单位，则复数_________.
【答案】
【解析】由题意可知：
12. 的值是 ________.
【答案】
【解析】
13. .已知，则的值是________.
【答案】-1
【解析】由已知得，，
∴
14. 三棱柱中，，其正视图和侧视图都是边长为1的正方形，俯视图是直角边长为1的等腰直角三角形，设点M,N,P分别是，，的中点，则三棱锥的体积是_______.
【答案】
【解析】采用等积法，
15.已知函数， (其中)。对于不相等的实数，，设，，现有如下命题：
(1) 对于任意不相等的实数，，都有；
(2) 对于任意的及任意不相等的实数，，都有；
(3) 对于任意的，存在不相等的实数，，使得；
(4) 对于任意的，存在不相等的实数，，使得。
其中的真命题有_________________(写出所有真命题的序号）。
【答案】(1)
(4)
【解析】
(1)设，,∵函数是增函数，∴，， 则=>0,所以正确；
(2)设，则，∴
不妨我们设，则，矛盾，所以(2)错。
(3)∵，由(1)(2)可得：，化简得到，
，也即，令，即对于任意的函数在定义域范围内存在有两个不相等的实数根，。则，显然当时，恒成立，即单调递增，最多与x轴有一个交点，不满足题意，所以错误。
(4)同理可得，设，即对于任意的函数在定义域范围内存在有两个不相等的实数根，，从而不是恒为单调函数。，恒成立，∴单调递增，又∵时，，时，。所以
为先减后增的函数，满足要求，所以正确。
三、简答题：本大题共6小题，共75分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
16.（本小题满分12分）
设数列
的前
项和
，且
，
，
成等差数列。
（Ⅰ）求数列的通项公式；
（Ⅱ）记数列
的前项和
，求。
【解答】：
（Ⅰ）当
时有，
则
，
（
） ，∴数列
是以
为首项，2为公比的等比数列。
又由题意得
，
，∴
，∴
（Ⅱ）由题意得
，∴
17.（本小题满分12分）
一个小客车有5个座位，其座位号为
，乘客
的座位号为，他们按照座位号顺序先后上车，乘客
因身体原因没有坐自己号座位，这时司机要求余下的乘客按以下规则就坐：如果自己的座位空着，就只能坐自己的座位。如果自己的座位已有乘客就坐，就在这5个座位的剩余空位中选择座位.
（I）若乘客坐到了3号座位，其他乘客按规则就座，则此时共有4种坐法。下表给出其中两种坐法，请填入余下两种坐法（将乘客就坐的座位号填入表中空格处）
|
乘客
|
|
|
|
|
 
|
|
座位号
|
3
|
2
|
1
|
4
|
5
|
|
3
|
2
|
4
|
5
|
1
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
（II）若乘客坐到了2号座位，其，他乘客按规则就坐，求乘客坐到5号座位的概率。
【解答】
（Ⅰ）当乘客坐在3号位置上，此时的位置没有被占，只能坐在2位置，位置被占，可选剩下的任何，即可选1、4、5:①当选1位置，位置没被占，只能选4位置，选剩下的，只有一种情况；②当
选4位置，可选5位置也可选1位置，选剩下的，有两种情况；③当 选5位置，只可选4位置选剩下的，有一种情况；
|
乘客
|
|
|
|
|
|
|
座位号
|
3
|
2
|
1
|
4
|
5
|
|
3
|
2
|
4
|
5
|
1
|
|
3
|
2
|
4
|
1
|
5
|
|
3
|
2
|
5
|
4
|
1
|
（Ⅱ）这个问情况比较复杂，需要列表解答，当坐2位置时，位置被占，可选剩下的
座位，下表列出了所有可能
|
乘客
|
|
|
|
|
|
|
座位号
|
2
|
1
|
3
|
4
|
5
|
|
2
|
3
|
4
|
5
|
1
|
|
2
|
3
|
4
|
1
|
5
|
|
2
|
3
|
1
|
4
|
5
|
|
2
|
3
|
5
|
4
|
1
|
|
2
|
4
|
3
|
1
|
5
|
|
2
|
4
|
3
|
5
|
1
|
|
2
|
5
|
3
|
4
|
1
|
综上，共有8种情况，坐在5位置上的情况有4种，所求概率为
18.（本小题满分
分）
一个正方体的平面展开图及该正方体的直观图的示意图如图所示。
（I）请将字母
标记在正方体相应的顶点处（不需说明理由）；
（II）判断平面
与平面
的位置关系，并证明你的结论；
（III）证明：
平面
。
【解答】
（I）如答图1所示
答图1
答图2
答图3
（II）如答图2所示，连接
，易得四边形
和四边形
为
，所以
，
，又∵
平面，且
平面，∴
平面，
平面，又∵
平面，且
，所以平面
平面
（III）如答图3所示，易得
，∴
平面
,
得∵
平面
，∴
，同理可得，
，又
，
∴平面。
19.（本小题满分12分）
已知
为
的内角，
是关于
的方程
的两实根.
（Ⅰ）求
的大小；
（Ⅱ）若
，求
的值.
【解答】
（Ⅰ）是关于的方程
的两个根可得：
，
，所以
，则
，由三角形内角和为
可知，
.
（Ⅱ）在
中，由正弦定理可得，
求得
，则
.又
，由三角形内角和为及诱导公式可知
，解得
，将代入
，解得
.
20.（本小题满分13分）
如图，椭圆
（
）的离心率是
，点
在短轴
上，且
。
（Ⅰ）球椭圆
的方程；
（Ⅱ）设
为坐标原点，过点
的动直线与椭圆交于
两点。是否存在常数
，使得
为定值？若存在，求的值；若不存在，请说明理由。
【解答】
（Ⅰ）由知，
，解得
，
又∵由离心率是得到
；
∴椭圆E的方程为：
。
(Ⅱ)当直线AB的斜率存在时，设AB的解析式为
，
，
联立：
，显然
，由韦达定理可知，
，
，
∴
，
这里，与
的取值无关，∴
，即
。
此时
，
当直线AB的斜率不存在时，AB就是CD，
那么
∴
综上，存在常数，使得
为定值
。
21.已知函数
，其中
，设
是
的导函数.
（Ⅰ）讨论的单调性；
（Ⅱ）证明：存在
，使得
恒成立，且
在区间(1，
)内有唯一解。
【解答】：
（Ⅰ）∵，∴求导可得，
，即 
∴
恒成立，∴
在其定义域上单调递增。
（Ⅱ）∵，∴由(Ⅰ)可知
在(1，)内单调递增。
又
时，
，
当
时，显然
。而
在(1，)是单调递增的，因此在
(1，)内必定存在唯一的
使得
……………..
①。
∴当
时，
，当
时，
∴在
上单调递减，在
上单调递增，∴
。
由已知条件在区间
内有唯一解，∴必有
。
即
……………………. ②，
由①式得到
带入②式化简得：
，即
，
令
，
，
恒成立，∴
为减函数，
∵
，∴在
内有零点，即
时，有解，此时
为增函数，且
，
即。∴存在，使得恒成立，且在区间(1，)内有唯一解。
By：Kingslee
QMJY 杰少
