2015年浙江高考数学参考卷(理科)含答案

2015年浙江高考 数学(理科)参考试卷

一、选择题

1．已知a，b是实数，则“| a＋b |＝| a |＋| b |”是“ab＞0”的

A．充分不必要条件                 B．必要不充分条件  

C．充分必要条件                   D．既不充分也不必要条件

2．若函数f (x) (x∈R)是奇函数，则

A．函数f (x²)是奇函数               B．函数 [f (x) ]²是奇函数

C．函数f (x)x²是奇函数             D．函数f (x)＋x²是奇函数

3．若某几何体的三视图 (单位：cm) 如图所示，

则此几何体的体积是

A． cm³        

B． cm³        

C． cm³        

D． cm³

4．如图，在四边形ABCD中，AB⊥BC，AD⊥DC．

若||＝a，||＝b，则＝

A．b²－a²                          B．a²－b²       

C．a²＋b²                          D．ab

5．现有90 kg货物需要装成5箱，要求每一箱所装货物的

重量不超过其它任一箱所装货物重量的2倍．若某箱所

装货物的重量为x kg，则x的取值范围是

A．10≤x≤18           B．10≤x≤30       

C．18≤x≤30           D．15≤x≤30

6．若整数x，y满足不等式组 则2x＋y的最大值是

A．11      B．23       C．26        D．30

7．如图，F₁，F₂是双曲线C：(a＞0，b＞0)的左、右焦点，过F₁的直线与的左、右两支分别交于A，B两点．若 | AB | : | BF₂ | : | AF₂ |＝2 : 3 : 4，则双曲线的离心率为

A．4     B．       C．2        D．

8．如图，函数y＝f (x)的图象为折线ABC，设f ₁ (x)＝f (x)，

f _n+1 (x)＝f  [f _n(x)]，n∈N*，则函数y＝f ₄ (x)的图象为

 

A．                            B．           

 

 

 

 

C．                             D．

 

 

 

 

 

 

二、填空题

9．设全集，集合，，则

=         ，A∩B=         ，A∪B=         ．

10．设等差数列的公差为6，且为和的等比中项．则=         ，数列 的前n项和=         ．

11．设函数 则f(f (1) ) =         ；方程f(f (x) ) = 1的解是         ．

12．如图，在△ABC中，点D在BC边上，ADAC，

sin∠BAC=，AB=，AD=3，则BD的长为         ，△ABC的面积为         ．

13．设e₁，e₂为单位向量，非零向量b＝xe₁＋ye₂，x，y∈R．若e₁，e₂的夹角为，则的最大值等于         ．

14．设直线x－3y＋m＝0 (m≠0)与双曲线（a＞0,b＞0）的两条渐近线分别交于点A，B.若点P(m，0)满足，则该双曲线的离心率是         ．

15．如图，某人在垂直于水平地面ABC的墙面前的点A处进

行射击训练.已知点A到墙面的距离为AB，某目标点P沿

墙面上的射线CM移动，此人为了准确瞄准目标点P，需

计算由点A观察点P的仰角θ的大小.若AB＝15m，

AC＝25m，∠BCM＝30°，则tanθ的最大值是         ．

(仰角θ为直线AP与平面ABC所成角)

 (第15题图)

 

三、解答题

16．已知函数f (x)＝3 sin² ax＋sin ax cos ax＋2 cos² ax的周期为π，其中a＞0．

(Ⅰ) 求a的值；

(Ⅱ) 求f (x)的值域．

 

 

 

 

 

 

17．如图，平面ABCD⊥平面ADEF，其中ABCD为矩形，ADEF为梯形， AF∥DE，AF⊥FE，AF＝AD＝2，DE＝1．

(Ⅰ) 求异面直线EF与BC所成角的大小；

(Ⅱ) 若二面角A－BF－D的平面角的余弦值为，求CF的长．

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

18．如图，F₁，F₂是椭圆C：的左、右焦点，A，B是椭圆C上的两个动点，且线段AB的中点M在直线：x＝－上．

(Ⅰ) 若B点坐标为(0，1)，求点M的坐标；

(Ⅱ) 求的取值范围．

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

19．设数列a₁,a₂,…,a₂₀₁₅满足性质P：

，．

(Ⅰ)  (ⅰ) 若a₁,a₂,…,a₂₀₁₅是等差数列，求a_n；

(ⅱ) 是否存在具有性质P的等比数列a₁,a₂,…,a₂₀₁₅？

(Ⅱ) 求证：．

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

20．已知二次函数f (x) = ax²+bx+c (a>0)，方程f(x)－x=0的两个根x₁，x₂满足0<x₁<x₂<．

（Ⅰ）当x(0, x₁)时，证明x < f (x) < x₁；

（Ⅱ）设函数f (x) 的图象关于直线x = x₀对称，证明x₀<．

 

数学参考试卷(理科)答案

 

一、选择题

1．B   2．C   3．D   4．A   5．B   6．B   7．A   8．D

二、填空题

9．，，

10．-14，3n²-17n      11．0，       12．，

13．2                14．                15．

三、解答题

16．(Ⅰ) 由题意得

f (x)＝(1－cos 2ax)＋sin 2ax＋(1＋cos 2ax)

＝sin 2ax－cos 2ax＋

＝sin (2ax－)＋．

因为f (x)的周期为π，a＞0，所以

a＝1．                                         

 (Ⅱ) 由(Ⅰ)得

f (x)＝sin (2x－)＋，

所以f (x)的值域为[，]．

17．(Ⅰ) 延长AD，FE交于Q．

因为ABCD是矩形，所以

BC∥AD，

所以∠AQF是异面直线EF与BC所成的角．

在梯形ADEF中，因为DE∥AF，AF⊥FE，AF＝2，DE＝1得

∠AQF＝30°．

                                 

(Ⅱ) 方法一：

设AB＝x．取AF的中点G．由题意得

DG⊥AF．

因为平面ABCD⊥平面ADEF，AB⊥AD，所以

AB⊥平面ADEF，

所以

AB⊥DG．

所以

DG⊥平面ABF．

过G作GH⊥BF，垂足为H，连结DH，则DH⊥BF，

所以∠DHG为二面角A－BF－D的平面角．

在直角△AGD中，AD＝2，AG＝1，得

DG＝．

在直角△BAF中，由＝sin∠AFB＝，得

＝，

所以

GH＝．

在直角△DGH中，DG＝，GH＝，得

DH＝．

因为cos∠DHG＝＝，x＝，

所以

  AB＝．

又在梯形AFED中可得DF=2，

所以CF=．

方法二：设CD＝x．

以F为原点，AF，FQ所在的直线分别为x轴，y轴建立空间直角坐标系Fxyz．则

F(0，0，0)，A(－2，0，0)，E(，0，0)，D(－1，，0)，B(－2，0，x)，

所以

＝(1，－，0)，＝(2，0，－x)．

因为EF⊥平面ABF，所以平面ABF的法向量可取＝(0，1，0)．

设＝(x₁，y₁，z₁)为平面BFD的法向量，则

所以，可取＝(，1，)．

因为cos<，>＝＝，得

x＝，

即

CD＝．

又在梯形AFED中可得DF=2，所以CF=.

18．(Ⅰ) 因为点M 是AB的中点，所以可设点A.

代入椭圆方程，得或，

则A点坐标为或，所以M点坐标为

或．

(Ⅱ) 当直线AB垂直于x轴时，直线AB方程为x＝－，此时

＝．

当直线AB不垂直于x轴时，设直线AB的斜率为k，M(－，m) (m≠0)，A(x₁，y₁)，B(x₂，y₂)．

由  得

(x₁＋x₂)＋2(y₁＋y₂)＝0，

则

－1＋4mk＝0，

故

k＝．

此时，直线AB的方程为

y－m＝(x＋)，

即

y＝x＋．

联立  消去y，整理得

x²＋x＋ ＝0，

故Δ＝1－＞0，即

0＜m²＜，

所以

x₁＋x₂＝－1，   x₁x₂＝．

于是

＝(x₁－1)(x₂－1)＋y₁y₂

 ＝x₁x₂＋y₁y₂－(x₁＋x₂)＋1

＝x₁x₂＋y₁y₂＋2

＝x₁x₂＋(x₁＋)(x₂＋)＋2

＝ ．

令t＝1＋8m²，则1＜t＜8，于是

＝

             ＝(3t＋)．

所以，的取值范围为[，）．

19．(Ⅰ) （ⅰ）设等差数列a₁,a₂,…,a₂₀₁₅的公差为d，则

．

由题意得

，

所以，即．

当d = 0时，a₁=a₂=…=a₂₀₁₅=0，所以与性质P矛盾；

当d > 0时，由，，得，．

所以

．

当时，由，，得，．

所以

．

综上所述，或．

（ⅱ）设a₁,a₂,…,a₂₀₁₅是公比为的等比数列，则

当时，，则

，

与性质P矛盾.

 当时

.

与性质P矛盾.

因此不存在满足性质P的等比数列a₁,a₂,…,a₂₀₁₅．

(Ⅱ) 由条件知，必有a_i > 0，也必有a_j < 0 (i，j∈{1，2，…，2015}，且i≠j ) ．

设为所有a_i中大于0的数，为所有a_i中小于0的数．

由条件得a+a+…+a=，a+a+…+a= - ．所以

．

20． (Ⅰ)因为x₁，x₂是方程f (x) -x =0的根，所以

f (x) -x=a(x-x₁)(x-x₂) ．

当x∈(0，x₁)时，由于x₁< x₂，a > 0，所以 a(x-x₁)(x-x₂)>0，故

x < f (x) ．

因为x₁- f (x)= x₁-  a(x-x₁)(x-x₂) -x=(x₁-x)[ 1+a(x- x₂)]，

又 x₁-x > 0，1+a(x- x₂) = 1+ax-a x₂ > 1-a x₂> 0．于是

x₁- f (x) > 0．

从而

f (x)< x₁．

综上，x<f (x)< x₁．

(Ⅱ)由题意知．

因为x₁, x₂是方程f (x) -x = 0的根，即x₁, x₂是方程ax²+(b-1)x+c = 0的根，

所以

，

．

因为a x₂<1，所以

．