谈解题教学中即时评价的十个切入点

谈解题教学中即时评价的十个切入点

 

解题教学过程中即时性评价是教师对学生的解题学习活动信息、理解程度和学习表现进行处理和即兴点评的过程.即时性评价的作用在于形成反馈、产生激励、实施调控和引导，借此来协同学生的认知结构、教材结构及教师的认知结构间的多元认知关系，优化课堂教学结构，监控学生的学习进程，促进学生的深度学习.下面基于解题教学的实践，谈一谈解题教学过程中通过即时性评价协同解题教学中多元认知关系的十个切入点.

1．即时评价解题思路的合理性

解题教学过程中要通过即时性的评价，引导学生从使用已知条件、解题方法的选择、引用的知识和根据等方面来反思解题过程的合理性.

案例1  若动点 到 的距离和到直线 的距离相等，则点 的轨迹方程是什么？

多数同学给出如下解答：设点 ，根据题意有 ，整理得 .面对这个结果，我们可以追问：这个方程是什么曲线的方程？问题引发学生对方程结构的关注，经过变形和观察,发现方程可化为 ，由此可得 ，这是一条直线的方程.至此，我们可继续追问：轨迹为什么是直线呢？带着追问作简图，我们发现求出的直线与已知直线互相垂直，而且点 在已知直线上，所以到点 的距离和到直线 的距离相等的点的轨迹是一条过点 且垂直于原直线的直线.

2．即时评价解题过程的严密性

案例2  设 是 的内角， ，求 的值．

学生解答过程： 是 的内角， ，又 ，

当 是锐角时 ，当 是钝角时 ．

当 是锐角时 ，

当 是钝角时 ．

解完此题后，要求学生即时评价以上求解过程，考察问题解决的过程是否还可以改进？

经讨论后发现： ， ，又 ，

若 是钝角，则 此时 与 中内角和 矛盾， ．

以上对角的二次估计，是对解题严谨性的即时性评价，解题教学中，教师对学生解题过程的严谨性提出质疑，是培养学生的“元认知”能力很重要的途经.

3．即时评价解题方法的灵活性

案例3  过抛物线 的焦点作一条直线与抛物线相交于A、B两点，它们的横坐标之和等于5，问这样的直线有几条?

学生1:设直线AB的斜率为k，写出直线AB的方程，与抛物线 联立，推导出A、B两点横坐标与k的关系，进而由A、B两点横坐标之和等于5，推算符合条件的k的值的个数为2.

教师评价:以上是联列方程组求解的坐标法（解决此类问题的常规方法），答案是对的.抓住弦过焦点这一特点有没有其它的思路？

学生2：若弦AB的长等于通径，则这样的直线有一条，若弦AB的长小于通径，则这样的直线不存在，若弦AB的长大于通径，则这样的直线有2条，而抛物线 的通径长为4，由抛物线的定义可知，弦AB的长等于A、B两点到抛物线准线:x=-1的距离之和，即AB的长等于7，答案为2条.

教师评价：第一个同学是利用方程知识解决了该问题，第二位同学将直线AB的条数的判定转化为弦AB的长与通径的大小关系的判定，而对弦AB的长的计算，巧用抛物线的定义，将问题转化为A、B两点到抛物线准线距离之和，充分体现了解题的灵活性.

4．即时评价求解问题的统一性

案例4  已知关于 的方程 有实数解，求实数 的取值范围.

分析  通过分离变量，原题化归为求函数 的值域，基于“消元”的思想，可得

又  故

教师评价：我们要重视一类问题的核心问题的学习.如：以上问题就是以下几个问题的核心问题.（1）若方程： 在 上有实数解，求 的取值范围；（2）求函数 的值域；（3）实数 为何值时，圆 与抛物线 有交点？对于（3）可以作如下代换，令 即可发现，上述三个问题都围绕着“求 的值域”这一核心问题，由此看到以上解题的统一性和统领性. 以上解题过程给我们如下启示：数学学习既要重视“由薄到厚”（加强解题实践）的过程，又要重视“由厚到薄”的过程，要善于总结、归纳，进行“多题一解”的思考，寻求解题的统一性.

5．即时评价求解思想的深刻性

案例5  若 ，解不等式 .

分析 当 时，  可化为  当 时， 无解，原不等式解集为空集，当 时，原不等式解集为

教师评价：解含有参数的不等式，关键在于分类讨论和准确把握讨论标准.为了深度理解和处理含参数的不等式的方法的数学本质，我们应用比较法来考察如下问题：

对不等式 ，分别求满足下列条件的实数 的取值范围.

（1）不等式的解集为

（2）不等式在 上有解；

（3）不等式在 上恒成立；

（4）不等式的解集总是区间 的子集.

以上四个问题的处理方法如下：

    （1）据案例5， 时， 且  故 ；

（2）不等式在 上有解等价于  则 . 即 ；

（3）不等式在 上恒成立，等价于 且 且  则 ；即 ；

（4）不等式的解集总是区间 的子集，当 时，  此时   时解集为空集，故

以上四个问题表述相似，很容易混淆，通过即时性的类比与比较，可以更深刻地理解每个问题的求解思想，引导学生进行深度学习，还可以引导学生自觉养成比较认知的习惯.

6．即时评价解题学习的合作性

案例6  直线 过不同的两点 )、 ，求直线 的倾斜角 的取值范围.

在一次听课中，一位老师对以上问题，设计了如下的教学过程：这位老师将学生分成五组，让学生合作互动，互相评价（即时评价的一种形式）,以促进问题的解决.

第一组给出了如下解答： ，又 ，故

第三组却提出了质疑性评价：“还要考虑 时的情形，此时， 不存在， ，所以正确答案应是  

第四组提出了不同评价：“当 时，点A的坐标也是(0，1)，与点B重合，不合题意，所以第一组的答案是正确的.”

第二组给出进一步的质疑性评价：“第一组和第三组的答案都不对，既然 ，那么点A的坐标就不可能是(0，1)，所以 ， ，故正确答案应是：

听完课后，我总觉得，教师应对以上小组合作学习过程作如下导向性的即时性评价：刚才各组间的讨论交流是合作、共享性的即时性评价，这种生生间的即时评价有助于大家建构起对知识的更深层次的、全面的理解，促进同学们对直接经验的深度学习，还可以帮助同学们获得间接经验.如果教师坚持对此类解题学习的合作过程作导向性的即时评价，对培养学生合作意识、合作能力是十分有益的.

7．即时评价求解思维的发散性

案例7  在案例6中，我们可以用数形结合的思想即时评价求解过程中对变量几何意义的理解，引发“变量——动点”的发散性思维，进而促使学生产生如下构造性解法：“点A的轨迹是抛物线y=-x²+1(0<|x|≤1)上的两段弧，考察直线 绕点 转动与两段抛物线弧的关系，即可得到答案.在此基础上，引导学生进行即时反思，感悟破除思维定势，进行求异思维的探究方式，感悟思维的多向性、开放性、跳跃性和创造性.

○

A

B

x

y

O

l

8．即时评价解题后反思的批判性

案例8  已知函数  求函数 的最大值.

学生给出如下求解过程：   

又

 而  

则  故函数 的最大值为

针对以上过程，教师采用了质疑的方式进行了评价，问：何时取得最大值 ？一个学生答道： 时，取得最大值.再问： 此时，学生间产生了碰撞、交流、合作的过程，发现以上解题过程忽视了对函数定义域的深入研究，没有挖掘到隐藏的信息，误判了函数定义域，从而扩大了函数的值域.教师针对以上质疑过程，用批判的眼光作了如下即时评价：由函数 的定义域可知 中应有  此时  即 与 的公共定义域为  故  又  

因为  所以  故函数 的最大值为

9．即时评价解题实践的主动性

著名教育家赞可夫说过：“学生积极的情感、欢快的情绪能使学生精神振奋，思维活跃，容易形成新的联系.而消极的情绪，则会抑制学生的智力活动.”由此可知，要提高数学课堂教学的有效性，必须要培育学生数学学习的主动性.

教学实践告诉我们，对学生的主动学习行为给予即时的评价，有助于培育、巩固主动学习意识和主动学习方式.如：对主动预习的学习行为作肯定的即时性评价，有助于培育主动学习的意识与主动学习能力.对主动参与互动与展评的学习行为作激励性即时评价，有助于培育主动合作学习的意识与主动合作学习的能力.对面对新问题，主动进行“知觉（实验）——猜想——验证——应用”的解决问题过程的同学，进行赏识性的即时评价，有助于学生逐步形成大胆猜想、主动探究、勇于发现新知识的学习方式.

又如：当学生的发言有独到见解时，我们应欣赏其思维的主动性，并“沿着他的思路走”或给予合作探究的口吻或投去赞许的目光或给予深情的期盼，通过用这种平等、民主、融洽的即时激励的评价，拓展学生学习数学的情感空间，缩短师生间的距离，使学生在心理放松、心理自由的情感环境中进入数学学习状态，孕育数学学习的主动意识，培养自主学习能力.

案例10  高三复习苏教版选修2-2 2.1.2 例2 (已知 均为正实数， ，求证： ).我们可以通过课前自主预习、探究的方式复习比较法、综合法、分析法，通过课上展示、同伴互助探究复习反证法，通过教师引导学生互评，教师即时性的点评引导学生复习换元法、放缩法和函数单调性法.这样的学习过程，即时性的自评、互评、师评能使各层次的学生得到肯定和极大的满足感，获得主动参与探究的自信心.

10．即时评价解题表达的规范性

学生解题不规范主要表现在：忽视审题、解答书写不严密和解题后无检查等问题.还表现在：字迹潦草、书写不整洁.针对学生中存在的这些问题，华罗庚教授曾教育中学生在数学表达上要做到“想得清楚，说得明白，写得干净”.为此，在教学中要强化对解题规范性的即时评价.

10.1即时评价审题

观察学生的审题过程，我们发现不少学生面对新题走马观花式的读题后，就根据自己的经验及老师讲过的类似题型去做题.具体表现为：

⑴只会找出明确告诉的已知条件和目标，不思考文字语言、符号语言、图形语言的转换，更没有意识去揭示隐含条件.

⑵没有意识分析条件到目标缺少什么？只从条件顺推，不从目标去分析，更缺少通过画画、写写、算算进行合情推理.

⑶缺乏考虑条件、目标之间内在联系的意识，缺少寻找与哪个数学原理相匹配的元认知.

因此，在解题教学过程中，我们要强化对审题过程与审题方法的即时性评价，来提高学生的审题能力.

审题有四个关键步骤：读、画（写）、辨、定.因此，一要即时评价“读”，评价学生理解题目中的每一个关键字、关键词、关键句，弄清题目中的条件和结论的情况；二要即时评价“ 画（写）”，评价学生通过画画、写写、算算进行数学语言的转换，从中发现隐含的条件的情况；三要即时评价“辨”，评价学生明辨题中给出的（或所设的）字母或式子的含义，理清已知和未知的关系，揭示问题本质的情况，帮助学生把思维内部的无声语言转化为有声有形语言，克服数学语言识别上的障碍，并引导学生进行数学语言复述和互译训练，提高各种语言之间互译的本领，促使学生数学语言的准确应用与简练表达；四要即时评价“定”，评价学生应用策略性知识确定解题思路（方法），规划解题步骤的情况.

10.2  即时评价解题书写过程

学生解题过程中存在阐述不清，表述不规范的主要表现为：

⑴使用数学符号随心所欲.如直线a在平面β内，写成a∈β.

⑵计算、推理过程跳跃性过大，每两步之间跨度太大，不能做到步步有据.

⑶解题过程层次不分明、条理不清晰，语言不达意.例如：代数式化简求值不按要求进行，直接代入，缺乏合理性与条理性；解答题不写“解”；证明题不写“证明”；应用题不按设、列、解、验、答五个程序进行等.

针对以上现象，我们可以通过对学生的板演进行即时评价，通过投影作业、课堂练习即时评价学生使用数学语言的准确性、书写格式的规范性，通过师生共同订正等方式，逐步使学生养成规范解题的习惯.

10.3 即时评价解题后的检查

在教学过程中，我们可以通过对检查解题过程中是否有混淆概念的情况、是否忽视了隐含条件、是否用特殊代替一般、是否忽视特例、是否有逻辑上的错误、运算是否正确和题目本身是否有误等问题进行即时评价，促进学生养成解题后进行检查、反思、纠错的习惯，通过对是否有归纳解题步骤和注意事项的意识、是否有引申变题和拓展多种解法的学习流程进行即时评价，促进学生元认知能力的提高.

综上所述，在解题教学中，首先要对学生学习基础知识、基本技能、基本数学思想方法、基本数学活动经验的行为给予积极关注与即时评价，促进“四基”层面的发展；其次要积极关注和即时评价训练新课标中提到的“五大能力”的学习行为，促进学生自主挖掘数学学习的潜能；其三，要积极关注和即时评价学生数学学习的内在动力，促进学生自主发展能力的全面提升，为学生的终身学习和可持续发展奠定良好基础.