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问题是学习的动力，以问题为载体，可以激发学生的探究欲望。问题是思维的引擎，以问题为平台，可以发展学生的思维能力。美国著名数学家哈尔斯（P.R.Halmos）曾说：“问题是数学的心脏。”良好的问题，不仅可以帮助教师完成课程教学的任务，更为重要的是可以有效地培养学生的问题意识——问题意识是创新人才的关键素养之一。 新课改以来，江苏省常州市中小学在课堂教学中，始终把问题作为教学设计和教学组织的核心，提出了“问题引领课堂”的教学理念；并且通过“基于课堂，同题异构”“基于反思，课例分析”“基于研修，课题沙龙”等方式，组织教师对“问题引领课堂”展开丰富、深入的交流研讨。 一、“问题引领课堂”的基本理念 所谓“问题引领课堂”，就是根据教学目标，围绕核心问题（思想或思维模式），设计若干有逻辑关联（如按照认知发展顺序等）、有层次梯度的子问题，组成系列问题（又称为“问题链”），作为教学活动的主要出发点和课堂互动的关键材料。以问题链为主要形式的课堂教学，不仅可以落实数学课程的培养目标，体现数学课程独特的育人价值，更能够在连续的系列问题中，让学生的思维得到有效的发展。 很多人认为满堂提问就是“问题引领课堂”，其实不然。当前的数学课堂教学中，随处可见无思维含量的无效问题、琐碎无关联的低效问题等，这些问题没有提纲挈领地反映数学概念、原理的形成过程和学生思维、能力的发展脉络，反而令学生的思维表面化、碎片化。只有围绕教学目标，精心设计体现思维价值的问题链，才能让学生的思维得到有效的发展。 二、“问题引领课堂”的重要性 古今中外，重视问题在教学中的重要性的思想家、教育家比比皆是。古希腊的苏格拉底提出“问答法”。中国的儒家经典《学记》指出：“道而弗牵，强而弗抑，开而弗达。”这里，“道”就是引导，“开”就是启发，这两者都要以问题为载体。20世纪著名的数学教育家弗赖登塔尔反复强调：学习数学的唯一正确的方法是“再创造”，也就是由学生本人把要学的东西发现和创造出来；因而，教师的任务是引导和帮助学生进行“再创造”。而数学上的发现和创造，仅仅依靠事实材料是不够的，需要有核心内容凸显、思维跨度适中的问题链的引领，使学生能够逐渐逼近对象的本质，进而不断提升建构的层次。 20世纪80年代以后，以认知主义学习理论为基础的建构主义学习理论成为主流。建构主义学习理论认为，学习并非学生对于教师所授予的知识和经验的被动接受，而是学生依据已有的知识和经验所作的主动建构。适合的问题能调动学生学习的积极性，让学生积极反省，改善自己的认知结构，促进已有图式的扩展和更新，而知识的不断重构是数学思维的一个重要特点。从心理学角度分析，思维靠问题激发，靠解决问题过程中不断出现的新问题延续、展开和深入。 问题引领是数学教学的重要理念和方法。没有问题作引导，仅仅通过叙述的方式阐述知识，不是数学的教学方式。数学教材所呈现的一般是“固态”的知识，它掩盖了问题的源头和发展的线索。教师要通过螺旋上升式的问题链，挖掘、展示知识发生、发展以及问题解决背后蕴含的思维价值，引发学生领悟其中的思想与方法。教师若能够将课程标准规定的知识体系转换成连续性的问题链，就能够使教学过程成为循序渐进、逻辑建构的认知途径，使教学活动成为围绕问题解决的一种能动性主体建构活动。 问题引领也是数学学习的基本需要。没有问题作载体，学生就难以展开积极、有效的思维。新课程特别强调学生在数学课堂中的主体地位。教师要通过问题的引领，促进学生问题意识的发展，彰显学生主体思考的特征。设计螺旋上升式的问题链，从横向上看，可以让不同层次的学生都能参与思考，都有思维空间；从纵向上看，可以让学生的思维不断爬坡，让学生的理解不断加深。只有在具有一定结构的问题链中思考，让问题链成为思维发展的台阶，学生的综合能力才能得到螺旋上升。 三、“问题引领课堂”的核心：问题链的设计 （一）问题链的基本类型 根据不同的教学目标和任务，问题链有不同的类型。从目标要求看，问题链可以分为探究原因式、追询结果式。从开放程度看，问题链可以分为开放式、收敛式、半开半收式。从子问题之间的逻辑关系看，问题链可以分为递进式、并列式。当然，结合具体的教学内容和形式，更多的问题链是上面几种类型的组合。 递进式问题链逻辑紧凑，其中的问题在知识结构上属于递进关系，依次加深、环环紧扣。此类问题链能够激发学生强烈的求知欲，在课堂教学中最为常见。并列式问题链逻辑松散，其中的问题在知识结构上属于并列关系，并无前后、主次之分。此类问题链主要在探究活动中使用。下面的案例可以说明递进式问题链中子问题之间的逻辑关系。 【案例1】“抛物线的标准方程”问题链设计 教学“抛物线的标准方程”时，学生对“抛物线”这个名词并不陌生，因为在中学阶段曾经三次出现过“抛物线”概念：第一次是“二次函数的图像是抛物线”，第二次是“重力作用下的平抛或斜抛物体的运动轨迹是抛物线的一部分”，第三次就是此处，即“抛物线是用平面截圆锥面得到的曲线类型之一”。学生虽然曾经三次接触过抛物线，但是没有深入思考过这三者之间的联系。因此，如何把作为函数图像的抛物线与作为圆锥曲线的抛物线有序关联起来，引出其内在的逻辑关系，使三个概念“归一”，便是本节课的核心问题。由此，可以设计如下问题链—— 问题1 请同学们回忆二次函数，如y=x2、y=ax2等的图像，它们一定是抛物线吗？为什么？ 问题2 如果y=x2、y=ax2的图像是抛物线，那么你能求出它们的定点与定直线吗？ 问题3 如果不能求出定点与定直线，也就是不能从数到形，那么你能否换个角度来研究？ 问题4 你已经知道了抛物线的定义，那么能否从形到数，建立抛物线的方程？ 问题5 你能否大胆预测求出的抛物线方程与二次函数解析式之间的联系？ 这里，问题1的设置目的是唤醒，即提取学生知识结构中已有的抛物线知识。问题2的设置目的是关联，即把函数中的抛物线与解析几何中的抛物线联系起来。问题3的设置目的是诱思，即在由问题2产生的思维障碍的基础上，引导学生深入思考，提升思维认识的层次。问题4的设置目的是明题，即综合问题3的思考结果，点明本节课的主题。问题5的设置目的是提升，即从数形结合思想方法的角度，帮助学生“归一”，提升知识结构的层次。这样，可以深刻揭示作为函数图像的抛物线与作为圆锥曲线的抛物线的一致性：函数的解析式y=x2、y=ax2其实就是抛物线的方程，这样的解析式（方程）特征决定了其对应的图像必然是抛物线。而它们的差异在于顺序的不同，即函数图像是由数到形，曲线方程是由形到数；但归根到底它们是统一的，是抛物线的两个侧面。 (二)问题链的设计原则 经过多年的思考与实践，我们探索出设计问题链的若干原则以及相应案例。 1.突出核心问题。 在教学中，要思考哪些是牵一发而动全身的，最能体现教学目标或概念本质、最能突破教学难点或思维瓶颈的核心问题。例如思维动机问题“为什么要研究三角函数”、思维方式问题“为什么要求椭圆的标准方程”等。问题链的设计首先要从教和学两个维度把握核心问题，展现核心数学概念、原理的发生和发展，体现重要数学思维模式、过程的应用和渗透，反映学生最想解决的问题。核心问题是主线，子问题围绕核心问题顺势展开、螺旋上升。 【案例2】“椭圆的标准方程”引入教学 本节内容的核心思想是数形结合，这也是解析几何的基本思想。因此，本节教学要整合三个方面的问题：为什么要研究椭圆的标准方程？同样是研究平面图形，义务教育阶段的平面几何知识与高中阶段的解析法思想如何更紧密地结合起来？怎么延续、提高“平面解析几何初步”中的相关知识和认识？以下是笔者执教的课堂实录片段—— 师（展示直线与圆图形，如图1）如何求圆心到直线的距离？
图1
生 用直尺测量。 师 这是几何方法。还有更准确的方法吗？ 生 刚才的方法不够准确。可以用点到直线的距离公式。 师 需要具备什么条件，才能使用这一距离公式？ 生 圆心坐标和直线方程。 师 现在给出的条件中有这些量吗？还需要借助于什么工具，才能求出这些量？ 生 平面直角坐标系。 师（展示坐标图，如图2）这个过程体现了数学中的什么思想方法呢？
图2
生 数形结合的思想。先从形到数，通过坐标系工具求出圆心坐标及直线方程；后从数到形，利用平面解析几何中的点到直线的距离公式求出圆心到直线的距离。 师 现在我把上述坐标系连同曲线放进某个特殊空间——这个空间有这样一种特殊功能，就是把坐标平面上所有点的横坐标保持不变，纵坐标变为原来的一半。设原来的圆和直线经过这个空间作用后所得的曲线分别为C′，l′，你能说明它们分别是什么曲线吗？ 生l′还是直线，但是不知道C′是什么曲线。 师 你是怎么判断的？ 生 l′的方程是x-2y-3=0，属于二元一次方程，由此可以判断l′是直线。而C′的方程是(x－1)2+4(y－2)2=4，它对应什么曲线，我没有学过。 师 C′可能是圆吗？ 生 不可能，因为不满足圆的方程特征。 师 （借助于几何画板演示，如图3）C′似乎是椭圆，怎么确定呢？
图3
（学生思考。） 师 既然利用曲线和方程的对应关系，根据方程特征可以判断曲线形状，那么，显然我们面对的问题就是：椭圆的方程特征又是什么？只要知道了椭圆方程的一般特征，就可以对C′的方程对应的曲线是不是椭圆有个交代了。这就是本节课的课题“椭圆的标准方程”。 上面的问题链设计，利用问题解决的模式，从几何问题出发，由形到数，由几何方法到代数方法，结合变换的性质求出变换后的曲线所对应的方程，让学生自然地想到利用方程的特征判断曲线的类型，进而产生探求椭圆标准方程的迫切愿望。整个设计顺应了数学内容之间内在的、本质的、必然的联系，凸显了数形结合的思想方法。 2.体现学生主体。 教育学的研究表明，每一位学生在学习过程中，都有自己的活动经验和知识积累，都有自己的思维方式和解题策略；而且教师的经验有局限性。因此，问题链的设计不需要每次都完全到位，也不能满足于得到教师所想的答案，而应该保持一定的弹性、张力，并体现思维的发散性，留有发挥的空间，从而尽可能地激发不同层次学生的思维参与，让学生在更广阔的思维空间进行有效探索，获得意义建构。此外，课堂教学更要注重生成，要在学生独立、主动思考的基础上组织有效的讨论，鼓励学生发表不同意见，注意挖掘、利用有独特思维价值的学生答案，通过促进学生学习的同化和顺应，深化学生的思维，提高学生的能力，从而使得问题链更加针对学生学习的障碍点，指向学生学习的发展点。 【案例3】“椭圆的标准方程”推导教学 现行课程标准对“椭圆标准方程的纯粹性和完备性”不作要求，但是，从数学思维的严密性要求出发，需要对椭圆标准方程推导过程中的等价性进行思考。于是，笔者设计了如下问题链，以引发学生思考，而不直接给出结论。 问题1在椭圆的标准方程x2a2+y2b2=1(a>b>0)的推导过程中，我们对方程a2－cx=a(x－c)2+y2进行了平方的变形，那么这两个方程等价吗？ 问题2 怎么证明你的结论？如何从数和形两个方面思考？ 学生对这组问题的解决办法争论了很长时间，从课上延续到课后好几天。在笔者的参与、引导下，学生不断地发现了新的问题和结论。 这里，教师的问题链只是一个“框架”，起引导思路的作用，教学中更多的是以学生为主，从学生的问题出发，在师生讨论的过程中逐步深入思考。在不断生成新问题、解决新问题的过程中，师生都有收获：学生的收获不仅是解决了一个个问题，更在于运用知识的策略、思考问题的方法以及成功的体验、学习的信心；教师的收获在于转变了一些想当然的观念和思维定势，进一步认识了学生的思维方式，研究了学生的思维特点——由此，真正做到了教学相长。 3.加强逻辑分析。 围绕核心问题设置问题链时，需要重点思考以下几个方面的内容：一是选择子问题的发问节点，应尽可能把握最有价值的环节，而不在非核心、非关键的细枝末节上做文章；二是确定子问题之间的逻辑关系，并列还是递进，先后顺序如何等，应尽可能贴近学生的思维区间；三是把握子问题之间的难度梯度，应在学生的“最近发展区”内保持问题难度的螺旋上升，采用内在有序的结构化形式。 【案列4】“椭圆的标准方程”习题教学 一位教师选用了苏教版高中数学教材中本节内容的课后习题第7题（“探究·拓展”题），大致教学过程如下—— （教师将学生分成4组后，呈现如下问题情境：（1）在白纸上画一个半径为10 cm的圆C；（2）第k组在距离圆心2k cm处取一个定点F（k=1,2,3,4）；(3)如图（图4），将纸片折起，使圆周过点F，然后将纸片展开，画出折痕l1；（4）用同样的方法，画出l2，l3，l4，…。）
图4
师 观察这些折痕，你有什么发现？ （学生展示、交流。） 师 好，刚才几位同学既展示了结果，又交流了过程，值得大家借鉴。下面我用几何画板演示一下。 …… 在课后的研讨中，很多教师认为此题的教学“余味未尽”，没有把握提升学生从具体到抽象这一更高层次思维能力的关键，失去了一次锻炼学生思维的很好的机会。在集体研讨的基础上，我们进一步设计了下面的问题链，引导学生“爬山”，推动学生的思维能力走上更高的平台，培养学生思维的敏捷性和深刻性。 问题1能否将刚才的折纸问题抽象为一个数学模型？ 问题2是否思考过设置参数k有什么数学含义？ 问题3怎么知道某一折痕上的哪一点在椭圆上？ 问题4当点F分别在圆心处、圆外时，折痕围成什么图形？ 问题5如果把圆换成椭圆，折痕又围成什么图形？ 总之，要以教学的重点内容以及学习的引导方式为核心，通过所设计的问题链体现知识发展的脉络，并尽可能符合学生思维的脉络。同时，要注意问题链的开放性，以处理好预设与生成的关系：既不限得太死，让学生思维僵化；也不放得太开，让学生无所适从。 四、“问题引领课堂”的几个难点 回顾十年来的“问题引领课堂”研究和落实活动，我们发现，广大教师以此课题为载体的课程实施能力得到了明显提高，学生学习数学的热情和兴趣得到了明显提升。同时，我们也感觉到，还需要进一步思考以下四个方面的问题：科学确定问题链的核心（线索），统筹确立问题链的节点，有效控制问题链的难度，合理设置问题链的台阶。 例如，我们发现，在问题链的起点设置上，教师常对难度太低的问题不重视，误认为其没有思维价值，忽视了它们在问题链中所起的基础、伏笔和线索作用，忘记了“面向大多数学生”的教学原则。我们还发现，在问题链的台阶设置上如何控制好难度，也是棘手的问题：台阶太小，学生轻易得出答案，问题失去了考验学生思维的价值；台阶太高，学生没有能力思考，问题也失去了存在的价值。因此，梯度合理的问题链的组织方式，是问题链设计的必须突破的重要问题之一。
*本文原载于《教育研究与评论》2015年第1期，系首届华人数学教育大会（2014年5月22～24日，北京师范大学）主题报告的发言稿，发表时略有删节和改动。
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