草根研究|一道直角三角形证明题的三种解法

本周三在杨正家教学基地听课时看到此题，课后做了进一步研究，在此谈谈我粗浅见解，请大家指正，上图是乙尔老师的圣诞作品哦：）

问题

1

角度计算

思路：

设∠A=α→∠ACF=α→∠FCE=45°—α

∠B=90°—α，∠ECB=45°

→∠CEB=135°—α→∠P=45°—α

∴ ∠ECF=∠EPF

反思：遇到有关于“角”的问题，通过设元进行角度计算是一种有效、容易想到的方法

2

角平分线翻折法

思路：

过点P做PH1⊥AC,PH2⊥CB于H1,H2

CP平分∠ACB→PH1=PH2

FP垂直平分AB→AP=PB

∴ △APH1≌△PBH2（H.L）

∠APH1=∠BPH2

→∠APB=∠H1PH2=90°

FP=CF=(1/2)AB→∠ECF=∠EPF

反思：遇到角平分线加到角两边的距离、遇到中垂线构造等腰本是最普通的辅助线，所以这也是一种较为容易想到的方法

3

做斜边上的高

思路：

过点C做CH⊥AB，

构成了射影型→∠A=∠BCH=∠ACF

构成了平行→∠P=∠ECH

∠BCH+∠ECH=45°=∠ACF+∠FCE

∴ ∠ECF=∠EPF

反思：通过添加斜边上的高构成射影型并形成平行，使得分散的条件聚合，从而解决问题，并由此得到了一个有趣的结论：直角三角形直角的平分线平分由斜边上的高与中线构成的角，应该说这种方法非常精彩，但不易想到

进一步探究

我们可以发现，图上点A、C、B、P实际上是四点共圆，△APB是一个等腰直角三角形，观察解法2中的图，我们不难发现：

若BC=a、AC=b，

则CH1=CH2=(1/2)(a+b)，

而四边形CH1PH2也恰为正方形，

则CP=(√2/2)(a+b)