探索数学（一）

最近几天，我们在数学课上学习了另一种判断全等的方法HL（斜边、直角边）。我对此很有兴趣，在此基础上，我又探究了一些其它的情况，如已知两三角形的一直角边和另一直角边上的中线对应相等时的情况。但是，我在探究“两直角三角形的斜边和斜边上的高对应相等时，两三角形是否全等”时遇到了波折。拖了很久，我才探究出来。

如图，Rt△ABC斜边上的高为AD，Rt△A’B’C’斜边上的高为A’D’，BC=B’C’，AD=A’D’.求证：Rt△ABC≌Rt△A’B’C’.

 

感兴趣的同学可以尝试证明一下，也可以先看看下面的提示。

提示

直角三角形斜边中线定理：如果一个三角形是直角三角形,那么这个三角形斜边上的中线等于斜边的一半。

已知：在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AE平分BC.求证：AE=¹/₂BC.

证明：如图，延长AE到点F，使EF=AE,连接CF.

∵AE平分BC

∴BE=CE

又∵在△ABE与△FCE中，

AE=EF

∠1=∠2

BE=CE

∴△ABE≌△FCE（SAS）

∴AB=FC，∠B=∠3

又∵在Rt△ABC中，∠B+∠ACB=90°

∴∠3+∠ACB=90°

即∠ACF=90°

∴∠BAC=∠ACF

又∵在△ABC与△CFA中，

AB=CF

∠BAC=∠ACF

AC=AC

∴△ABC≌△CFA（SAS）

∴AF=BC

又∵AE=EF=¹/₂AF，BE=EC=¹/₂BC

∴AE=¹/₂BC

有了上面的结论，你的探究应该可以更加顺利一些。加油！

答案解析

证明：如图，作AE平分BC，A’E’平分B’C’

∵在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AE平分BC

∴AE=¹/₂BC，EC=¹/₂BC

∴AE=EC

又∵在Rt△A’B’C’中，∠B’A’C’=90°，A’E’平分B’C’

∴A’E’=¹/₂B’C’，E’C’=¹/₂B’C’

∴A’E’=E’C’

又∵AD是BC上的高，A’D’是B’C’上的高

∴∠ADE=∠A’D’E’=90°

∴在Rt△ADE与Rt△A’D’E’中，

AE=A’E’

AD=A’D’

∴Rt△ADE≌Rt△A’D’E’（HL）

∴∠1=∠2

又∵AE=EC，A’E’=E’C’

∴∠3=∠C’，∠4=∠C’

又∵在△AEC中，∠1=∠3+∠C

∴∠C=¹/₂∠1

又∵在△A’E’C’中，∠2=∠4+∠C’

∴∠C’=¹/₂∠2

又∵∠1=∠2

∴∠C=∠C’

又∵在△ABC与△A’B’C’中，

∠BAC=∠B’A’C’

∠C=∠C’

BC=BC’

∴Rt△ABC≌Rt△A’B’C’（AAS）