全等三角形经典题型汇总

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题型一 已知两边，找夹角 SAS

1.如图，△ABC中，AB = AC，点 E，F 在边 BC 上，BE = CF，点 D 在 AF 的延长线上，AD = AC，

（1）求证：△ABE ≌ △ACF；

（2）若 ∠BAE = 30°，则 ∠ADC = 　 　°．

【解析】

（1）∵ AB = AC，

∴ ∠B = ∠ACF，

在 △ABE 和 △ACF 中，

AB = AC , ∠B = ∠ACF，BE = CF，

∴ △ABE ≌ △ACF（SAS）；

（2）∵ △ABE ≌ △ACF，∠BAE = 30°，

∴ ∠CAF = ∠BAE = 30°，

∵ AD = AC，

∴ ∠ADC = ∠ACD，

∴ ∠ADC = 1/2（180° - 30°）= 75°.

2.如图，点 E、F 在 BC 上，BE = CF，AB = DC，∠B = ∠C，AF 与 DE 交于点 G，

求证：GE = GF．

【解析】

∵ BE = CF，

∴ BE + EF = CF + EF，

∴ BF = CE，

在 △ABF 和 △DCE 中，

AB = DC , ∠B = ∠C，BF = CE ,

∴ △ABF ≌ △DCE（SAS），

∴ ∠GEF = ∠GFE，

∴ EG = FG．

3.已知，点 P 是等边三角形 △ABC 中一点，线段 AP 绕点 A 逆时针旋转 60° 到 AQ，连接 PQ、QC．

（1）求证：PB＝QC；

（2）若 PA＝3，PB＝4，∠APB＝150°，求 PC 的长度．

【解析】

（1）证明：

∵ 线段 AP 绕点 A 逆时针旋转 60° 到 AQ，

∴ AP = AQ，∠PAQ = 60°，

∴ △APQ 是等边三角形，∠PAC + ∠CAQ = 60°，

∵ △ABC 是等边三角形，

∴ ∠BAP + ∠PAC = 60°，AB = AC，

∴ ∠BAP = ∠CAQ，

在 △BAP 和 △CAQ 中，

BA = CA , ∠BAP = ∠CAQ，AP = AQ ,

∴ △BAP ≌ △CAQ（SAS），

∴ PB = QC；

（2）解：

∵ 由（1）得 △APQ 是等边三角形，

∴ AP = PQ = 3，∠AQP = 60°，

∵ ∠APB = 150°，

∴ ∠PQC = 150°﹣60° = 90°，

∵ PB = QC，

∴ QC = 4，

∴ △PQC 是直角三角形，

题型二 已知两边，找直角 HL

1.如图，BD = CF，FD⊥BC 于点 D，DE⊥AB 于点 E，BE = CD，若 ∠AFD = 145°，

则 ∠EDF 的度数为（ ）

A．45° B．55° C．35° D．65°

【解析】

∵ ∠DFC + ∠AFD = 180°，∠AFD = 145°，

∴ ∠DFC = 35°，

∵ DE⊥AB，DF⊥BC，

∴ ∠BED = ∠CDF = 90°.

∵ 在 Rt△BDE 与 Rt△CFD 中 BE = CD，BD = CF，

∴ Rt△BDE ≌ △Rt△CFD，

∴ ∠BDE = ∠CFD = 35°.

∵ ∠EDF + ∠BDE = 90°，

∴ ∠EDF = 55°.

故选 B.

2.如图，∠B = ∠D = 90°，BC = CD，∠1 = 40°，则 ∠2 = （ ）.

A．40° B．50° C．60° D．75°

【解析】

∵ ∠B = ∠D = 90°，

在 Rt△ABC 和 Rt△ADC 中，

BC = CD , AC = AC ,

∴ Rt△ABC ≌ Rt△ADC（HL）

∴ ∠2 = ∠ACB = 90° - ∠1 = 50°．

故选：B．

3.如图，直线 l 上有三个正方形 a，b，c，若 a，c 的面积分别为 5 和 11，则 b 的面积为（　　）.

【解析】

∵ ∠ACB＋∠ECD＝90°，∠DEC＋∠ECD＝90°，

∴ ∠ACB＝∠DEC，

∵ ∠ABC＝∠CDE，AC＝CE，

∴ △ABC ≌ △CDE，

∴ BC＝DE.

∴ (如上图)，根据勾股定理的几何意义，b 的面积＝a 的面积＋c 的面积，

∴ b 的面积＝a 的面积＋c 的面积＝5＋11＝16.

故选 C.

题型三 已知两边，找第三边 SSS

1.如图，五边形 ABCDE 中有一正三角形 ACD，若 AB = DE，BC = AE，∠E = 115°，

则 ∠BAE 的度数为何？（　　）

A.115 B.120 C.125 D.130

【解析】

∵ 三角形 ACD 为正三角形，

∴ AC = AD，∠ACD = ∠ADC = ∠CAD = 60°，

∵ AB = DE，BC = AE，

∴ △ABC ≌ △DEA，

∴ ∠B = ∠E = 115°，∠ACB = ∠EAD，∠BAC = ∠ADE，

∴ ∠ACB + ∠BAC = ∠BAC + ∠DAE = 180°﹣115° = 65°，

∴ ∠BAE = ∠BAC + ∠DAE + ∠CAD = 65° + 60° = 125°，

故选：C．

2.在边长为 1 的正方形网格中标有 A、B、C、D、E、F 六个格点，根据图中标示的各点位置，

与 △ABC 全等的是（　　）

A.△ACF B.△ACE C.△ABD D.△CEF

【解析】

在 △ABC 中，

A、在 △ACF 中，

则 △ACF 与 △ABC 不全等，故不符合题意；

B、在 △ACE 中，

则 △ACE 与 △ABC 不全等，故不符合题意；

C、在 △ABD 中，

则由 SSS 可证明 △ACE 与 △ABC 全等，故符合题意；

D、在 △CEF 中，

则 △CEF 与 △ABC 不全等，故不符合题意，

故选 C.

3.如图，OA＝OB，OC＝OD，AD＝BC，则图中全等三角形的对数有 ( ).

A．1 对 B．2 对 C．3 对 D．4 对

【解析】

∵ OA = OB，OC = OD，AD＝BC，

∴△DOA ≌ △COB（SSS）；

∵ OA = OB，OC = OD，

∴ AC = BD，

∵ AB = AB，AD＝BC，

∴ △ABD ≌ △BAC（SSS）；

∵ AD = BC，AC = BD，DC = CD，

∴ △ADC ≌ △BCD（SSS）．

故选：C．

4.如图，点 B、C、E 三点在同一直线上，且 AB = AD , AC = AE , BC = DE ；

若 ∠1 + ∠2 + ∠3 = 94° ，则 ∠3 的度数为（ ）.

A.49° B.47° C.45° D.43°

【解析】

在 △ABC 和 △ADE 中，

AB = AD , AC = AE , BC = DE ,

∴ △ABC ≌ △ADE (SSS)，

∴ ∠ABC = ∠1，∠BAC = ∠2，

在 △ABC 中，由三角形的外角性质得，∠3 = ∠ABC + ∠BAC = ∠1 + ∠2，

∵ ∠1 + ∠2 + ∠3 = 94°，

∴ 2∠3 = 94°，

∴ ∠3 = 47°.

故选 B.

题型四 已知一边一角（ 若边为角的对边，找任意角 AAS ）

1.如图，正方形 ABCD 中，AB = 1，点 P 是 BC 边上的任意一点（ 异于端点 B、C ），

连接 AP，过 B、D 两点作 BE⊥AP 于点 E，DF⊥AP 于点 F.

（1）求证：EF = DF﹣BE；

（2）若 △ADF 的周长为 7/3 ，求 EF 的长.

【解析】

（1）证明：

∵ BE⊥AP，DF⊥AP，

∴ ∠DFA = ∠AEB = 90°，∠ABE + ∠BAE = 90°，

∵ 四边形 ABCD 为正方形，

∴ AD = AB，∠DAB = 90° = ∠DAF + ∠BAE，

∴ ∠DAF = ∠ABE，

在 △ADF 和 △BAE 中，

∠DAF = ∠ABE，∠DFA = ∠AEB，AD = AB，

∴ △ADF ≌ △BAE（AAS），

∴ AF = BE，DF = AE，

∴ EF = AE﹣AF = DF﹣BE；

（2）解：

设 DF = a，AF = b，EF = DF﹣AF = a﹣b ＞ 0，

∵ △ADF 的周长为 7/3，AD = 1，

∴ DF + AF = 4/3，即 a + b = 4/3，

由勾股定理得：DF2 + AF2 = AD2，即 a2 + b2 = 1，

∴ （a - b）2 = 2（a2 + b2）- （a + b）2 = 2 - 16/9 = 2/9 ,

∴ a - b = √2/3 , 即 EF = √2/3 .

题型五 已知一边一角（ 边为角的邻边（ 找已知角的另一边SAS ））

1.如图，线段 AD、BE 相交与点 C , 且 △ABC ≌ △DEC，点 M、N 分别为线段 AC、CD 的中点．

求证：

（1）ME = BN；

（2）ME∥BN．

【解析】

（1）∵ △ABC ≌ △DEC，

∴ AC = DC , BC = CE.

∵ 点 M、N 分别为线段 AC、CD 的中点,

∴ CM = CN.

在 △BCN 和 △ECM 中，

AC = DC, ∠BCN = ∠ECM , BC = CE，

∴ △BCN ≌ △ECM（SAS），

∴ ME = BN.

（2）∵ △BCN ≌ △ECM，

∴ ∠CBN = ∠CEM,

∴ ME∥BN.

2.已知：△ABC 是等边三角形，点D、E 分别是边 BC、CA 上的点且BD = CE，AD、BE相交于点O．

（1）求证：△ACD ≌ △BAE；

（2）求 ∠AOB 的度数．

【解析】

（1）∵ △ABC 是等边三角形，

∴ ∠BAC = ∠C = 60°，BC = AC，

∵ BD = CE，

∴ BC - BD = AC - CE，

∴ AE = CD，

在 △ACD 和 △BAE 中，

AE = CD , ∠BAE = ∠C = 60°，AB = AC ,

∴ △ACD ≌ △BAE（SAS）；

（2）∵ △ACD ≌ △BAE，

∴ ∠CAD = ∠ABE，

∴ ∠AOE = ∠BAD + ∠ABE = ∠BAD + ∠CAD = ∠BAC = 60°，

∴ ∠AOB = 180° - 60° = 120°．

题型六 已知一边一角（ 边为角的邻边（ 找已知边的对角 AAS））

1.如图，在 ▱ABCD 中，E 是 BC 的中点，连接 AE 并延长交 DC 的延长线于点 F．

（1）求证：AB = CF；

（2）连接 DE，若 AD = 2AB，求证：DE⊥AF．

【解析】

（1）∵ 四边形 ABCD 是平行四边形，

∴ AB∥DF，

∴ ∠BAE = ∠F，

∵ E 是 BC 的中点，

∴ BE = CE，

在 △AEB 和 △FEC 中，

∠BAE = ∠F，∠AEB = ∠FEC，BE = EC，

∴ △AEB ≌ △FEC（AAS），

∴ AB = CF；

（2）∵ 四边形 ABCD 是平行四边形，

∴ AB = CD，

∵ AB = CF，DF = DC + CF ，

∴ DF = 2CF，

∴ DF = 2AB，

∵ AD = 2AB，

∴ AD = DF，

∵ △AEB ≌ △FEC，

∴ AE = EF，

∴ ED⊥AF .

题型七 已知一边一角（ 边为角的邻边（ 找已知边的另一角 ASA ））

1.如图，∠A＝∠B，AE＝BE，点 D 在 AC 边上，∠1＝∠2，AE 和 BD 相交于点 O．

求证：△AEC ≌ △BED；

【解析】

∵ AE 和 BD 相交于点 O，

∴ ∠AOD = ∠BOE．

在 △AOD 和 △BOE 中，∠A=∠B，

∴ ∠BEO = ∠2．

又 ∵ ∠1 = ∠2，

∴ ∠1 = ∠BEO，

∴ ∠AEC = ∠BED．

在 △AEC 和 △BED 中，

∠A = ∠B，AE = BE , ∠AEC = ∠BED，

∴ △AEC ≌ △BED（ASA）．

题型八 已知两角，找两角的夹边 ASA

1.如图，在 △DAE 和 △ABC 中，D 是 AC 上一点，AD = AB，DE∥AB，∠E = ∠C．

求证：AE = BC．

【解析】证明：

∵ DE∥AB，

∴ ∠ADE = ∠BAC．

在 △ADE 和 △BAC 中，

∠E = ∠C ，∠ADE = BAC，AD = AB，

∴ △ADE ≌ △BAC（AAS），

∴ AE = BC．

题型九 已知两角，找任意一边 AAS

1.如图 AF//DE，点 B、C 在线段 AD 上，连接 FC、EB，且 ∠E = ∠F，延长 EB 交 AF 于点 G.

（1）求证：BE//CF

（2）若 CF = BE，求证：AB = CD .

【解析】

（1）∵ AF//DE，

∴ ∠AGB = ∠E，

又∵ ∠E = ∠F，

∴ ∠AGB = ∠F，

∴ BE//CF

（2）∵ BE//CF，

∴ ∠DBE = ∠ACF，

∵ ∠E = ∠F , CF = BE，

∴ ΔACF ≌ ΔDBE，

∴ AC = BD，

∴ AB = CD.