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解法研究|例说处理几何证明题的两种不同策略

2016-02-21  panyunbo
近期在“草根初中数学研讨群”内就一道几何证明题展开了激烈的讨论,笔者认真学习后从中挑选几种比较有代表性的解法与大家分享……

注:本文由我与张宏伟老师合作完成,并将在“初中数学微课程”与“初中数学解法研究”两个平台同时展播
问题
如图所示,矩形BEFC是矩形纸片ABCD的一部分,现在把矩形BEFC切割下来,发现刚好能够完美地嵌入剩下的矩形AEFD中(BE=IJ、BC=IH),
试证明:J是AB中点
初步分析图形
∵ ∠IFH=∠IHG=∠D=90°
∴ ∠FIH=∠DHG,∠FHI=∠DGH
继而可得:∠FIH=∠IJE=∠JGA=∠GHD,
∠FHI=∠EIJ=∠GJA=∠DGH
∵ IJ=HG,IH=GJ
∴ △IEJ≌△DHG,△FIH≌△JGA
演绎推理
解法一
构造等腰梯形

联接CE、JH,

易知梯形EJHC是等腰梯形

设CF=KH=b,则FK=EJ=HD=a(△IEJ≌△HGD)
可知BJ=JA=a+b,即J是边AB的中点
【类似的,还可以构造平行四边形
解法二
构造全等三角形
∵ IH=CB=HK,HJ=HJ
∴ △IHJ≌△HJK(H.L)
设BE=a,则IJ=JK=BE=a
设EJ=b,则EJ=HD=AK=b
∴ BJ=JA=a+b,即J是边AB的中点
运用三角比
解法三
解答

笔者认为这些解法共同的特征就是“构造”,前者构形:造等腰梯形、平行四边形、全等三角形,后者构等式,前者通过添加辅助线,重组、转化条件使之聚拢在某一特殊图形或特殊图形关系中,后者是数形结合,将形的条件转化为数量关系来探讨。

笔者认为,这两种思路恰恰就是初中阶段解决几何证明问题的主要策略。

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