解法研究|例说处理几何证明题的两种不同策略

近期在“草根初中数学研讨群”内就一道几何证明题展开了激烈的讨论，笔者认真学习后从中挑选几种比较有代表性的解法与大家分享……

注：本文由我与张宏伟老师合作完成，并将在“初中数学微课程”与“初中数学解法研究”两个平台同时展播

问题

如图所示，矩形BEFC是矩形纸片ABCD的一部分，现在把矩形BEFC切割下来，发现刚好能够完美地嵌入剩下的矩形AEFD中（BE=IJ、BC=IH），

试证明：J是AB中点

初步分析图形

∵ ∠IFH=∠IHG=∠D=90°

∴ ∠FIH=∠DHG,∠FHI=∠DGH

继而可得：∠FIH=∠IJE=∠JGA=∠GHD,

∠FHI=∠EIJ=∠GJA=∠DGH

∵ IJ=HG,IH=GJ

∴ △IEJ≌△DHG,△FIH≌△JGA

演绎推理

解法一

构造等腰梯形

联接CE、JH，

易知梯形EJHC是等腰梯形

设CF=KH=b，则FK=EJ=HD=a（△IEJ≌△HGD）

可知BJ=JA=a+b，即J是边AB的中点

【类似的，还可以构造平行四边形】

解法二

构造全等三角形

∵ IH=CB=HK，HJ=HJ

∴ △IHJ≌△HJK（H.L）

设BE=a，则IJ=JK=BE=a

设EJ=b，则EJ=HD=AK=b

∴ BJ=JA=a+b，即J是边AB的中点

运用三角比

解法三

解答

笔者认为这些解法共同的特征就是“构造”，前者构形：造等腰梯形、平行四边形、全等三角形，后者构等式，前者通过添加辅助线，重组、转化条件使之聚拢在某一特殊图形或特殊图形关系中，后者是数形结合，将形的条件转化为数量关系来探讨。

笔者认为，这两种思路恰恰就是初中阶段解决几何证明问题的主要策略。