【典型例题】—二次函数的性质 027.(14十堰)已知抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)经过点(1,1)和(-1,0).下列结论:①a-b+c=0;②b2>4ac;③当a<0时,抛物线与x轴必有一个交点在点(1,0)的右侧;④抛物线的对称轴为x=-.其中结论正确的个数有( ). A.4个 B.3个 C.2个 D.1个 视频解析请点击: 【解析】 解:(1)∵抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)经过点(-1,0),∴a-b+c=0,故①正确; (2)∵抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)经过点(1,1),∴a+b+c=1,又a-b+c=0, 两式相加,得2(a+c)=1,a+c=,两式相减,得2b=1,b=. ∵b2-4ac=-4a(-a)=-2a+4a2=(2a-)2, 当2a-=0,即a=时,b2-4ac=0,故②错误; (3)当a<0时,∵b2-4ac=(2a-)2>0, ∴抛物线y=ax2+bx+c与x轴有两个交点,设另一个交点的横坐标为x, 则,即x=1-,∵a<0,∴->0,∴x=1->1, 即抛物线与x轴必有一个交点在点(1,0)的右侧,故③正确; (4)抛物线的对称轴为x=-=-,故④正确. 故答案为:B. 【总结】 【举一反三】 027.(14聊城)如图是二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)图象的一部分,x=﹣1是对称轴,有下列判断:①b﹣2a=0;②4a﹣2b+c<0;③a﹣b+c=﹣9a;④若(﹣3,y1),(,y2)是抛物线上两点,则y1>y2,其中正确的是( ). A.①②③ B.①③④ C.①②④ D.②③④ 上一期【举一反三】解析: 026【解析】 解:(1)由开口向下,可得a<0,又由抛物线与y轴交于正半轴,可得c>0,然后由对称轴在y轴左侧,得到b与a同号,则可得b<0,abc>0,故①错误; (2)由抛物线与x轴有两个交点,可得b2﹣4ac>0,故②正确; (3)当x=-2时,y<0,即4a-2b+c<0,当x=1时,y<0,即a+b+c<0, ∴4a-2b+c+2(a+b+c)=6a+3c<0,即2a+c<0, ∵a<0,∴a+(2a+c)=3a+c<0.故③错误; (4)∵x=1时,y=a+b+c<0,x=-1时,y=a-b+c>0, ∴(a+b+c)(a-b+c)<0,即[(a+c)+b][(a+c)-b]=(a+c)2-b2<0, ∴(a+c)2<b2,故④正确. 综上所述,正确的结论有2个.故答案为:B. 【总结】开口方向判断a的取值范围,根据对称轴的位置判断a与b的符号关系;图象与x轴的交点来判断Δ=b2-4ac的取值范围;只含有a与c,应该利用对称轴与x=-1的关系,得到a与b的关系,进行代换;根据平方关系,可以考虑移项用于平方差公式进行因式分解,再通过点坐标判断式子的取值范围.
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