数海拾贝

q8jj8hi88q 2016-04-17

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解析几何之“定比点差法”

2016年01月05日 meiyun 数海拾贝

编者按　本文作者意琦行，则meiyun编辑整理．

介绍定比点差法之前，先介绍一些解析几何中的基础知识：

一、定比分点

若→AM=λ→MB，则称点M为点A、B的λ定比分点．

当λ>0时，点M在线段AB上，称为内分点；

当λ0（λ≠?1）时，点M在线段AB的延长线上，称为外分点．

定比分点坐标公式：若点A(x1,y1)，B(x2,y2)，→AM=λ→MB，则点M的坐标为M(x1+λx21+λ,y1+λy21+λ).

二、点差法

若点A(x1,y1),B(x2,y2)在有心二次曲线x2a2±y2b2=1上，则有x21a2±y21b2=1,x22a2±y22b2=1,两式作差得(x1+x2)(x1?x2)a2±(y1+y2)(y1?y2)b2=0.此即有心二次曲线的垂径定理，可以解决与弦的中点相关的问题．

下面介绍定比点差法：

若点A(x1,y1),B(x2,y2)在有心二次曲线x2a2±y2b2=1上，则有x21a2±y21b2=1,λ2x22a2±λ2y22b2=λ2,两式作差得(x1+λx2)(x1?λx2)a2±(y1+λy2)(y1?λy2)b2=1?λ2.这样就得到了1a2?x1+λx21+λ?x1?λx21?λ±1b2?y1+λy21+λ?y1?λy21?λ=1.

例1　过异于原点的点P(x0,y0)引椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)的割线PAB，其中点A,B在椭圆上，点M是割线PAB上异于P的一点，且满足AMMB=APPB．求证：点M在直线x0xa2+y0yb2=1上．

证明　直接运用定比点差法即可．

设→AP=λ→PB，则有→AM=?λ→MB，设A(x1,y1),B(x2,y2),M(xM,yM)，则有x0=x1+λx21+λ,y0=y1+λy21+λ.xM=x1?λx21?λ,yM=y1?λy21?λ.又因为点A,B在椭圆上，所以有x21a2+y21b2=1,λ2x22a2+λ2y22b2=λ2,两式作差得(x1+λx2)(x1?λx2)a2+(y1+λy2)(y1?λy2)b2=1?λ2.两边同除以1?λ2，即可得到x0xMa2+y0yMb2=1.命题得证．

练习1　（2008高考数学安徽卷理科）设椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)过点M(√2,1)，且焦点为F1(?√2,0)．

（1）求椭圆的方程；

（2）过点P(4,1)的动直线l与椭圆C相交于不同点A,B时，在线段AB上取点Q，满足|AP|?|QB|=|AQ|?|PB|，证明：点Q总在某定直线上．

答案　（1）x24+y22=1；（2）点Q在直线2x+y?2=0上．

例2　已知椭圆x29+y24=1，过定点P(0,3)的直线与椭圆交于两点A,B（A,B可以重合），求PAPB的取值范围．

解　设A(x1,y1),B(x2,y2)，→AP=λ→PB，则PAPB=?λ．

于是P(x1+λx21+λ,y1+λy21+λ)=(0,3)，于是x1+λx2=0,y1+λy2=3(1+λ).又因为点A,B在椭圆上，所以有x219+y214=1,λ2x229+λ2y224=λ2,两式相减得(x1+λx2)(x1?λx2)9+(y1+λy2)(y1?λy2)4=1?λ2.将(1)代入(2)中得到y1?λy2=43(1?λ).由(1)(3)解得y1=3(1+λ)+43(1?λ)2=136+56λ∈[?2,2].从而解得λ的取值范围为[?5,?15]，于是PAPB的取值范围为[15,5]．

练习2　设D(0,16)，M,N是椭圆x225+y216=1上的两个动点（可以重合），且→DM=λ→DN，求实数λ的取值范围．

答案　[35,53]．

例3　设F1(?c,0)、F2(c,0)为椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦点，P为椭圆上任意一点，直线PF1,PF2分别交椭圆于异于P的点A、B，若→PF1=λ→F1A，→PF2=μ→F2B，求证：λ+μ=2?a2+c2a2?c2．

证明　设P(x0,y0)，A(x1,y1)，B(x2,y2)，则F1(x0+λx11+λ,y0+λy11+λ),F2(x0+μx21+μ,y0+μy21+μ).于是有x0+λx1=?(1+λ)c,y0+λy1=0;x0+μx2=(1+μ)c,y0+μy2=0.又由点P,A在椭圆上得到x20a2+y20b2=1,λ2x21a2+λ2y21b2=λ2,两式相减得(x0+λx1)(x0?λx1)a2+(y0+λy1)(y0?λy1)b2=1?λ2.从而有x0?λx1=a2c(λ?1).结合(4)式可解得2x0=a2c(λ?1)?c(1+λ).同理可得x0?μx2=a2c(1?μ).结合(5)式得到2x0=a2c(1?μ)+c(1+μ).于是有a2c(λ?1)?c(1+λ)=a2c(1?μ)+c(1+μ).整理得λ+μ=2?a2+c2a2?c2，命题得证．

练习3　已知过椭圆x22+y2=1的左焦点F的直线交椭圆于A,B两点，且有→FA=3→BF，求点A的坐标．

答案　A(0,±1)．

定比点差法实际上是直线的参数方程的变异形式，只不过将其中的t变作了λ，也就是说只要是共线点列的问题都可以在考虑运用直线的参数方程的同时考虑定比点差法．定比点差法在处理圆锥曲线上过定点的直线的证明题时往往可以起到简化运算的作用．但定比点差法无法应用于抛物线，并且它采用的参数λ在解析几何问题中并不通用，在求解具体的斜率、弦长与面积时往往会引起运算上的麻烦（当然，求坐标还是很简便的），所以并不是所有的共线问题都适用用定比点差法解决．